แอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันและลักษณะทั่วไป อินทิกรัลต้านอนุพันธ์และอินทิกรัลไม่แน่นอน - ความรู้ไฮเปอร์มาร์เก็ต วิธีค้นหาแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันต้านอนุพันธ์ ฉ(x)ในระหว่าง (ก; ข)ฟังก์ชันนี้เรียกว่า ฉ(x)ความเท่าเทียมกันนั้นมีไว้เพื่อสิ่งใดสิ่งหนึ่ง เอ็กซ์จากช่วงเวลาที่กำหนด
หากเราคำนึงถึงข้อเท็จจริงที่ว่าอนุพันธ์ของค่าคงที่ กับเท่ากับศูนย์ แล้วความเท่าเทียมกันเป็นจริง ดังนั้นฟังก์ชัน ฉ(x)มีพื้นฐานหลายประการ เอฟ(x)+ซีสำหรับค่าคงที่ตามใจชอบ กับและแอนติเดริเวทีฟเหล่านี้ต่างกันด้วยค่าคงที่ใดๆ ก็ตาม
คำจำกัดความของอินทิกรัลไม่ จำกัด
ฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟทั้งชุด ฉ(x)เรียกว่าอินทิกรัลไม่ จำกัด ของฟังก์ชันนี้และเขียนแทนด้วย 
.
การแสดงออกที่เรียกว่า บูรณาการ, ก ฉ(x) – ฟังก์ชันปริพันธ์. จำนวนเต็มแสดงถึงส่วนต่างของฟังก์ชัน ฉ(x).
เรียกว่าการดำเนินการในการค้นหาฟังก์ชันที่ไม่รู้จักเมื่อพิจารณาถึงอนุพันธ์ของมัน ไม่แน่นอนอินทิเกรต เนื่องจากผลลัพธ์ของอินทิเกรตมีมากกว่าหนึ่งฟังก์ชัน ฉ(x)และเซตของค่าพื้นฐาน เอฟ(x)+ซี.
ความหมายทางเรขาคณิตของอินทิกรัลไม่ จำกัด กราฟของแอนติเดริเวทีฟ D(x) เรียกว่าเส้นโค้งอินทิกรัล ในระบบพิกัด x0y กราฟของแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดของฟังก์ชันที่กำหนดแสดงถึงกลุ่มของเส้นโค้งที่ขึ้นอยู่กับค่าของค่าคงที่ C และได้มาจากกันและกันโดยการเลื่อนขนานไปตามแกน 0y สำหรับตัวอย่างที่กล่าวถึงข้างต้น เรามี:
เจ 2 x^x = x2 + C
ตระกูลของแอนติเดริเวทีฟ (x + C) ถูกตีความทางเรขาคณิตด้วยเซตของพาราโบลา
หากคุณต้องการค้นหาหนึ่งจากกลุ่มแอนติเดริเวทีฟ เงื่อนไขเพิ่มเติมจะถูกตั้งไว้เพื่อให้คุณสามารถกำหนดค่าคงที่ C ได้ โดยปกติแล้ว เพื่อจุดประสงค์นี้ เงื่อนไขเริ่มต้นจะถูกตั้งไว้: เมื่ออาร์กิวเมนต์ x = x0 ฟังก์ชันจะมีค่า D (x0) = y0
ตัวอย่าง. จำเป็นต้องค้นหาว่าหนึ่งในแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน y = 2 x ที่รับค่า 3 ที่ x0 = 1
แอนติเดริเวทีฟที่ต้องการ: D(x) = x2 + 2
สารละลาย. ^2x^x = x2 + C; 12 + ค = 3; ค = 2
2. คุณสมบัติพื้นฐานของอินทิกรัลไม่ จำกัด
1. อนุพันธ์ของอินทิกรัลไม่ จำกัด เท่ากับฟังก์ชันปริพันธ์:
2. ส่วนต่างของอินทิกรัลไม่ จำกัด เท่ากับนิพจน์ปริพันธ์:
3. อินทิกรัลไม่ จำกัด ของดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันบางอย่างเท่ากับผลรวมของฟังก์ชันนี้เองและค่าคงที่ตามอำเภอใจ:
4. ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายอินทิกรัลได้:
5. อินทิกรัลของผลรวม (ผลต่าง) เท่ากับผลรวม (ผลต่าง) ของอินทิกรัล:
6. คุณสมบัติคือการรวมกันของคุณสมบัติ 4 และ 5:
7. คุณสมบัติไม่แปรเปลี่ยนของอินทิกรัลไม่ จำกัด :
ถ้า 
, ที่
8. ทรัพย์สิน:
ถ้า 
, ที่
ที่จริงแล้ว คุณสมบัตินี้เป็นกรณีพิเศษของการบูรณาการโดยใช้วิธีการเปลี่ยนตัวแปร ซึ่งจะกล่าวถึงในรายละเอียดเพิ่มเติมในหัวข้อถัดไป
ลองดูตัวอย่าง:
3. วิธีการบูรณาการโดยที่อินทิกรัลที่กำหนดลดลงเหลือหนึ่งหรือหลายอินทิกรัลตารางโดยการแปลงที่เหมือนกันของอินทิกรัล (หรือนิพจน์) และการประยุกต์คุณสมบัติของอินทิกรัลไม่ จำกัด เรียกว่า บูรณาการโดยตรง. เมื่อลดอินทิกรัลนี้เป็นอินทิกรัลแบบตาราง มักใช้การแปลงค่าดิฟเฟอเรนเชียลต่อไปนี้ (การดำเนินการ " สมัครรับเครื่องหมายส่วนต่าง»):
เลย ฉ(u)du = ง(ฉ(u))สิ่งนี้ (สูตรนี้มักใช้ในการคำนวณปริพันธ์
ค้นหาอินทิกรัล
สารละลาย.ลองใช้คุณสมบัติของอินทิกรัลและลดอินทิกรัลนี้ให้เหลือหลายตาราง
4. บูรณาการโดยวิธีทดแทน
สาระสำคัญของวิธีนี้คือเราแนะนำตัวแปรใหม่ แสดงปริพันธ์ผ่านตัวแปรนี้ และด้วยเหตุนี้ เราจึงได้อินทิกรัลในรูปแบบตาราง (หรือง่ายกว่า)
บ่อยครั้งที่วิธีการทดแทนเข้ามาช่วยเมื่อรวมฟังก์ชันตรีโกณมิติและฟังก์ชันเข้ากับราก
ตัวอย่าง.
ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด 
.
สารละลาย.
เรามาแนะนำตัวแปรใหม่กันดีกว่า มาแสดงออกกันเถอะ เอ็กซ์ผ่าน z:
เราแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ให้เป็นอินทิกรัลดั้งเดิม: 
จากตารางแอนติเดริเวทีฟที่เรามี 
.
มันยังคงกลับสู่ตัวแปรเดิม เอ็กซ์:
คำตอบ:
คำนิยาม.ฟังก์ชัน F (x) เรียกว่าแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน f (x) ในช่วงที่กำหนด ถ้าสำหรับ x ใดๆ จากช่วงที่กำหนด F"(x)= f (x)
คุณสมบัติหลักของแอนติเดริเวทีฟ
ถ้า F (x) เป็นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน f (x) ดังนั้นฟังก์ชัน F (x)+ C โดยที่ C เป็นค่าคงที่ใดๆ ก็เป็นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน f (x) เช่นกัน (กล่าวคือ แอนติเดริเวทีฟทั้งหมดของ ฟังก์ชัน f(x) เขียนอยู่ในรูปแบบ F(x) + C)
การตีความทางเรขาคณิต
กราฟของแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดของฟังก์ชันที่กำหนด f (x) ได้มาจากกราฟของแอนติเดริเวทีฟตัวใดตัวหนึ่งโดยการแปลแบบขนานตามแนวแกน Oy
ตารางแอนติเดริเวทีฟ
กฎเกณฑ์ในการค้นหาแอนติเดริเวทีฟ .
ให้ F(x) และ G(x) เป็นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน f(x) และ g(x) ตามลำดับ แล้ว:
1. ฟ ( x) ± ก ( x) – แอนติเดริเวทีฟสำหรับ ฉ(x) ± ก(x);
2. กฉ ( x) – แอนติเดริเวทีฟสำหรับ กฉ(x);
3. – แอนติเดริเวทีฟสำหรับ กฉ(เคเอ็กซ์ +ข).
งานและการทดสอบในหัวข้อ "Antiderivoid"
- สารต้านอนุพันธ์
บทเรียน: 1 การบ้าน: 11 แบบทดสอบ: 1
- อนุพันธ์และแอนติเดริเวทีฟ - การเตรียมความพร้อมสำหรับการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ การสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์
งาน: 3
- บูรณาการ - แอนติเดริเวทีฟและอินทิกรัลเกรด 11
บทเรียน: 4 การมอบหมาย: 13 การทดสอบ: 1
- การคำนวณพื้นที่โดยใช้อินทิกรัล - แอนติเดริเวทีฟและอินทิกรัลเกรด 11
บทเรียน: 1 การบ้าน: 10 แบบทดสอบ: 1
เมื่อศึกษาหัวข้อนี้แล้ว คุณควรรู้ว่าสิ่งที่เรียกว่าแอนติเดริเวทีฟ คุณสมบัติหลักของมัน การตีความทางเรขาคณิต กฎในการค้นหาแอนติเดริเวทีฟ สามารถค้นหาแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันทั้งหมดได้โดยใช้ตารางและกฎเกณฑ์ในการค้นหาแอนติเดริเวทีฟ รวมถึงแอนติเดริเวทีฟที่ผ่านจุดที่กำหนด ลองดูการแก้ปัญหาในหัวข้อนี้โดยใช้ตัวอย่าง ใส่ใจกับรูปแบบของการตัดสินใจ
ตัวอย่าง.
1. ค้นหาว่าฟังก์ชัน F ( x) = เอ็กซ์ 3 – 3เอ็กซ์+ 1 แอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน ฉ(x) = 3(เอ็กซ์ 2 – 1).
สารละลาย:ฟ"( x) = (เอ็กซ์ 3 – 3เอ็กซ์+ 1)' = 3 เอ็กซ์ 2 – 3 = 3(เอ็กซ์ 2 – 1) = ฉ(x), เช่น. ฟ"( x) = ฉ(x) ดังนั้น F(x) จึงเป็นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน f(x)
2. ค้นหาฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟทั้งหมด f(x) :
ก) ฉ(x) = เอ็กซ์ 4 + 3เอ็กซ์ 2 + 5
สารละลาย:เมื่อใช้ตารางและกฎในการค้นหาแอนติเดริเวทีฟ เราจะได้:
คำตอบ:
ข) ฉ(x) = บาป(3 x – 2)
สารละลาย:
ในหน้านี้คุณจะพบกับ:
1. ที่จริงแล้วตารางแอนติเดริเวทีฟ - สามารถดาวน์โหลดในรูปแบบ PDF และพิมพ์ได้
2. วิดีโอเกี่ยวกับวิธีใช้ตารางนี้
3. ตัวอย่างการคำนวณแอนติเดริเวทีฟจากตำราเรียนและการทดสอบต่างๆ
ในวิดีโอนี้ เราจะวิเคราะห์ปัญหาต่างๆ ที่คุณต้องคำนวณแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน ซึ่งมักจะค่อนข้างซับซ้อน แต่ที่สำคัญที่สุด ไม่ใช่ฟังก์ชันยกกำลัง ฟังก์ชันทั้งหมดที่สรุปไว้ในตารางที่เสนอข้างต้นจะต้องทราบด้วยหัวใจ เช่นเดียวกับอนุพันธ์ หากไม่มีสิ่งเหล่านี้ การศึกษาปริพันธ์เพิ่มเติมและการประยุกต์เพื่อแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติก็เป็นไปไม่ได้
วันนี้เราศึกษาเรื่องดั้งเดิมต่อไปและไปยังหัวข้อที่ซับซ้อนกว่านี้เล็กน้อย ถ้าคราวที่แล้วเราดูแอนติเดริเวทีฟเฉพาะฟังก์ชันกำลังและโครงสร้างที่ซับซ้อนกว่านี้เล็กน้อย วันนี้เราจะดูตรีโกณมิติและอื่นๆ อีกมากมาย
