Garmonik tebranishlar chastotasi deyiladi. Garmonik tebranishlar

§ 6. MEXANIK VIBRASYONLARAsosiy formulalar

Garmonik tenglama

Qayerda X - tebranish nuqtasining muvozanat holatidan siljishi; t- vaqt; A,ō, ph - mos ravishda amplituda, burchak chastotasi, tebranishlarning boshlang'ich bosqichi; - hozirgi vaqtda tebranishlar bosqichi t.

Burchak chastotasi

Bu erda n va T - tebranishlarning chastotasi va davri.

Garmonik tebranishlarni bajaradigan nuqtaning tezligi

Garmonik tebranish vaqtida tezlanish

Amplituda A bir to'g'ri chiziq bo'ylab sodir bo'ladigan bir xil chastotali ikkita tebranish qo'shilishi natijasida olingan tebranish formula bilan aniqlanadi.

Qayerda a 1 Va A 2 - tebranish komponentlarining amplitudalari; ph 1 va ph 2 ularning dastlabki fazalaridir.

Hosil bo'lgan tebranishning boshlang'ich fazasi ph ni formuladan topish mumkin

Har xil, lekin o'xshash chastotalar n 1 va n 2 bo'lgan bir to'g'ri chiziq bo'ylab sodir bo'ladigan ikkita tebranish qo'shilganda paydo bo'ladigan urish chastotasi,

A 1 va A 2 amplitudalari va ph 1 va ph 2 boshlang'ich fazalari bilan ikkita o'zaro perpendikulyar tebranishlarda ishtirok etuvchi nuqta traektoriyasining tenglamasi,

Agar tebranish komponentlarining ph 1 va ph 2 boshlang'ich fazalari bir xil bo'lsa, u holda traektoriya tenglamasi shaklni oladi.

ya'ni nuqta to'g'ri chiziq bo'ylab harakat qiladi.

Fazalar farqi bo'lgan taqdirda, tenglama shaklni oladi

ya'ni nuqta ellips bo'ylab harakatlanadi.

Moddiy nuqta garmonik tebranishlarining differensial tenglamasi

, yoki , bu yerda m nuqtaning massasi; k- yarim elastik kuch koeffitsienti ( k=Tō 2).

Garmonik tebranishlarni amalga oshiradigan moddiy nuqtaning umumiy energiyasi

Prujinaga osilgan jismning tebranish davri (prujinali mayatnik)

Qayerda m- tana massasi; k- bahorning qattiqligi. Formula Guk qonuni bajariladigan chegaralardagi elastik tebranishlar uchun amal qiladi (tananing massasiga nisbatan kamonning kichik massasi bilan).

Matematik mayatnikning tebranish davri

Qayerda l- mayatnik uzunligi; g- tortishishning tezlashishi. Fizik mayatnikning tebranish davri

Qayerda J- tebranish jismining o'qqa nisbatan inersiya momenti

ikkilanish; A- mayatnikning massa markazining tebranish o'qidan masofasi;

Fizik mayatnikning qisqargan uzunligi.

Berilgan formulalar cheksiz kichik amplitudalar uchun aniqdir. Cheklangan amplitudalar uchun bu formulalar faqat taxminiy natijalarni beradi. dan katta bo'lmagan amplitudalarda, davr qiymatidagi xatolik 1% dan oshmaydi.

Elastik ipga osilgan jismning burilish tebranishlari davri

Qayerda J- elastik ip bilan mos keladigan o'qqa nisbatan tananing inersiya momenti; k- elastik ipning qattiqligi, ipni burish paytida paydo bo'ladigan elastik momentning ipning burish burchagiga nisbati.

Söndürülmüş tebranishlarning differensial tenglamasi , yoki,

Qayerda r- qarshilik koeffitsienti; d - susaytirish koeffitsienti: ; ō 0 - tebranishlarning tabiiy burchak chastotasi *

Dampingli tebranish tenglamasi

Qayerda Da)- hozirgi vaqtda so'yilgan tebranishlarning amplitudasi t;ō - ularning burchak chastotasi.

Söndürülmüş tebranishlarning burchak chastotasi

O Söndürülmüş tebranishlar amplitudasining vaqtga bog'liqligi

I

Qayerda A 0 - momentdagi tebranishlar amplitudasi t=0.

