ความถี่ของการสั่นฮาร์มอนิกเรียกว่า การสั่นสะเทือนแบบฮาร์มอนิก

§ 6. การสั่นสะเทือนทางกลสูตรพื้นฐาน

สมการฮาร์มอนิก

ที่ไหน เอ็กซ์ -การกระจัดของจุดสั่นจากตำแหน่งสมดุล ที- เวลา; เอ,ω, φ - แอมพลิจูด, ความถี่เชิงมุม, เฟสเริ่มต้นของการแกว่งตามลำดับ; - ระยะของการแกว่งในขณะนั้น ที.

ความถี่เชิงมุม

โดยที่ ν และ T คือความถี่และคาบของการสั่น

ความเร็วของจุดที่ทำการออสซิลเลชันฮาร์มอนิกคือ

ความเร่งระหว่างการสั่นฮาร์มอนิก

แอมพลิจูด กการสั่นที่เกิดขึ้นจากการบวกการสั่นสองครั้งที่มีความถี่เท่ากันเกิดขึ้นตามเส้นตรงเส้นเดียวจะถูกกำหนดโดยสูตร

ที่ไหน ก 1 และ ก 2 - แอมพลิจูดของส่วนประกอบการสั่นสะเทือน φ 1 และ φ 2 เป็นระยะเริ่มต้น

เฟสเริ่มต้น φ ของการแกว่งที่เกิดขึ้นสามารถพบได้จากสูตร

ความถี่ของการเต้นที่เกิดขึ้นเมื่อเพิ่มการสั่นสองครั้งที่เกิดขึ้นในเส้นตรงเส้นเดียวด้วยความถี่ที่แตกต่างกัน แต่คล้ายกัน ν 1 และ ν 2

สมการของวิถีโคจรของจุดที่มีส่วนร่วมในการแกว่งตั้งฉากกันสองครั้งด้วยแอมพลิจูด A 1 และ A 2 และเฟสเริ่มต้น φ 1 และ φ 2

หากเฟสเริ่มต้น φ 1 และ φ 2 ขององค์ประกอบการแกว่งเหมือนกัน สมการวิถีโคจรจะอยู่ในรูปแบบ

นั่นคือจุดนั้นเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง

ในกรณีที่ผลต่างเฟสคือ สมการจะอยู่ในรูปแบบ

นั่นคือจุดเคลื่อนที่ไปตามวงรี

สมการเชิงอนุพันธ์ของการแกว่งฮาร์มอนิกของจุดวัสดุ

, หรือ โดยที่ m คือมวลของจุด เค- ค่าสัมประสิทธิ์แรงกึ่งยืดหยุ่น ( เค=ตω 2)

พลังงานทั้งหมดของจุดวัสดุที่ทำการออสซิลเลชันฮาร์มอนิกคือ

คาบการสั่นของวัตถุที่แขวนอยู่บนสปริง (ลูกตุ้มสปริง)

ที่ไหน ม- มวลร่างกาย; เค- ความแข็งของสปริง สูตรนี้ใช้ได้กับการสั่นสะเทือนแบบยืดหยุ่นภายในขอบเขตที่เป็นไปตามกฎของฮุค (โดยมีมวลสปริงเพียงเล็กน้อยเมื่อเทียบกับมวลของร่างกาย)

คาบการสั่นของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์

ที่ไหน ล- ความยาวของลูกตุ้ม; ก- ความเร่งของแรงโน้มถ่วง คาบการสั่นของลูกตุ้มทางกายภาพ

ที่ไหน เจ- โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุที่สั่นสัมพันธ์กับแกน

ลังเล; ก- ระยะห่างจากจุดศูนย์กลางมวลของลูกตุ้มจากแกนการสั่น

ลดความยาวของลูกตุ้มทางกายภาพ

สูตรที่ให้มานั้นแม่นยำสำหรับกรณีของแอมพลิจูดที่เล็กมาก สำหรับแอมพลิจูดที่มีขอบเขตจำกัด สูตรเหล่านี้ให้ผลลัพธ์โดยประมาณเท่านั้น ที่แอมพลิจูดไม่เกินค่าความผิดพลาดในช่วงค่าจะต้องไม่เกิน 1%