อย่างที่ฉันบอกไปแล้วในบทเรียนที่แล้ว แอนติเดริเวทีฟต่างจากอนุพันธ์ตรงที่ไม่เคยได้รับการแก้ไข "ทันที" โดยใช้กฎมาตรฐานใดๆ ยิ่งไปกว่านั้น ข่าวร้ายก็คือว่า ไม่เหมือนกับอนุพันธ์ตรงที่ antiderivative อาจไม่ได้รับการพิจารณาเลย หากเราเขียนฟังก์ชันสุ่มโดยสมบูรณ์แล้วพยายามค้นหาอนุพันธ์ของมัน มีความเป็นไปได้สูงมากที่เราจะประสบความสำเร็จ แต่ในกรณีนี้แทบไม่เคยคำนวณแอนติเดริเวทีฟเลย แต่มีข่าวดี: มีคลาสของฟังก์ชันที่ค่อนข้างใหญ่ที่เรียกว่าฟังก์ชันพื้นฐาน ซึ่งเป็นแอนติเดริเวทีฟที่คำนวณได้ง่ายมาก และโครงสร้างที่ซับซ้อนอื่นๆ ทั้งหมดที่มอบให้กับการทดสอบทุกประเภท การทดสอบอิสระ และการสอบ แท้จริงแล้ว ประกอบด้วยฟังก์ชันเบื้องต้นเหล่านี้ผ่านการบวก การลบ และการกระทำง่ายๆ อื่นๆ ต้นแบบของฟังก์ชันดังกล่าวได้รับการคำนวณและรวบรวมเป็นตารางพิเศษมานานแล้ว มันคือฟังก์ชันและตารางเหล่านี้ที่เราจะใช้งานในวันนี้
แต่เราจะเริ่มต้นด้วยการทำซ้ำเช่นเคย: จำไว้ว่าแอนติเดริเวทีฟคืออะไร เหตุใดจึงมีจำนวนมากอย่างไม่สิ้นสุด และวิธีพิจารณาลักษณะทั่วไปของพวกมัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ฉันหยิบปัญหาง่ายๆ สองข้อขึ้นมา
การแก้ตัวอย่างง่ายๆ
ตัวอย่าง #1
ขอให้เราสังเกตทันทีว่า $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ และโดยทั่วไปแล้ว การมีอยู่ของ $\text( )\!\!\pi\ !\!\ text( )$ บอกเราทันทีว่าแอนติเดริเวทีฟที่ต้องการของฟังก์ชันเกี่ยวข้องกับตรีโกณมิติ และแน่นอน ถ้าเราดูที่ตาราง เราจะพบว่า $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ ไม่มีอะไรมากไปกว่า $\text(arctg)x$ ลองเขียนมันลงไป:
เพื่อที่จะค้นหา คุณต้องเขียนสิ่งต่อไปนี้:
\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]
\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+ค\]
ตัวอย่างหมายเลข 2
เรากำลังพูดถึงฟังก์ชันตรีโกณมิติที่นี่ด้วย ถ้าเราดูที่ตาราง นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้น:
เราจำเป็นต้องค้นหาแอนติเดริเวทีฟทั้งชุดที่ผ่านจุดที่ระบุ:
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]
ในที่สุดเรามาเขียนมันลงไป:
มันง่ายมาก ปัญหาเดียวคือในการคำนวณแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันอย่างง่าย คุณต้องเรียนรู้ตารางแอนติเดริเวทีฟ อย่างไรก็ตาม หลังจากที่ศึกษาตารางอนุพันธ์สำหรับคุณแล้ว ฉันคิดว่านี่จะไม่เป็นปัญหา
การแก้ปัญหาที่มีฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ขั้นแรกให้เขียนสูตรต่อไปนี้:
\[((e)^(x))\to ((e)^(x))\]
\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]
เรามาดูกันว่าทั้งหมดนี้ทำงานอย่างไรในทางปฏิบัติ
ตัวอย่าง #1
หากเราดูที่เนื้อหาของวงเล็บ เราจะสังเกตเห็นว่าในตารางของสารต้านอนุพันธ์ไม่มีนิพจน์สำหรับ $((e)^(x))$ อยู่ในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ดังนั้นจึงต้องขยายรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้ ในการทำสิ่งนี้ เราใช้สูตรการคูณแบบย่อ:
มาหาแอนติเดริเวทีฟของแต่ละเทอมกัน:
\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e)^) (2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]
\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e) )^(-2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]
ตอนนี้เรามารวบรวมคำศัพท์ทั้งหมดไว้ในนิพจน์เดียวและรับแอนติเดริเวทีฟทั่วไป:
ตัวอย่างหมายเลข 2
คราวนี้ค่าดีกรีมีขนาดใหญ่ขึ้น ดังนั้น สูตรการคูณแบบย่อจึงค่อนข้างซับซ้อน เรามาเปิดวงเล็บกันดีกว่า:
ทีนี้ลองหาแอนติเดริเวทีฟของสูตรของเราจากโครงสร้างนี้:
อย่างที่คุณเห็น ไม่มีอะไรซับซ้อนหรือเหนือธรรมชาติในแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ทั้งหมดคำนวณผ่านตาราง แต่นักเรียนที่เอาใจใส่อาจจะสังเกตเห็นว่าค่าต้านอนุพันธ์ $((e)^(2x))$ นั้นใกล้เคียงกับ $((e)^(x))$ มากกว่า $((a )^(x ))$. ดังนั้น บางทีอาจมีกฎพิเศษบางข้อที่อนุญาตให้รู้ค่าแอนติเดริเวทีฟ $((e)^(x))$ เพื่อค้นหา $((e)^(2x))$? ใช่ มีกฎดังกล่าวอยู่ และยิ่งไปกว่านั้น มันยังเป็นส่วนสำคัญของการทำงานกับตารางแอนติเดริเวทีฟอีกด้วย ตอนนี้เราจะวิเคราะห์โดยใช้นิพจน์เดียวกับที่เราเพิ่งใช้เป็นตัวอย่าง