Logarifmik tebranishning kamayishi

Qayerda Da) Va A(t+T)- vaqt bo'yicha davr bilan ajratilgan ikkita ketma-ket tebranishlarning amplitudalari.

Majburiy tebranishlarning differensial tenglamasi

bu yerda tebranuvchi moddiy nuqtaga ta’sir etuvchi va majburiy tebranishlarni keltirib chiqaruvchi tashqi davriy kuch; F 0 - uning amplituda qiymati;

Majburiy tebranishlar amplitudasi

Rezonans chastotasi va rezonans amplitudasi Va

Muammoni hal qilishga misollar

1-misol. Nuqta qonunga muvofiq tebranadi x(t)= , Qayerda A=2 Agar boshlang'ich fazani aniqlash ph ga qarang

x(0)= sm va X , (0)<0. Построить векторную диаграмму для мо-­ мента t=0.

Yechim. Harakat tenglamasidan foydalanamiz va momentdagi siljishni ifodalaymiz t=0 boshlang'ich bosqichda:

Bu erda biz boshlang'ich bosqichni topamiz:

* Garmonik tebranishlar uchun ilgari berilgan formulalarda xuddi shu miqdor oddiygina ō (indekssiz 0) bilan belgilangan.

Keling, berilgan qiymatlarni ushbu ifodaga almashtiramiz x(0) va A:φ= = . Argumentning qiymati ikkita burchak qiymati bilan qondiriladi:

Bu ph burchak qiymatlaridan qaysi biri shartga mos kelishini aniqlash uchun avvalo quyidagilarni topamiz:

Qiymatni ushbu ifodaga almashtirish t=0 va navbat bilan boshlang'ich fazalarning qiymatlari va , topamiz

T har doimgidek A>0 va ō>0 bo'lsa, faqat boshlang'ich fazaning birinchi qiymati shartni qondiradi. Shunday qilib, kerakli dastlabki bosqich

ph ning topilgan qiymatidan foydalanib vektor diagrammasini tuzamiz (6.1-rasm). 2-misol. Massa bilan moddiy nuqta T=5 g chastotali garmonik tebranishlarni bajaradi ν =0,5 Gts. Tebranish amplitudasi A=3 sm aniqlang: 1) tezlik y siljish sodir bo'lgan vaqtda nuqtalar x== 1,5 sm; 2) nuqtaga ta'sir etuvchi maksimal kuch F max; 3) rasm. 6.1 umumiy energiya E tebranish nuqtasi.

va biz siljishning birinchi marta hosilasini olish orqali tezlik formulasini olamiz:

Tezlikni siljish orqali ifodalash uchun (1) va (2) formulalardan vaqtni chiqarib tashlash kerak. Buning uchun ikkala tenglamani kvadratga olamiz va birinchisini ga bo'lamiz A 2 , ikkinchisi A 2 ō 2 va qo'shing:

, yoki

y uchun oxirgi tenglamani yechish , topamiz

Ushbu formuladan foydalanib hisob-kitoblarni amalga oshirib, biz olamiz

Plyus belgisi tezlikning yo'nalishi o'qning ijobiy yo'nalishiga to'g'ri keladigan holatga mos keladi. X, minus belgisi - tezlik yo'nalishi o'qning salbiy yo'nalishiga to'g'ri kelganda X.

Garmonik tebranish paytidagi siljish (1) tenglamadan tashqari, tenglama bilan ham aniqlanishi mumkin.

Ushbu tenglama bilan bir xil yechimni takrorlab, biz bir xil javobni olamiz.

2. Nyutonning ikkinchi qonunidan foydalanib, nuqtaga ta’sir etuvchi kuchni topamiz:

Qayerda A - Tezlikning vaqt hosilasini olish orqali erishiladigan nuqta tezlanishi:

Tezlanish ifodasini (3) formulaga qo'yib, olamiz

Demak, kuchning maksimal qiymati

p, n qiymatlarini ushbu tenglamaga almashtirsak, T Va A, topamiz

3. Tebranish nuqtasining umumiy energiyasi vaqtning istalgan momenti uchun hisoblangan kinetik va potentsial energiyalarning yig'indisidir.