คาบของการสั่นสะเทือนแบบบิดของร่างกายที่แขวนอยู่บนด้ายยางยืดคือ

ที่ไหน เจ- โมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายสัมพันธ์กับแกนที่ตรงกับด้ายยืดหยุ่น เค- ความแข็งของด้ายยางยืด เท่ากับอัตราส่วนของโมเมนต์ยืดหยุ่นที่เกิดขึ้นเมื่อด้ายถูกบิดเป็นมุมที่ด้ายถูกบิด

สมการเชิงอนุพันธ์ของการสั่นแบบหน่วง , หรือ ,

ที่ไหน ร- ค่าสัมประสิทธิ์ความต้านทาน δ - ค่าสัมประสิทธิ์การลดทอน: ; ω 0 - ความถี่เชิงมุมตามธรรมชาติของการแกว่ง *

สมการการสั่นแบบหน่วง

ที่ไหน ที่)- แอมพลิจูดของการสั่นแบบหน่วงในขณะนั้น เสื้อ;ω คือความถี่เชิงมุมของพวกมัน

ความถี่เชิงมุมของการสั่นแบบหน่วง

О ขึ้นอยู่กับแอมพลิจูดของการสั่นแบบหน่วงตรงเวลา

ฉัน

ที่ไหน ก 0 - แอมพลิจูดของการสั่นในขณะนั้น ที=0.

การลดลงของการสั่นแบบลอการิทึม

ที่ไหน ที่)และ เอ(ที+ที)- แอมพลิจูดของการแกว่งสองครั้งต่อเนื่องกันโดยแยกจากกันด้วยช่วงเวลาหนึ่งช่วง

สมการเชิงอนุพันธ์ของการแกว่งแบบบังคับ

โดยที่แรงคาบภายนอกที่กระทำต่อจุดวัสดุที่กำลังสั่นและทำให้เกิดการสั่นแบบบังคับ เอฟ 0 - ค่าแอมพลิจูดของมัน

แอมพลิจูดของการสั่นแบบบังคับ

ความถี่เรโซแนนซ์และแอมพลิจูดเรโซแนนซ์ และ

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 1จุดแกว่งไปแกว่งมาตามกฎหมาย x(เสื้อ)= , ที่ไหน ก=2ดู กำหนดเฟสเริ่มต้น φ ถ้า

x(0)= ซม. และ เอ็กซ์ , (0)<0. Построить векторную диаграмму для мо-­ мента ที=0.

สารละลาย. ลองใช้สมการการเคลื่อนที่และแสดงการกระจัดในขณะนั้น ที=0 ผ่านระยะเริ่มต้น:

จากที่นี่เราจะพบระยะเริ่มต้น:

* ในสูตรที่กำหนดไว้ก่อนหน้านี้สำหรับการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิก ปริมาณเดียวกันถูกกำหนดไว้เพียง ω (โดยไม่มีดัชนี 0)

ลองแทนค่าที่กำหนดลงในนิพจน์นี้ x(0) และ ตอบ:φ= = - ค่าของอาร์กิวเมนต์เป็นไปตามค่ามุมสองค่า:

เพื่อตัดสินใจว่าค่าใดของมุม φ ที่ตรงตามเงื่อนไข เราจะพบก่อน:

การแทนค่าลงในนิพจน์นี้ ที=0 และสลับค่าของเฟสเริ่มต้น และ เราพบ

ต เช่นเคย ก>0 และ ω>0 ดังนั้นเฉพาะค่าแรกของเฟสเริ่มต้นเท่านั้นที่ตรงตามเงื่อนไข ดังนั้นระยะเริ่มต้นที่ต้องการ