กฎสำหรับการทำงานกับตารางแอนติเดริเวทีฟ
มาเขียนฟังก์ชันของเราอีกครั้ง:
ในกรณีก่อนหน้านี้ เราใช้สูตรต่อไปนี้เพื่อแก้ไข:
\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ชื่อผู้ดำเนินการ(lna))\]
แต่ตอนนี้เรามาทำให้มันแตกต่างออกไปหน่อย: จำไว้ว่า $((e)^(x))\to ((e)^(x))$ เป็นพื้นฐานอะไร อย่างที่ผมบอกไปแล้ว เพราะอนุพันธ์ $((e)^(x))$ ไม่มีอะไรมากไปกว่า $((e)^(x))$ ดังนั้นแอนติเดริเวทีฟของมันจะเท่ากับ $((e) ^ เท่าเดิม (เอ็กซ์))$. แต่ปัญหาคือเรามี $((e)^(2x))$ และ $((e)^(-2x))$ ทีนี้ลองหาอนุพันธ์ของ $((e)^(2x))$:
\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \ไพรม์ ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
มาเขียนการก่อสร้างของเราใหม่อีกครั้ง:
\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\prime ))\]
ซึ่งหมายความว่าเมื่อเราค้นหาแอนติเดริเวทีฟ $((e)^(2x))$ เราจะได้สิ่งต่อไปนี้:
\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]
อย่างที่คุณเห็น เราได้ผลลัพธ์เหมือนเดิม แต่เราไม่ได้ใช้สูตรเพื่อค้นหา $((a)^(x))$ ตอนนี้อาจดูงี่เง่า: เหตุใดการคำนวณจึงซับซ้อนเมื่อมีสูตรมาตรฐาน? อย่างไรก็ตาม ในนิพจน์ที่ซับซ้อนกว่าเล็กน้อย คุณจะพบว่าเทคนิคนี้มีประสิทธิภาพมาก เช่น การใช้อนุพันธ์เพื่อค้นหาแอนติเดริเวทีฟ
เพื่ออุ่นเครื่อง ลองหาแอนติเดริเวทีฟของ $((e)^(2x))$ ในทำนองเดียวกัน:
\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]
\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\prime ))\]
เมื่อคำนวณการก่อสร้างของเราจะเขียนดังนี้:
\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]
\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]
เราได้ผลลัพธ์เดียวกันทุกประการ แต่ใช้เส้นทางที่แตกต่างออกไป มันเป็นเส้นทางนี้ซึ่งตอนนี้ดูเหมือนซับซ้อนกว่าเล็กน้อยสำหรับเราซึ่งในอนาคตจะมีประสิทธิภาพมากขึ้นในการคำนวณแอนติเดริเวทีฟที่ซับซ้อนยิ่งขึ้นและการใช้ตาราง
บันทึก! นี่เป็นจุดสำคัญมาก: แอนติเดริเวทีฟ เช่น อนุพันธ์ สามารถนับได้หลายวิธี อย่างไรก็ตาม หากการคำนวณและการคำนวณทั้งหมดเท่ากัน คำตอบก็จะเหมือนกัน เราเพิ่งเห็นสิ่งนี้จากตัวอย่างของ $((e)^(-2x))$ - ในด้านหนึ่ง เราคำนวณแอนติเดริเวทีฟนี้แบบ "ผ่าน" โดยใช้คำจำกัดความและคำนวณโดยใช้การแปลง ในทางกลับกัน เราจำได้ว่า $ ((e)^(-2x))$ สามารถแสดงเป็น $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ จากนั้นเราใช้เท่านั้น แอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน $( (a)^(x))$ อย่างไรก็ตาม หลังจากการเปลี่ยนแปลงทั้งหมด ผลลัพธ์ก็เหมือนเดิมตามที่คาดไว้
และตอนนี้เราเข้าใจทั้งหมดนี้แล้ว ก็ถึงเวลาก้าวไปสู่บางสิ่งที่สำคัญกว่านี้ ตอนนี้เราจะวิเคราะห์โครงสร้างง่ายๆ สองแบบ แต่เทคนิคที่จะใช้ในการแก้ปัญหาเป็นเครื่องมือที่ทรงพลังและมีประโยชน์มากกว่าแค่ "วิ่ง" ระหว่างแอนติเดริเวทีฟที่อยู่ใกล้เคียงจากตาราง
การแก้ปัญหา: การค้นหาแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน
ตัวอย่าง #1
แบ่งจำนวนเงินที่อยู่ในตัวเศษออกเป็นเศษส่วนแยกกันสามส่วน:
นี่เป็นการเปลี่ยนแปลงที่ค่อนข้างเป็นธรรมชาติและเข้าใจได้ - นักเรียนส่วนใหญ่ไม่มีปัญหากับเรื่องนี้ ลองเขียนนิพจน์ของเราใหม่ดังนี้:
ตอนนี้เรามาจำสูตรนี้กัน:
ในกรณีของเราเราจะได้รับสิ่งต่อไปนี้:
เพื่อกำจัดเศษส่วนทั้งสามชั้นนี้ ฉันแนะนำให้ทำดังนี้:
ตัวอย่างหมายเลข 2
ตัวส่วนไม่เหมือนกับเศษส่วนก่อนหน้าตรงที่ตัวส่วนไม่ใช่ผลคูณ แต่เป็นผลรวม ในกรณีนี้ เราไม่สามารถแบ่งเศษส่วนของเราออกเป็นผลรวมของเศษส่วนง่ายๆ หลายตัวได้อีกต่อไป แต่เราต้องพยายามให้แน่ใจว่าตัวเศษมีนิพจน์เดียวกันกับตัวส่วนโดยประมาณ ในกรณีนี้ ทำได้ค่อนข้างง่าย:
สัญกรณ์นี้ซึ่งในภาษาคณิตศาสตร์เรียกว่า "การบวกศูนย์" จะทำให้เราสามารถแบ่งเศษส่วนออกเป็นสองส่วนได้อีกครั้ง:
ตอนนี้เรามาดูสิ่งที่เรากำลังมองหา:
นั่นคือการคำนวณทั้งหมด แม้จะมีความซับซ้อนมากกว่าปัญหาก่อนหน้านี้ แต่ปริมาณการคำนวณกลับมีขนาดเล็กลงอีก