Umumiy energiyani hisoblashning eng oson yo'li kinetik energiya maksimal qiymatga etgan paytdadir. Bu vaqtda potentsial energiya nolga teng. Shunday qilib, umumiy energiya E tebranish nuqtasi maksimal kinetik energiyaga teng

Biz maksimal tezlikni formuladan (2) aniqlaymiz, bunda: . Tezlik ifodasini (4) formulaga almashtirib, topamiz

Ushbu formulaga miqdorlarning qiymatlarini almashtirib, hisob-kitoblarni amalga oshirib, biz olamiz

yoki µJ.

3-misol. Yupqa novda uzunligining uchlarida l= 1 m va massa m 3 =400 g massali mustahkamlangan kichik sharlar m 1 =200 g Va m 2 = 300g. Rod gorizontal o'q atrofida, perpendikulyar tebranadi

tayoqchaga dikular va uning o'rtasidan o'tadi (6.2-rasmdagi O nuqta). Davrni belgilang T novda tomonidan amalga oshirilgan tebranishlar.

Yechim. Jismoniy mayatnikning tebranish davri, masalan, sharlari bo'lgan novda, o'zaro bog'liqlik bilan belgilanadi.

Qayerda J- T - uning massasi; l BILAN - mayatnikning massa markazidan o'qgacha bo'lgan masofa.

Ushbu mayatnikning inersiya momenti sharlarning inersiya momentlari yig'indisiga teng. J 1 va J 2 va novda J 3:

To'plarni moddiy nuqta sifatida olib, biz ularning inersiya momentlarini ifodalaymiz:

O'q novda o'rtasidan o'tganligi sababli, uning bu o'qga nisbatan inersiya momenti J 3 = = . Olingan iboralarni almashtirish J 1 , J 2 Va J 3-formuladan (2) biz fizik mayatnikning umumiy inersiya momentini topamiz:

Ushbu formuladan foydalanib hisob-kitoblarni amalga oshirib, biz topamiz

Guruch. 6.2 Mayatnikning massasi sharlarning massalari va novda massasidan iborat:

Masofa l BILAN Quyidagi mulohazalarga asoslanib, tebranish o‘qidan mayatnikning massa markazini topamiz. Agar eksa X novda bo'ylab to'g'ridan-to'g'ri va koordinatalarning kelib chiqishini nuqta bilan tekislang HAQIDA, keyin kerakli masofa l mayatnikning massa markazining koordinatasiga teng, ya'ni.

Miqdorlarning qiymatlarini almashtirish m 1 , m 2 , m, l va hisob-kitoblarni amalga oshirgandan so'ng, biz topamiz

Formula (1) yordamida hisob-kitoblarni amalga oshirib, biz fizik mayatnikning tebranish davrini olamiz:

4-misol. Jismoniy mayatnik - bu uzunlikdagi novda l= 1 m va massasi 3 T 1 Bilan uning uchlaridan biriga diametrli va massali halqa bilan biriktirilgan T 1 . Gorizontal o'q Oz

mayatnik unga perpendikulyar tayoqning o'rtasidan o'tadi (6.3-rasm). Davrni belgilang T bunday mayatnikning tebranishlari.

Yechim. Fizik mayatnikning tebranish davri formula bilan aniqlanadi

(1)

Qayerda J- mayatnikning tebranish o'qiga nisbatan inersiya momenti; T - uning massasi; l C - mayatnikning massa markazidan tebranish o'qiga qadar bo'lgan masofa.

Mayatnikning inersiya momenti sterjenning inersiya momentlari yig‘indisiga teng. J 1 va halqa J 2:

(2).

Tayoqning sterjenga perpendikulyar bo'lgan va uning massa markazidan o'tadigan o'qga nisbatan inersiya momenti formula bilan aniqlanadi. . Ushbu holatda t= 3T 1 va

Shtayner teoremasi yordamida halqaning inersiya momentini topamiz , Qayerda J- ixtiyoriy o'qga nisbatan inersiya momenti; J 0 - berilgan o'qqa parallel massa markazidan o'tadigan o'qga nisbatan inersiya momenti; A - ko'rsatilgan o'qlar orasidagi masofa. Ushbu formulani halqaga qo'llash orqali biz olamiz

Ifodalarni almashtirish J 1 va J 2-formuladan (2) aylanma o'qiga nisbatan mayatnikning inersiya momentini topamiz:

Masofa l BILAN mayatnik o'qidan uning massa markaziga teng

Ifodalarni formulaga almashtirish (1) J, l s va mayatnikning massasi, biz uning tebranish davrini topamiz:

Ushbu formuladan foydalanib hisoblagandan so'ng biz olamiz T=2,17 s.