การใช้ค่าที่พบของ φ เราสร้างไดอะแกรมเวกเตอร์ (รูปที่ 6.1) ตัวอย่างที่ 2จุดวัสดุกับมวล ต=5 g ทำการสั่นแบบฮาร์มอนิกด้วยความถี่ ν =0.5 เฮิรตซ์ แอมพลิจูดของการสั่น ก=3 ซม. กำหนด: 1) ความเร็ว υ ชี้ไปที่เวลาที่เกิดการกระจัด x== 1.5 ซม. 2) แรงสูงสุด F สูงสุดที่กระทำต่อจุด; 3) มะเดื่อ 6.1 พลังงานทั้งหมด อีจุดสั่น

และเราได้สูตรความเร็วโดยการหาอนุพันธ์ครั้งแรกของการกระจัด:

ในการแสดงความเร็วผ่านการกระจัด จำเป็นต้องแยกเวลาออกจากสูตร (1) และ (2) เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะยกกำลังสองสมการทั้งสองและหารสมการแรกด้วย ก 2 , อันที่สองบน A 2 ω 2 และเพิ่ม:

, หรือ

ต้องแก้สมการสุดท้ายของ υ แล้ว , เราจะพบ

เมื่อทำการคำนวณโดยใช้สูตรนี้แล้วเราก็จะได้

เครื่องหมายบวกตรงกับกรณีที่ทิศทางของความเร็วเกิดขึ้นพร้อมกับทิศทางที่เป็นบวกของแกน เอ็กซ์,เครื่องหมายลบ - เมื่อทิศทางของความเร็วเกิดขึ้นพร้อมกับทิศทางลบของแกน เอ็กซ์

การกระจัดระหว่างการสั่นฮาร์มอนิก นอกเหนือจากสมการ (1) ยังสามารถกำหนดได้จากสมการอีกด้วย

ทำซ้ำคำตอบเดียวกันกับสมการนี้ เราก็ได้คำตอบเหมือนกัน

2. เราค้นหาแรงที่กระทำต่อจุดหนึ่งโดยใช้กฎข้อที่สองของนิวตัน:

ที่ไหน เอ -ความเร่งของจุดที่เราได้รับโดยหาอนุพันธ์ของเวลาของความเร็ว:

เราได้การแทนที่นิพจน์ความเร่งเป็นสูตร (3)

ดังนั้นค่าแรงสูงสุด

แทนค่าของ π, ν ลงในสมการนี้ ตและ เอ,เราจะพบ

3. พลังงานรวมของจุดสั่นคือผลรวมของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ที่คำนวณในช่วงเวลาใดๆ

วิธีที่ง่ายที่สุดในการคำนวณพลังงานทั้งหมดคือช่วงเวลาที่พลังงานจลน์ถึงค่าสูงสุด ในขณะนี้พลังงานศักย์เป็นศูนย์ ดังนั้นพลังงานทั้งหมด อีจุดสั่นเท่ากับพลังงานจลน์สูงสุด

เรากำหนดความเร็วสูงสุดจากสูตร (2) โดยใส่: - เราพบการแทนที่นิพจน์สำหรับความเร็วเป็นสูตร (4)

เราได้รับค่าแทนค่าของปริมาณลงในสูตรนี้และทำการคำนวณ

หรือ µJ

ตัวอย่างที่ 3ที่ปลายก้านเรียวบางยาว ล= 1 เมตร และมวล ม 3 =400 กรัมเสริมลูกบอลขนาดเล็กที่มีมวล ม 1 =200 ก และ ม 2 =300ก. แท่งจะแกว่งไปรอบแกนนอนตั้งฉาก

มีลักษณะเป็นวงกลมกับแกนและผ่านตรงกลาง (จุด O ในรูปที่ 6.2) กำหนดระยะเวลา ตการสั่นที่เกิดจากไม้เรียว

สารละลาย. คาบของการสั่นของลูกตุ้มทางกายภาพ เช่น ไม้เรียวที่มีลูกบอล ถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์