ความแตกต่างของการแก้ปัญหา
และนี่คือจุดที่ปัญหาหลักในการทำงานกับแอนติเดริเวทีฟแบบตารางอยู่ ซึ่งเห็นได้ชัดเจนโดยเฉพาะในงานที่สอง ความจริงก็คือเพื่อที่จะเลือกองค์ประกอบบางอย่างที่คำนวณได้ง่ายผ่านตารางเราจำเป็นต้องรู้ว่าเรากำลังมองหาอะไรกันแน่และในการค้นหาองค์ประกอบเหล่านี้นั้นการคำนวณแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดประกอบด้วย
กล่าวอีกนัยหนึ่งการจดจำตารางแอนติเดริเวทีฟนั้นไม่เพียงพอ - คุณต้องสามารถเห็นบางสิ่งที่ยังไม่มีอยู่ แต่ผู้เขียนและผู้คอมไพเลอร์ของปัญหานี้หมายถึงอะไร นั่นคือเหตุผลที่นักคณิตศาสตร์ ครู และอาจารย์หลายคนโต้แย้งอยู่ตลอดเวลาว่า: "อะไรคือการใช้สารต้านอนุพันธ์หรือการอินทิเกรต - มันเป็นเพียงเครื่องมือหรือเป็นศิลปะจริงๆ" ในความเห็นส่วนตัวของฉัน การบูรณาการไม่ใช่ศิลปะเลย ไม่มีอะไรประเสริฐในนั้น มันเป็นเพียงการฝึกฝนและการฝึกฝนมากขึ้น และเพื่อฝึกฝน เรามาแก้ตัวอย่างที่จริงจังอีกสามตัวอย่างกัน
เราฝึกอบรมในการบูรณาการในทางปฏิบัติ
ภารกิจที่ 1
ลองเขียนสูตรต่อไปนี้:
\[((x)^(n))\ถึง \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
\[\frac(1)(x)\ถึง \ln x\]
\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]
มาเขียนสิ่งต่อไปนี้:
ปัญหาหมายเลข 2
ลองเขียนใหม่ดังต่อไปนี้:
แอนติเดริเวทีฟทั้งหมดจะเท่ากับ:
ปัญหาหมายเลข 3
ความยากของงานนี้คือ ไม่มีตัวแปร $x$ เลย ซึ่งต่างจากฟังก์ชันก่อนหน้าข้างต้น นั่นคือ ยังไม่ชัดเจนสำหรับเราว่าจะเพิ่มหรือลบอะไรเพื่อให้ได้สิ่งที่คล้ายกับสิ่งที่อยู่ด้านล่างเป็นอย่างน้อย อย่างไรก็ตาม ที่จริงแล้ว นิพจน์นี้ถือว่าง่ายกว่านิพจน์ก่อนหน้าใดๆ เนื่องจากฟังก์ชันนี้สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:
คุณอาจถามว่าทำไมฟังก์ชันเหล่านี้ถึงเท่ากัน? มาตรวจสอบกัน:
มาเขียนใหม่อีกครั้ง:
มาเปลี่ยนการแสดงออกของเรากันหน่อย:
และเมื่อฉันอธิบายทั้งหมดนี้ให้นักเรียนฟัง ปัญหาเดียวกันนี้มักจะเกิดขึ้น: ด้วยฟังก์ชันแรกทุกอย่างชัดเจนไม่มากก็น้อย ส่วนฟังก์ชันที่สองคุณสามารถเข้าใจได้ด้วยโชคหรือการฝึกฝน แต่คุณมีสติทางเลือกประเภทใด จำเป็นต้องมีเพื่อที่จะแก้ตัวอย่างที่สาม? จริงๆแล้วไม่ต้องกลัวนะ เทคนิคที่เราใช้ในการคำนวณแอนติเดริเวทีฟครั้งล่าสุดเรียกว่า "การสลายตัวของฟังก์ชันให้กลายเป็นวิธีที่ง่ายที่สุด" และนี่เป็นเทคนิคที่จริงจังมากและจะมีการทุ่มเทบทเรียนวิดีโอแยกต่างหาก
ในระหว่างนี้ ฉันเสนอให้กลับไปที่สิ่งที่เราเพิ่งศึกษา นั่นคือ ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง และทำให้ปัญหากับเนื้อหาค่อนข้างซับซ้อน
ปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้นสำหรับการแก้ฟังก์ชันเลขชี้กำลังแอนติเดริเวทีฟ
ภารกิจที่ 1
โปรดทราบสิ่งต่อไปนี้:
\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]
ในการค้นหาแอนติเดริเวทีฟของนิพจน์นี้ เพียงใช้สูตรมาตรฐาน - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$
ในกรณีของเรา แอนติเดริเวทีฟจะเป็นดังนี้:
แน่นอนว่าเมื่อเทียบกับการออกแบบที่เราเพิ่งแก้ไขไป การออกแบบนี้ดูง่ายกว่า
ปัญหาหมายเลข 2
ขอย้ำอีกครั้งว่าง่ายที่จะเห็นว่าฟังก์ชันนี้สามารถแบ่งออกเป็นสองพจน์ที่แยกจากกันได้อย่างง่ายดาย - เศษส่วนสองส่วนที่แยกจากกัน มาเขียนใหม่:
ยังคงต้องหาแอนติเดริเวทีฟของแต่ละคำเหล่านี้โดยใช้สูตรที่อธิบายไว้ข้างต้น:
แม้ว่าฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลจะมีความซับซ้อนมากขึ้นอย่างเห็นได้ชัดเมื่อเปรียบเทียบกับฟังก์ชันกำลัง แต่ปริมาณการคำนวณและการคำนวณโดยรวมกลับกลายเป็นว่าง่ายกว่ามาก
แน่นอนว่าสำหรับนักเรียนที่มีความรู้ สิ่งที่เราเพิ่งคุยกันไป (โดยเฉพาะอย่างยิ่งกับฉากหลังของสิ่งที่เราได้คุยกันก่อนหน้านี้) อาจดูเหมือนเป็นสำนวนเบื้องต้น อย่างไรก็ตาม เมื่อเลือกปัญหาทั้งสองนี้สำหรับบทเรียนวิดีโอวันนี้ ฉันไม่ได้ตั้งเป้าหมายที่จะบอกเทคนิคที่ซับซ้อนและซับซ้อนอีกอย่างหนึ่งให้คุณทราบ - ทั้งหมดที่ฉันต้องการแสดงให้คุณเห็นคือคุณไม่ควรกลัวที่จะใช้เทคนิคพีชคณิตมาตรฐานในการแปลงฟังก์ชันดั้งเดิม .