5-misol. Bir xil yo'nalishdagi ikkita tebranish qo'shiladi, tenglamalar bilan ifodalanadi; X 2 = =, qayerda A 1 = 1 sm, A 2 =2 sm, s, s, ō = =. 1. Tebranish komponentlarining ph 1 va ph 2 boshlang‘ich fazalarini aniqlang.

Baniya. 2. Amplitudani toping A va hosil bo'lgan tebranishning boshlang'ich fazasi ph. Olingan tebranish tenglamasini yozing.

Yechim. 1. Garmonik tebranish tenglamasi shaklga ega

Masalaning bayonida ko‘rsatilgan tenglamalarni bir xil ko‘rinishga aylantiramiz:

(2) iboralarni (1) tenglik bilan taqqoslashdan biz birinchi va ikkinchi tebranishlarning boshlang'ich fazalarini topamiz:

Xursand va xursand.

2. Amplitudani aniqlash uchun A hosil bo'lgan tebranishning vektor diagrammasidan foydalanish qulay guruch. 6.4. Kosinus teoremasiga ko'ra, biz olamiz

tebranishlar komponentlari orasidagi fazalar farqi qayerda. Chunki , keyin topilgan qiymatlarni ph 2 va ph 1 almashtirib, biz rad olamiz.

Keling, qiymatlarni almashtiramiz A 1 , A 2 va formulaga (3) kiriting va hisob-kitoblarni bajaring:

A= 2,65 sm.

To'g'ridan-to'g'ri shakldan hosil bo'lgan tebranishning boshlang'ich fazasi ph tangensini aniqlaymiz. 6.4: , dastlabki bosqich qaerdan keladi

Mexanik garmonik tebranish- bu to'g'ri chiziqli notekis harakat bo'lib, unda tebranuvchi jismning (moddiy nuqta) koordinatalari vaqtga qarab kosinus yoki sinus qonuniga muvofiq o'zgaradi.

Ushbu ta'rifga ko'ra, koordinatalarning vaqtga qarab o'zgarishi qonuni quyidagi ko'rinishga ega:

Bu erda wt - kosinus yoki sinus belgisi ostidagi miqdor; w- koeffitsient, uning jismoniy ma'nosi quyida ochiladi; A - mexanik garmonik tebranishlarning amplitudasi.

(4.1) tenglamalar mexanik garmonik tebranishlarning asosiy kinematik tenglamalaridir.

Quyidagi misolni ko'rib chiqing. Ox o'qini olaylik (64-rasm). 0 nuqtadan radiusi R = A bo'lgan aylana chizamiz. 1-pozitsiyadan M nuqta aylana bo'ylab doimiy tezlikda harakatlana boshlasin. v(yoki doimiy burchak tezligi bilan w, v = wA). Bir muncha vaqt o'tgach t radius burchak bilan aylanadi f: f=wt.

M nuqtaning bunday aylana harakati bilan uning x o'qiga M x proyeksiyasi x o'qi bo'ylab harakatlanadi, uning koordinatasi x x = A cos ga teng bo'ladi. f = = A cos wt. Shunday qilib, agar moddiy nuqta A radiusli aylana bo'ylab harakatlansa, uning markazi koordinatalarning kelib chiqishiga to'g'ri keladi, u holda bu nuqtaning x o'qi (va y o'qi bo'yicha) proyeksiyasi garmonik mexanik tebranishlarni amalga oshiradi.

Agar kosinus belgisi ostida joylashgan wt qiymati va A amplitudasi ma'lum bo'lsa, u holda (4.1) tenglamada x ni ham aniqlash mumkin.