ที่ไหน เจ- ที -มวลของมัน ล กับ - ระยะห่างจากจุดศูนย์กลางมวลของลูกตุ้มถึงแกน

โมเมนต์ความเฉื่อยของลูกตุ้มนี้เท่ากับผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยของลูกบอล เจ 1 และ เจ 2 และคัน เจ 3:

เมื่อนำลูกบอลเป็นจุดวัสดุ เราจะแสดงช่วงเวลาแห่งความเฉื่อย:

เนื่องจากแกนเคลื่อนผ่านตรงกลางของแกน โมเมนต์ความเฉื่อยของมันสัมพันธ์กับแกนนี้ เจ 3 = = . การแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ เจ 1 , เจ 2 และ เจ 3 ในสูตร (2) เราพบโมเมนต์ความเฉื่อยรวมของลูกตุ้มทางกายภาพ:

เมื่อทำการคำนวณโดยใช้สูตรนี้แล้วเราจะพบ

ข้าว. 6.2 มวลของลูกตุ้มประกอบด้วยมวลของลูกบอลและมวลของแกน:

ระยะทาง ล กับ เราจะหาจุดศูนย์กลางมวลของลูกตุ้มจากแกนการสั่นโดยพิจารณาจากข้อพิจารณาดังต่อไปนี้ ถ้าเป็นแกน เอ็กซ์ตรงไปตามแกนและจัดตำแหน่งที่มาของพิกัดให้ตรงกับจุด เกี่ยวกับ,แล้วตามระยะทางที่ต้องการ ลเท่ากับพิกัดของจุดศูนย์กลางมวลของลูกตุ้มนั่นคือ

การแทนค่าของปริมาณ ม 1 , ม 2 , ม, ลและหลังจากคำนวณแล้วเราก็พบ

เมื่อทำการคำนวณโดยใช้สูตร (1) เราจะได้คาบการสั่นของลูกตุ้มทางกายภาพ:

ตัวอย่างที่ 4ลูกตุ้มทางกายภาพคือแท่งที่มีความยาว ล= 1 เมตร และมวล 3 ต 1 กับติดกับปลายด้านหนึ่งด้วยห่วงที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางและมวล ต 1 . แกนนอน ออนซ์

ลูกตุ้มผ่านตรงกลางของแกนตั้งฉากกับมัน (รูปที่ 6.3) กำหนดระยะเวลา ตการแกว่งของลูกตุ้มดังกล่าว

สารละลาย. คาบการสั่นของลูกตุ้มทางกายภาพถูกกำหนดโดยสูตร

(1)

ที่ไหน เจ- โมเมนต์ความเฉื่อยของลูกตุ้มสัมพันธ์กับแกนของการสั่น ที -มวลของมัน ลค - ระยะห่างจากจุดศูนย์กลางมวลของลูกตุ้มถึงแกนการสั่น

โมเมนต์ความเฉื่อยของลูกตุ้มเท่ากับผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยของแกน เจ 1 และห่วง เจ 2:

(2).

โมเมนต์ความเฉื่อยของแท่งเทียบกับแกนที่ตั้งฉากกับแท่งและผ่านจุดศูนย์กลางมวลถูกกำหนดโดยสูตร - ในกรณีนี้ เสื้อ= 3ต 1 และ

เราค้นหาโมเมนต์ความเฉื่อยของห่วงโดยใช้ทฤษฎีบทของสไตเนอร์ , ที่ไหน เจ- โมเมนต์ความเฉื่อยเกี่ยวกับแกนใดก็ได้ เจ 0 - โมเมนต์ความเฉื่อยเกี่ยวกับแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวลขนานกับแกนที่กำหนด เอ -ระยะห่างระหว่างแกนที่ระบุ เราจึงได้การใช้สูตรนี้กับห่วง