โดยใช้เทคนิค "ลับ"
โดยสรุป ฉันอยากจะดูเทคนิคที่น่าสนใจอีกเทคนิคหนึ่ง ซึ่งในอีกด้านหนึ่งไปไกลกว่าสิ่งที่เราพูดคุยกันเป็นหลักในวันนี้ แต่ในทางกลับกัน ประการแรก มันไม่ซับซ้อนเลย กล่าวคือ แม้แต่นักเรียนระดับเริ่มต้นก็สามารถเชี่ยวชาญได้ และประการที่สอง มักพบได้ในการทดสอบและงานอิสระทุกประเภท เช่น ความรู้นี้จะมีประโยชน์มากนอกเหนือจากความรู้เรื่องตารางแอนติเดริเวทีฟ
ภารกิจที่ 1
แน่นอนว่า เรามีบางอย่างที่คล้ายกับฟังก์ชันกำลังมาก ในกรณีนี้เราควรทำอย่างไร? ลองคิดดู: $x-5$ ไม่ได้แตกต่างมากนักจาก $x$ - พวกเขาเพิ่งบวก $-5$ มาเขียนแบบนี้:
\[((x)^(4))\ถึง \frac(((x)^(5)))(5)\]
\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]
ลองหาอนุพันธ์ของ $((\left(x-5 \right))^(5))$:
\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]
นี่หมายถึง:
\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ ขวา))^(\นายก ))\]
ไม่มีค่าดังกล่าวในตาราง ดังนั้นเราจึงได้สูตรนี้มาใช้เองโดยใช้สูตรต้านอนุพันธ์มาตรฐานสำหรับฟังก์ชันกำลัง ลองเขียนคำตอบดังนี้:
ปัญหาหมายเลข 2
นักเรียนหลายคนที่ดูวิธีแก้ปัญหาแรกอาจคิดว่าทุกอย่างง่ายมาก เพียงแทนที่ $x$ ในฟังก์ชันยกกำลังด้วยนิพจน์เชิงเส้น แล้วทุกอย่างจะเข้าที่ น่าเสียดายที่ทุกอย่างไม่ง่ายนัก และตอนนี้เราจะได้เห็นสิ่งนี้
โดยการเปรียบเทียบกับนิพจน์แรก เราเขียนได้ดังนี้:
\[((x)^(9))\ถึง \frac(((x)^(10)))(10)\]
\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\prime ))=\]
\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]
เมื่อกลับไปที่อนุพันธ์ของเรา เราสามารถเขียนได้ว่า:
\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]
\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right))^(10)))(-30) \right))^(\ไพรม์ ))\]
สิ่งนี้จะตามมาทันที:
ความแตกต่างของการแก้ปัญหา
โปรดทราบ: หากครั้งล่าสุดไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลง ในกรณีที่สอง แทนที่จะเป็น $-10$ กลับปรากฏ $-30$ อะไรคือความแตกต่างระหว่าง $-10$ และ $-30$? แน่นอนว่าด้วยปัจจัย $-3$ คำถาม: มันมาจากไหน? หากคุณมองใกล้ ๆ คุณจะเห็นว่ามันคำนวณมาจากการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน - ค่าสัมประสิทธิ์ที่อยู่ที่ $x$ จะปรากฏอยู่ในแอนติเดริเวทีฟด้านล่าง นี่เป็นกฎที่สำคัญมาก ซึ่งในตอนแรกฉันไม่ได้วางแผนที่จะพูดคุยเลยในบทเรียนวิดีโอของวันนี้ แต่ถ้าไม่มีการนำเสนอแอนติเดริเวทีฟแบบตารางก็จะไม่สมบูรณ์
ลองทำใหม่อีกครั้ง ให้มีฟังก์ชันกำลังหลักของเรา:
\[((x)^(n))\ถึง \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
ตอนนี้ แทนที่จะเป็น $x$ ลองแทนที่นิพจน์ $kx+b$ แทน แล้วจะเกิดอะไรขึ้น? เราจำเป็นต้องค้นหาสิ่งต่อไปนี้:
\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1 \right)\cdot k)\]
เราอ้างสิ่งนี้บนพื้นฐานอะไร? ง่ายมาก. มาหาอนุพันธ์ของการก่อสร้างที่เขียนไว้ด้านบน:
\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]
นี่เป็นการแสดงออกแบบเดียวกับที่มีอยู่เดิม ดังนั้น สูตรนี้จึงถูกต้องเช่นกัน และสามารถใช้เพื่อเสริมตารางแอนติเดริเวทีฟได้ หรือควรจำทั้งตารางจะดีกว่า
บทสรุปจาก “ความลับ: เทคนิค:
- ฟังก์ชันทั้งสองที่เราเพิ่งดูไป ที่จริงแล้วสามารถลดค่าแอนติเดริเวทีฟลงในตารางได้ด้วยการขยายองศา แต่ถ้าเรารับมือกับระดับที่ 4 ได้ไม่มากก็น้อย ผมก็จะไม่ทำระดับ 9 ที่ ทุกคนกล้าที่จะเปิดเผย
- หากเราขยายองศาออกไป เราก็จะได้การคำนวณปริมาณมากจนงานง่ายๆ ทำให้เราใช้เวลานานอย่างไม่เหมาะสม
- นั่นคือเหตุผลว่าทำไมปัญหาดังกล่าวซึ่งมีสำนวนเชิงเส้นจึงไม่จำเป็นต้องแก้ไขแบบ "หัวทิ่ม" ทันทีที่คุณเจอแอนติเดริเวทีฟที่แตกต่างจากตารางในตารางเฉพาะเมื่อมีนิพจน์ $kx+b$ อยู่ข้างใน ให้จำสูตรที่เขียนไว้ข้างต้นทันที แทนที่มันลงในตารางแอนติเดริเวทีฟ แล้วทุกอย่างจะออกมาสวยงามมาก เร็วขึ้นและง่ายขึ้น