Kosinus (yoki sinus) belgisi ostida turgan, ma'lum bir amplituda tebranish nuqtasining koordinatasini yagona aniqlovchi wt miqdori deyiladi. tebranish bosqichi. Aylana bo‘ylab harakatlanayotgan M nuqta uchun w qiymati uning burchak tezligini bildiradi. Mexanik garmonik tebranishlarni bajaruvchi M x nuqta uchun w qiymatining fizik ma'nosi nima? M x tebranish nuqtasining koordinatalari t va (T +1) vaqtning ma'lum bir nuqtasida bir xil (T davrining ta'rifidan), ya'ni A cos. wt = A cos w (t + T), bu shuni anglatadi w(t + T) - og'irligi = 2 PI(kosinus funksiyasining davriylik xususiyatidan). Bundan kelib chiqadi

Binobarin, garmonik mexanik tebranishlarni amalga oshiradigan moddiy nuqta uchun w qiymatini ma'lum bir tebranishlar soni sifatida talqin qilish mumkin. tsikl vaqt teng 2l. Shuning uchun qiymat w chaqirdi tsiklik(yoki doiraviy) chastota.

Agar M nuqta o'z harakatini 1 nuqtadan emas, balki 2 nuqtadan boshlasa, (4.1) tenglama quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:

Hajmi f 0 chaqirdi boshlang'ich bosqichi.

M x nuqtaning tezligini koordinataning vaqtga nisbatan hosilasi sifatida topamiz:

Garmonik qonun bo'yicha tebranayotgan nuqtaning tezlanishini tezlikning hosilasi sifatida aniqlaymiz:

(4.4) formuladan ko'rinib turibdiki, garmonik tebranishlarni bajaruvchi nuqtaning tezligi ham kosinus qonuniga muvofiq o'zgaradi. Ammo faza tezligi koordinatadan oldinda PI/2. Garmonik tebranish paytida tezlanish kosinus qonuniga ko'ra o'zgaradi, lekin faza bo'yicha koordinatadan oldinda. P. (4.5) tenglamani x koordinatasi bilan yozish mumkin:

Garmonik tebranishlar paytida tezlanish teskari belgi bilan siljish bilan proportsionaldir. (4.5) tenglamaning o‘ng va chap tomonlarini m tebranishdagi moddiy nuqtaning massasiga ko‘paytirsak, quyidagi munosabatlarga erishamiz:

Nyutonning ikkinchi qonuniga ko'ra, ifodaning o'ng tomonining fizik ma'nosi (4.6) garmonik mexanik harakatni ta'minlovchi F x kuchining proyeksiyasidir:

F x ning qiymati x siljishiga proporsional va unga qarama-qarshi yo'naltirilgan. Kattaligi deformatsiyaga mutanosib bo'lgan va unga teskari yo'naltirilgan elastik kuch bunday kuchga misol bo'la oladi (Guk qonuni).

Mexanik garmonik tebranishlar uchun biz ko'rib chiqqan (4.6) tenglamadan kelib chiqadigan tezlanish va siljish naqshini umumlashtirish va boshqa fizik tabiatdagi tebranishlarni ko'rib chiqishda qo'llash mumkin (masalan, tebranish zanjiridagi oqimning o'zgarishi, zaryadning o'zgarishi, kuchlanish, magnit maydon induksiyasi va boshqalar). Shuning uchun (4.8) tenglama bosh tenglama deyiladi garmonik dinamika.

Prujinaning harakatini va matematik mayatnikni ko'rib chiqamiz.

Gorizontal joylashgan va 0 nuqtada mahkamlangan prujina (63-rasm) x o'qi bo'ylab ishqalanishsiz harakatlana oladigan m massali jismga bir uchidan biriktirilsin. Prujinaning qattiqlik koeffitsienti k ga teng bo'lsin. m jismni tashqi kuch ta’sirida muvozanat holatidan chiqaramiz va uni qo’yib yuboramiz. Keyin x o'qi bo'ylab tanaga faqat elastik kuch ta'sir qiladi, bu Guk qonuniga ko'ra, F ypp = -kx ga teng bo'ladi.

Ushbu jismning harakat tenglamasi quyidagicha bo'ladi:

(4.6) va (4.9) tenglamalarni taqqoslab, ikkita xulosa chiqaramiz:

(4.2) va (4.10) formulalardan prujinadagi yukning tebranish davri uchun formulani olamiz:

Matematik mayatnik - bu arzimas massali uzun cho'zilmaydigan ipga osilgan m massali jism. Muvozanat holatida bu jismga tortishish kuchi va ipning elastik kuchi ta'sir qiladi. Bu kuchlar bir-birini muvozanatlashtiradi.