การแทนที่นิพจน์ เจ 1 และ เจ 2 ในสูตร (2) เราค้นหาโมเมนต์ความเฉื่อยของลูกตุ้มสัมพันธ์กับแกนการหมุน:

ระยะทาง ล กับ จากแกนของลูกตุ้มถึงจุดศูนย์กลางมวลเท่ากับ

การแทนที่นิพจน์ลงในสูตร (1) เจ, ล s และมวลของลูกตุ้ม เราจะหาคาบของการแกว่งของมัน:

หลังจากคำนวณโดยใช้สูตรนี้แล้วเราจะได้ ต=2.17 วิ

ตัวอย่างที่ 5การแกว่งในทิศทางเดียวกันสองครั้งจะถูกเพิ่มเข้าไป ซึ่งแสดงโดยสมการ เอ็กซ์ 2 = =, ที่ไหน ก 1 = 1 ซม. ก 2 =2 ซม., ส, ส, ω = = 1. กำหนดเฟสเริ่มต้น φ 1 และ φ 2 ของส่วนประกอบการสั่น

บานิยา. 2. ค้นหาแอมพลิจูด กและระยะเริ่มต้น φ ของการสั่นที่เกิดขึ้น เขียนสมการของการสั่นสะเทือนที่เกิดขึ้น

สารละลาย. 1. สมการของการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกมีรูปแบบ

ให้เราแปลงสมการที่ระบุในคำชี้แจงปัญหาให้อยู่ในรูปแบบเดียวกัน:

จากการเปรียบเทียบนิพจน์ (2) ด้วยความเท่าเทียมกัน (1) เราจะพบระยะเริ่มต้นของการแกว่งครั้งแรกและครั้งที่สอง:

ดีใจและ ยินดี.

2. เพื่อกำหนดแอมพลิจูด กของการแกว่งที่เกิดขึ้นจะสะดวกในการใช้แผนภาพเวกเตอร์ที่นำเสนอ ข้าว. 6.4. ตามทฤษฎีบทโคไซน์ เราได้

โดยที่ความแตกต่างของเฟสระหว่างองค์ประกอบของการแกว่ง เพราะ จากนั้นโดยการแทนที่ค่าที่พบของ φ 2 และ φ 1 เราจะได้ rad

ลองแทนค่าต่างๆ กัน ก 1 , ก 2 และเข้าสู่สูตร (3) แล้วทำการคำนวณ:

ก= 2.65 ซม.

ขอให้เรากำหนดแทนเจนต์ของเฟสเริ่มต้น φ ของการแกว่งที่เกิดขึ้นโดยตรงจากรูปที่ 6.4: ซึ่งเฟสเริ่มต้นมาจากไหน

การสั่นแบบฮาร์มอนิกเชิงกล- นี่คือการเคลื่อนไหวที่ไม่สม่ำเสมอเป็นเส้นตรงซึ่งพิกัดของวัตถุที่สั่น (จุดวัสดุ) เปลี่ยนแปลงตามกฎของโคไซน์หรือไซน์ขึ้นอยู่กับเวลา

ตามคำจำกัดความนี้ กฎการเปลี่ยนแปลงพิกัดตามเวลามีรูปแบบ:

โดยที่ wt คือปริมาณที่อยู่ใต้เครื่องหมายโคไซน์หรือไซน์ ว- ค่าสัมประสิทธิ์ความหมายทางกายภาพซึ่งจะเปิดเผยด้านล่าง A คือแอมพลิจูดของการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกเชิงกล

สมการ (4.1) เป็นสมการจลนศาสตร์พื้นฐานของการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกเชิงกล

ลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้ ลองใช้แกน Ox (รูปที่ 64) จากจุด 0 เราวาดวงกลมที่มีรัศมี R = A ให้จุด M จากตำแหน่ง 1 เริ่มเคลื่อนที่รอบวงกลมด้วยความเร็วคงที่ โวลต์(หรือด้วยความเร็วเชิงมุมคงที่ ว, วี = วเอ- หลังจากนั้นครู่หนึ่ง รัศมีจะหมุนเป็นมุม ฉ: ฉ=น้ำหนัก.