เนื่องจากความซับซ้อนและความจริงจังของเทคนิคนี้ เราจะกลับมาพิจารณาหลายครั้งในบทเรียนวิดีโอในอนาคต แต่นั่นคือทั้งหมดสำหรับวันนี้ ฉันหวังว่าบทเรียนนี้จะช่วยนักเรียนที่ต้องการเข้าใจการต่อต้านอนุพันธ์และการบูรณาการได้จริงๆ
บทเรียนและการนำเสนอในหัวข้อ: "ฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟ กราฟของฟังก์ชัน"
วัสดุเพิ่มเติม
เรียนผู้ใช้ อย่าลืมแสดงความคิดเห็น บทวิจารณ์ และความปรารถนาของคุณ! วัสดุทั้งหมดได้รับการตรวจสอบโดยโปรแกรมป้องกันไวรัส
เครื่องช่วยสอนและเครื่องจำลองในร้านค้าออนไลน์ Integral สำหรับเกรด 11
ปัญหาพีชคณิตเกี่ยวกับพารามิเตอร์ เกรด 9–11
"งานเชิงโต้ตอบในการสร้างในอวกาศสำหรับเกรด 10 และ 11"
ฟังก์ชันต้านอนุพันธ์ การแนะนำ
พวกคุณรู้วิธีค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยใช้สูตรและกฎต่างๆ วันนี้เราจะศึกษาการดำเนินการผกผันของการคำนวณอนุพันธ์ แนวคิดเรื่องอนุพันธ์มักใช้ในชีวิตจริง ฉันขอเตือนคุณว่าอนุพันธ์คืออัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันที่จุดใดจุดหนึ่ง กระบวนการที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนไหวและความเร็วมีการอธิบายไว้อย่างดีในข้อกำหนดเหล่านี้ลองดูปัญหานี้: “ความเร็วของวัตถุที่เคลื่อนที่เป็นเส้นตรงอธิบายไว้ในสูตร $V=gt$ ซึ่งจำเป็นในการฟื้นฟูกฎการเคลื่อนที่
สารละลาย.
เรารู้จักสูตรนี้ดี: $S"=v(t)$ โดยที่ S คือกฎการเคลื่อนที่
งานของเราอยู่ที่การค้นหาฟังก์ชัน $S=S(t)$ ซึ่งมีอนุพันธ์เท่ากับ $gt$ เมื่อมองดีๆ คุณสามารถเดาได้ว่า $S(t)=\frac(g*t^2)(2)$
มาตรวจสอบความถูกต้องของวิธีแก้ไขปัญหานี้กัน: $S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"=\frac(g)(2)*2t=g*t$.
เมื่อทราบอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เราก็พบฟังก์ชันนั้นเอง นั่นคือ เราทำการดำเนินการผกผัน
แต่มันก็คุ้มค่าที่จะใส่ใจกับประเด็นนี้ การแก้ปัญหาของเราต้องการคำชี้แจง ถ้าเราบวกจำนวนใดๆ (ค่าคงที่) เข้ากับฟังก์ชันที่พบ ค่าของอนุพันธ์จะไม่เปลี่ยนแปลง: $S(t)=\frac(g*t^2)(2)+ ค,c=const$.
$S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"+c"=g*t+0=g*t$.
พวกคุณให้ความสนใจ: ปัญหาของเรามีทางแก้ไขไม่สิ้นสุด!
หากปัญหาไม่ได้ระบุเงื่อนไขเริ่มต้นหรือเงื่อนไขอื่นๆ อย่าลืมเพิ่มค่าคงที่ให้กับโซลูชัน ตัวอย่างเช่น งานของเราอาจระบุตำแหน่งของร่างกายของเราที่จุดเริ่มต้นของการเคลื่อนไหว การคำนวณค่าคงที่นั้นไม่ใช่เรื่องยากโดยการแทนที่ศูนย์ในสมการผลลัพธ์เราจะได้ค่าคงที่
การดำเนินการนี้เรียกว่าอะไร?
การดำเนินการผกผันของการสร้างความแตกต่างเรียกว่าการบูรณาการ
การค้นหาฟังก์ชันจากอนุพันธ์ที่กำหนด – ปริพันธ์
ฟังก์ชันนั้นจะถูกเรียกว่าแอนติเดริเวทีฟนั่นคือรูปภาพที่ได้รับอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
เป็นเรื่องปกติที่จะเขียนแอนติเดริเวทีฟด้วยตัวพิมพ์ใหญ่ $y=F"(x)=f(x)$
คำนิยาม. ฟังก์ชัน $y=F(x)$ เรียกว่าแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน $у=f(x)$ ในช่วง X ถ้า $хϵх$ ใดๆ มีความเท่าเทียมกันที่ $F'(x)=f(x)$ มีอยู่ .
มาสร้างตารางแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชันต่างๆ กัน ควรพิมพ์ออกมาเพื่อเตือนใจและจดจำ
ในตารางของเรา ไม่มีการระบุเงื่อนไขเริ่มต้น ซึ่งหมายความว่าควรเพิ่มค่าคงที่ลงในแต่ละนิพจน์ทางด้านขวาของตาราง เราจะชี้แจงกฎนี้ในภายหลัง
กฎเกณฑ์ในการค้นหาแอนติเดริเวทีฟ
มาเขียนกฎสองสามข้อที่จะช่วยเราหาแอนติเดริเวทีฟกันดีกว่า ล้วนมีความคล้ายคลึงกับกฎแห่งความแตกต่างกฎข้อที่ 1 แอนติเดริเวทีฟของผลรวมเท่ากับผลรวมของแอนติเดริเวทีฟ $F(x+y)=F(x)+F(y)$.
ตัวอย่าง.
ค้นหาแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน $y=4x^3+cos(x)$
สารละลาย.
แอนติเดริเวทีฟของผลรวมเท่ากับผลรวมของแอนติเดริเวทีฟ จากนั้นเราต้องหาแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชันแต่ละฟังก์ชันที่นำเสนอ
$f(x)=4x^3$ => $F(x)=x^4$.
$f(x)=cos(x)$ => $F(x)=sin(x)$.