Agar ip burchak ostida egilgan bo'lsa A muvozanat holatidan boshlab, u holda tanaga bir xil kuchlar ta'sir qiladi, lekin ular endi bir-birini muvozanatlashtirmaydi va yoyga tangens bo'ylab yo'naltirilgan va mg singa teng bo'lgan tortishish komponenti ta'sirida tana yoy bo'ylab harakatlana boshlaydi. a.

Mayatnikning harakat tenglamasi quyidagi shaklni oladi:

O'ng tarafdagi minus belgisi F x = mg sin a kuchining siljishga qarshi qaratilganligini bildiradi. Harmonik tebranish kichik burilish burchaklarida sodir bo'ladi, ya'ni taqdim etiladi 2* gunoh a.

Keling, gunohni almashtiraylik va ichida(4.12) tenglamadan quyidagi tenglamani olamiz.

Biz bir nechta jismoniy jihatdan butunlay boshqacha tizimlarni ko'rib chiqdik va harakat tenglamalari bir xil shaklga keltirilishiga ishonch hosil qildik.

Fizik tizimlar orasidagi farqlar faqat miqdorning turli ta'riflarida namoyon bo'ladi va o'zgaruvchining turli jismoniy ma'nolarida x: bu koordinata, burchak, zaryad, oqim va boshqalar bo'lishi mumkin. E'tibor bering, bu holda, (1.18) tenglamaning tuzilishidan kelib chiqqan holda, miqdor har doim teskari vaqtning o'lchamiga ega.

Tenglama (1.18) deb atalmishni tavsiflaydi garmonik tebranishlar.

Garmonik tebranish tenglamasi (1.18) ikkinchi darajali chiziqli differentsial tenglamadir (chunki u o'zgaruvchining ikkinchi hosilasini o'z ichiga oladi. x). Tenglamaning chiziqliligi shuni anglatadi

ba'zi funktsiya bo'lsa x(t) bu tenglamaning yechimi, keyin funksiya Cx(t) uning yechimi ham bo'ladi ( C– ixtiyoriy doimiy);

funktsiyalari bo'lsa x 1(t) Va x 2(t) bu tenglamaning yechimlari, keyin ularning yig‘indisi x 1 (t) + x 2 (t) ham xuddi shu tenglamaning yechimi bo'ladi.

Matematik teorema ham isbotlangan, unga ko'ra ikkinchi tartibli tenglama ikkita mustaqil yechimga ega. Chiziqlilik xususiyatlariga ko'ra boshqa barcha echimlarni ularning chiziqli birikmalari sifatida olish mumkin. To'g'ridan-to'g'ri differentsiallash orqali mustaqil funktsiyani bajarishini va (1.18) tenglamani qondirishini tekshirish oson. Bu shuni anglatadiki, ushbu tenglamaning umumiy yechimi quyidagi shaklga ega:

Qayerda C 1,C 2- ixtiyoriy konstantalar. Ushbu yechim boshqa shaklda taqdim etilishi mumkin. Keling, qiymatni kiritamiz

va munosabatlar orqali burchakni aniqlang:

Keyin umumiy yechim (1.19) quyidagicha yoziladi

Trigonometriya formulalariga ko'ra, qavs ichidagi ifoda teng

Biz nihoyat keldik garmonik tebranish tenglamasining umumiy yechimi sifatida:

Salbiy bo'lmagan qiymat A chaqirdi tebranish amplitudasi, - tebranishning dastlabki bosqichi. Butun kosinus argumenti - kombinatsiya deyiladi tebranish bosqichi.

(1.19) va (1.23) iboralar toʻliq ekvivalentdir, shuning uchun biz oddiylik nuqtai nazaridan kelib chiqib, ulardan istalganidan foydalanishimiz mumkin. Ikkala yechim ham vaqtning davriy funksiyalaridir. Darhaqiqat, sinus va kosinus davr bilan davriydir . Shuning uchun garmonik tebranishlarni bajaradigan tizimning turli holatlari ma'lum vaqtdan keyin takrorlanadi t*, bu davrda tebranish fazasi ko'paytmani oladi :

Bundan kelib chiqadi

Bu vaqtlarning eng kami

chaqirdi tebranish davri (1.8-rasm), va - uning dumaloq (tsiklik) chastota.

Guruch. 1.8.

Ular ham foydalanadilar chastota tebranishlar

Shunga ko'ra, dumaloq chastota boshiga tebranishlar soniga teng soniya

Shunday qilib, agar tizim vaqtida t o'zgaruvchining qiymati bilan tavsiflanadi x(t), keyin o'zgaruvchi ma'lum vaqtdan keyin bir xil qiymatga ega bo'ladi (1.9-rasm), ya'ni

Xuddi shu ma'no vaqt o'tishi bilan tabiiy ravishda takrorlanadi 2T, ZT va hokazo.

Guruch. 1.9. Tebranish davri

Umumiy yechim ikkita ixtiyoriy konstantani o'z ichiga oladi ( C 1, C 2 yoki A, a), qiymatlari ikkita bilan aniqlanishi kerak boshlang'ich sharoitlar. Odatda (shart bo'lmasa ham) ularning rolini o'zgaruvchining boshlang'ich qiymatlari o'ynaydi x(0) va uning hosilasi.

Keling, misol keltiraylik. Garmonik tebranishlar tenglamasining (1.19) yechimi prujinali mayatnik harakati tasvirlansin. Ixtiyoriy konstantalarning qiymatlari mayatnikni muvozanatdan qanday olib chiqqanimizga bog'liq. Misol uchun, biz buloqni uzoqqa tortdik va to'pni dastlabki tezliksiz qo'yib yubordi. Ushbu holatda

O'rnini bosish t = 0(1.19) da doimiyning qiymatini topamiz C 2

Shunday qilib, yechim quyidagicha ko'rinadi:

Yukning tezligini vaqtga nisbatan differensiallash orqali topamiz

Bu yerda almashtirish t = 0, doimiyni toping C 1:

Nihoyat

(1.23) bilan solishtirsak, buni topamiz tebranishlarning amplitudasi bo'lib, uning boshlang'ich fazasi nolga teng: .

Keling, mayatnikni boshqa yo'l bilan muvozanatdan chiqaramiz. Keling, yukni shunday uramizki, u boshlang'ich tezlikka ega bo'ladi, lekin zarba paytida deyarli harakat qilmaydi. Keyin bizda boshqa dastlabki shartlar mavjud:

bizning yechimimiz shunday ko'rinadi

Yukning tezligi qonunga muvofiq o'zgaradi:

Keling, bu yerni almashtiramiz:

Garmonik tebranishlarning ta'rifi. Garmonik tebranishlarning xarakteristikalari: muvozanat holatidan siljishi, tebranishlar amplitudasi, tebranish fazasi, tebranish chastotasi va davri. Tebranish nuqtasining tezligi va tezlanishi. Garmonik osilatorning energiyasi. Garmonik osilatorlarga misollar: matematik, bahor, buralish va fizik Xitoy mayatniklari.

Akustika, radiotexnika, optika va boshqa fan va texnika sohalari tebranishlar va to'lqinlarni o'rganishga asoslangan. Tebranishlar nazariyasi mexanikada, ayniqsa samolyotlar, ko'priklar, ma'lum turdagi mashinalar va butlovchi qismlarning mustahkamligini hisoblashda muhim rol o'ynaydi.

Tebranishlar Muntazam oraliqlarda takrorlanadigan jarayonlar (va hamma takrorlanuvchi jarayonlar tebranish emas!). Takroriy jarayonning fizik tabiatiga ko'ra tebranishlar mexanik, elektromagnit, elektromexanik va boshqalarga bo'linadi. Mexanik tebranishlar paytida jismlarning joylashuvi va koordinatalari vaqti-vaqti bilan o'zgarib turadi.

kuchni tiklash - ta'sirida tebranish jarayoni sodir bo'ladigan kuch. Bu kuch dam olish holatidan chetga chiqqan jismni yoki moddiy nuqtani dastlabki holatiga qaytarishga intiladi.

Tebranuvchi jismga ta'sir qilish xususiyatiga ko'ra, erkin (yoki tabiiy) tebranishlar va majburiy tebranishlar farqlanadi.