จากนั้นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันดั้งเดิมจะเป็น: $y=x^4+sin(x)$ หรือฟังก์ชันใดๆ ในรูปแบบ $y=x^4+sin(x)+C$
กฎข้อที่ 2 ถ้า $F(x)$ เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับ $f(x)$ แล้ว $k*F(x)$ จะเป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน $k*f(x)$(เราสามารถหาสัมประสิทธิ์เป็นฟังก์ชันได้อย่างง่ายดาย)
ตัวอย่าง.
ค้นหาแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน:
ก) $y=8ซิน(x)$
ข) $y=-\frac(2)(3)cos(x)$
ค) $y=(3x)^2+4x+5$
สารละลาย.
ก) แอนติเดริเวทีฟของ $sin(x)$ คือลบ $cos(x)$ จากนั้นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันดั้งเดิมจะอยู่ในรูปแบบ: $y=-8cos(x)$
B) แอนติเดริเวทีฟของ $cos(x)$ คือ $sin(x)$ จากนั้นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันดั้งเดิมจะอยู่ในรูปแบบ: $y=-\frac(2)(3)sin(x)$
C) แอนติเดริเวทีฟสำหรับ $x^2$ คือ $\frac(x^3)(3)$ แอนติเดริเวทีฟของ x คือ $\frac(x^2)(2)$ แอนติเดริเวทีฟของ 1 คือ x จากนั้นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันเดิมจะอยู่ในรูปแบบ: $y=3*\frac(x^3)(3)+4*\frac(x^2)(2)+5*x=x^3+2x ^2+5x$ .
กฎข้อที่ 3 ถ้า $у=F(x)$ เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน $y=f(x)$ แล้วแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน $y=f(kx+m)$ จะเป็นฟังก์ชัน $y=\frac(1 )(k)* F(kx+m)$.
ตัวอย่าง.
ค้นหาแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันต่อไปนี้:
ก) $y=cos(7x)$
b) $y=sin(\frac(x)(2))$.
ค) $y=(-2x+3)^3$
ง) $y=e^(\frac(2x+1)(5))$
สารละลาย.
ก) แอนติเดริเวทีฟของ $cos(x)$ คือ $sin(x)$ จากนั้นแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน $y=cos(7x)$ จะเป็นฟังก์ชัน $y=\frac(1)(7)*sin(7x)=\frac(sin(7x))(7)$
B) แอนติเดริเวทีฟของ $sin(x)$ คือลบ $cos(x)$ จากนั้นแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน $y=sin(\frac(x)(2))$ จะเป็นฟังก์ชัน $y=-\frac(1)(\frac(1)(2))cos(\frac(x) )(2) )=-2cos(\frac(x)(2))$.
C) แอนติเดริเวทีฟของ $x^3$ คือ $\frac(x^4)(4)$ จากนั้นเป็นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันเดิม $y=-\frac(1)(2)*\frac(((- 2x+3) )^4)(4)=-\frac(((-2x+3))^4)(8)$
D) จัดนิพจน์ยกกำลัง $\frac(2x+1)(5)=\frac(2)(5)x+\frac(1)(5)$ ให้ง่ายขึ้นเล็กน้อย
แอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลก็คือฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลนั่นเอง แอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันดั้งเดิมจะเป็น $y=\frac(1)(\frac(2)(5))e^(\frac(2)(5)x+\frac(1)(5))=\frac (5)( 2)*e^(\frac(2x+1)(5))$
ทฤษฎีบท. ถ้า $y=F(x)$ เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน $y=f(x)$ บนช่วง X แล้วฟังก์ชัน $y=f(x)$ จะมีแอนติเดริเวทีฟจำนวนอนันต์ และทุกอันมี รูปแบบ $y=F( x)+С$.
ถ้าในตัวอย่างทั้งหมดที่พิจารณาข้างต้น จำเป็นต้องค้นหาเซตของแอนติเดริเวทีฟทั้งหมด ก็ควรบวกค่าคงที่ C ทุกจุด
สำหรับฟังก์ชัน $y=cos(7x)$ แอนติเดริเวทีฟทั้งหมดมีรูปแบบ: $y=\frac(sin(7x))(7)+C$
สำหรับฟังก์ชัน $y=(-2x+3)^3$ แอนติเดริเวทีฟทั้งหมดมีรูปแบบ: $y=-\frac(((-2x+3))^4)(8)+C$
ตัวอย่าง.
เมื่อพิจารณาจากกฎแห่งการเปลี่ยนแปลงความเร็วของร่างกายในช่วงเวลาหนึ่ง $v=-3sin(4t)$ จงหากฎการเคลื่อนที่ $S=S(t)$ หาก ณ เวลาเริ่มแรกร่างกายมีพิกัดเท่ากับ 1.75.
สารละลาย.
เนื่องจาก $v=S'(t)$ เราจำเป็นต้องค้นหาแอนติเดริเวทีฟด้วยความเร็วที่กำหนด
$S=-3*\frac(1)(4)(-cos(4t))+C=\frac(3)(4)cos(4t)+C$
ในปัญหานี้จะมีการกำหนดเงื่อนไขเพิ่มเติม - ช่วงเวลาเริ่มต้น ซึ่งหมายความว่า $t=0$
$S(0)=\frac(3)(4)cos(4*0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)cos(0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)*1+C=\frac(7)(4)$.
$ค=1$.
จากนั้นกฎการเคลื่อนที่จะอธิบายได้ด้วยสูตร: $S=\frac(3)(4)cos(4t)+1$
ปัญหาที่ต้องแก้ไขอย่างอิสระ
1. ค้นหาแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน:ก) $y=-10ซิน(x)$
b) $y=\frac(5)(6)cos(x)$
ค) $y=(4x)^5+(3x)^2+5x$
2. ค้นหาแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันต่อไปนี้:
ก) $y=cos(\frac(3)(4)x)$
b) $y=บาป(8x)$
ค) $y=((7x+4))^4$
ง) $y=e^(\frac(3x+1)(6))$
3. ตามกฎของการเปลี่ยนแปลงความเร็วของร่างกายเมื่อเวลาผ่านไป $v=4cos(6t)$ จงหากฎการเคลื่อนที่ $S=S(t)$ ถ้าในช่วงเวลาเริ่มต้นที่ร่างกายมี พิกัดเท่ากับ 2