Tebranuvchi tizimga ta'sir qilish xususiyatiga ko'ra erkin tebranishlar, majburiy tebranishlar, o'z-o'zidan tebranishlar va parametrik tebranishlar farqlanadi.

Ozod (Shaxsiy) tebranishlar - bu tizimga turtki berilgandan so'ng yoki muvozanat holatidan chiqarilgandan keyin o'z-o'zidan qoldirilgan tebranishlar, ya'ni. Tebranayotgan jismga faqat tiklovchi kuch ta'sir qilganda, masalan, ipga osilgan sharning tebranishi. Tebranishlar paydo bo'lishi uchun siz to'pni surishingiz yoki uni yon tomonga siljitishingiz kerak. Hech qanday energiya tarqalishi sodir bo'lmasa, erkin tebranishlar o'chirilmaydi. Biroq, haqiqiy tebranish jarayonlari susaytiriladi, chunki tebranish jismiga harakatga qarshilik kuchlari (asosan ishqalanish kuchlari) ta'sir qiladi.

· Majburiy Bunday tebranishlar deyiladi, bunda tebranish tizimiga tashqi davriy o'zgaruvchan kuch ta'sir qiladi (masalan, ko'prikning odamlar uning bo'ylab, qadam bosganida sodir bo'ladigan tebranishlari). Ko'p hollarda tizimlar garmonik deb hisoblanishi mumkin bo'lgan tebranishlarga duchor bo'ladi.

· O'z-o'zidan tebranishlar , majburiy tebranishlar kabi, ular tebranuvchi tizimga tashqi kuchlarning ta'siri bilan birga keladi, ammo bu ta'sirlar sodir bo'lgan vaqt momentlari tebranish tizimining o'zi tomonidan belgilanadi. Ya'ni, tizimning o'zi tashqi ta'sirlarni boshqaradi. Oʻz-oʻzidan tebranuvchi sistemaga koʻtarilgan ogʻirlik yoki burama prujinaning energiyasi taʼsirida mayatnik zarbalar oladigan soatni misol qilib keltirish mumkin va bu zarbalar mayatnik oʻrta holatdan oʻtgan momentlarda sodir boʻladi.

· Parametrik tebranishlar tebranish tizimining parametrlari vaqti-vaqti bilan o'zgarganda sodir bo'ladi (belanchakda tebranib turgan odam vaqti-vaqti bilan o'zining og'irlik markazini ko'taradi va tushiradi, shu bilan tizim parametrlarini o'zgartiradi). Muayyan sharoitlarda tizim beqaror bo'lib qoladi - muvozanat holatidan tasodifiy og'ish tebranishlarning paydo bo'lishiga va kuchayishiga olib keladi. Bu hodisa tebranishlarning parametrik qo'zg'alishi (ya'ni, tebranishlar tizim parametrlarini o'zgartirish orqali qo'zg'atiladi), tebranishlarning o'zi esa parametrik deb ataladi.

Har xil jismoniy tabiatga qaramay, tebranishlar umumiy usullar bilan o'rganiladigan bir xil naqshlar bilan tavsiflanadi. Muhim kinematik xarakteristika - bu tebranishlarning shakli. Bu tebranishlar paytida u yoki bu jismoniy miqdorning o'zgarishini tavsiflovchi vaqt funksiyasining turi bilan belgilanadi. Vaqt o'tishi bilan o'zgaruvchan miqdor o'zgarib turadigan eng muhim tebranishlardir. sinus yoki kosinus qonuniga ko'ra . Ular chaqiriladi garmonik .

Garmonik tebranishlar tebranishlar deyiladi, bunda tebranuvchi fizik miqdor sinus (yoki kosinus) qonuniga muvofiq o'zgaradi.

Ushbu turdagi tebranish quyidagi sabablarga ko'ra ayniqsa muhimdir. Birinchidan, tabiatdagi va texnologiyadagi tebranishlar ko'pincha garmonikaga juda yaqin xarakterga ega. Ikkinchidan, boshqa shakldagi davriy jarayonlar (vaqtning boshqa bog'liqligi bilan) garmonik tebranishlarning superpozitsiyasi yoki superpozitsiyasi sifatida ifodalanishi mumkin.