ด้วยการเคลื่อนที่แบบวงกลมของจุด M การฉายภาพบนแกน x M x จะเคลื่อนที่ไปตามแกน x ซึ่งพิกัดที่ x จะเท่ากับ x = A cos ฉ = = กเพราะ น้ำหนัก- ดังนั้น หากจุดวัสดุเคลื่อนที่ไปตามวงกลมรัศมี A ซึ่งมีศูนย์กลางตรงกับที่มาของพิกัด การฉายภาพของจุดนี้บนแกน x (และบนแกน y) จะทำให้เกิดการสั่นสะเทือนเชิงกลแบบฮาร์มอนิก

หากทราบค่า wt ซึ่งอยู่ใต้เครื่องหมายโคไซน์ และแอมพลิจูด A ก็สามารถหาค่า x ได้ในสมการ (4.1)

ปริมาณ wt ซึ่งยืนอยู่ใต้เครื่องหมายโคไซน์ (หรือไซน์) ซึ่งกำหนดพิกัดของจุดสั่นที่แอมพลิจูดที่กำหนดโดยไม่ซ้ำกันเรียกว่า เฟสการสั่น- สำหรับจุด M ที่เคลื่อนที่เป็นวงกลม ค่า w หมายถึงความเร็วเชิงมุม ความหมายทางกายภาพของค่า w ของจุด M x ที่มีการสั่นฮาร์มอนิกเชิงกลคืออะไร? พิกัดของจุดสั่น M x เท่ากัน ณ จุดใดจุดหนึ่งในเวลา t และ (T +1) (จากคำจำกัดความของช่วงเวลา T) เช่น A cos น้ำหนัก = cos w (t + T) ซึ่งหมายความว่า ว(t + T) - น้ำหนัก = 2 พี(จากคุณสมบัติความเป็นคาบของฟังก์ชันโคไซน์) มันเป็นไปตามนั้น

ดังนั้น สำหรับจุดวัสดุที่มีการแกว่งเชิงกลแบบฮาร์มอนิก ค่าของ w สามารถตีความได้ว่าเป็นจำนวนการแกว่งของค่าหนึ่ง วงจรเวลาเท่ากัน 2ล- จึงมีค่า วเรียกว่า วัฏจักร(หรือ วงกลม) ความถี่.

หากจุด M เริ่มเคลื่อนที่ไม่ใช่จากจุดที่ 1 แต่จากจุดที่ 2 สมการ (4.1) จะอยู่ในรูปแบบ:

ขนาด ฉ 0เรียกว่า ระยะเริ่มแรก.

เราพบว่าความเร็วของจุด M x เป็นอนุพันธ์ของพิกัดเทียบกับเวลา:

เรานิยามความเร่งของจุดที่สั่นตามกฎฮาร์มอนิกเป็นอนุพันธ์ของความเร็ว:

จากสูตร (4.4) เห็นได้ชัดว่าความเร็วของจุดที่ทำการออสซิลเลชันฮาร์มอนิกเปลี่ยนแปลงไปตามกฎโคไซน์ด้วย แต่ความเร็วเฟสนั้นนำหน้าพิกัดด้วย ปี่/2- ความเร่งในระหว่างการสั่นฮาร์มอนิกจะแปรผันตามกฎโคไซน์ แต่อยู่ข้างหน้าพิกัดในเฟสโดย ป- สมการ (4.5) สามารถเขียนในรูปของพิกัด x ได้:

ความเร่งระหว่างการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกจะเป็นสัดส่วนกับการกระจัดที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม ให้เราคูณด้านขวาและด้านซ้ายของสมการ (4.5) ด้วยมวลของจุดวัสดุที่สั่น m เราจะได้ความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้:

ตามกฎข้อที่สองของนิวตัน ความหมายทางกายภาพของทางด้านขวามือของนิพจน์ (4.6) คือการฉายภาพของแรง F x ซึ่งให้การเคลื่อนที่เชิงกลแบบฮาร์มอนิก:

ค่าของ F x เป็นสัดส่วนกับการกระจัด x และอยู่ตรงข้ามกับค่านั้น ตัวอย่างของแรงดังกล่าวคือแรงยืดหยุ่น ซึ่งมีขนาดเป็นสัดส่วนกับการเสียรูปและมีทิศทางตรงกันข้ามกับแรงนั้น (กฎของฮุค)

รูปแบบของการเร่งความเร็วและการกระจัด ซึ่งตามมาจากสมการ (4.6) ซึ่งเราพิจารณาสำหรับการแกว่งของฮาร์มอนิกเชิงกล สามารถสรุปและนำไปใช้ได้เมื่อพิจารณาการแกว่งของลักษณะทางกายภาพที่แตกต่างกัน (เช่น การเปลี่ยนแปลงของกระแสในวงจรการแกว่ง การเปลี่ยนแปลงของประจุ แรงดันไฟฟ้า การเหนี่ยวนำสนามแม่เหล็ก ฯลฯ) ดังนั้นสมการ (4.8) จึงเรียกว่าสมการหลัก พลศาสตร์ฮาร์มอนิก.

ลองพิจารณาการเคลื่อนที่ของสปริงและลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์

ให้สปริง (รูปที่ 63) ซึ่งอยู่ในแนวนอนและคงที่ที่จุด 0 ติดที่ปลายด้านหนึ่งเข้ากับวัตถุที่มีมวล m ซึ่งสามารถเคลื่อนที่ไปตามแกน x โดยไม่มีแรงเสียดทาน ให้ค่าสัมประสิทธิ์ความแข็งของสปริงเท่ากับ k ให้เราเอาตัว m ออกด้วยแรงภายนอกจากตำแหน่งสมดุลแล้วปล่อยมัน จากนั้นตามแกน x จะมีเพียงแรงยืดหยุ่นเท่านั้นที่จะกระทำต่อร่างกาย ซึ่งตามกฎของฮุคจะเท่ากับ: F yпp = -kx

สมการการเคลื่อนที่ของวัตถุนี้จะมีรูปแบบดังนี้

เมื่อเปรียบเทียบสมการ (4.6) และ (4.9) เราได้ข้อสรุปสองประการ:

จากสูตร (4.2) และ (4.10) เราได้สูตรสำหรับคาบการแกว่งของโหลดบนสปริง:

ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์คือวัตถุที่มีมวล m แขวนอยู่บนเส้นด้ายยาวที่ยืดออกไม่ได้และมีมวลเล็กน้อย ในตำแหน่งสมดุล วัตถุนี้จะถูกกระทำโดยแรงโน้มถ่วงและแรงยืดหยุ่นของเส้นด้าย กองกำลังเหล่านี้จะสมดุลซึ่งกันและกัน

หากด้ายเอียงเป็นมุม กจากตำแหน่งสมดุลแรงเดียวกันจะกระทำต่อร่างกาย แต่พวกมันไม่สมดุลกันอีกต่อไปและร่างกายเริ่มเคลื่อนที่ไปตามส่วนโค้งภายใต้อิทธิพลขององค์ประกอบแรงโน้มถ่วงที่พุ่งไปตามแทนเจนต์ถึงส่วนโค้งและเท่ากับ mg sin ก.

สมการการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มอยู่ในรูปแบบ:

เครื่องหมายลบทางด้านขวาหมายความว่าแรง F x = mg sin a พุ่งต้านการกระจัด การสั่นของฮาร์มอนิกจะเกิดขึ้นที่มุมโก่งตัวเล็กน้อย กล่าวคือ ให้ไว้ เอ 2*บาป ก.

มาแทนที่บาปกันเถอะ และในสมการ (4.12) เราได้สมการดังต่อไปนี้

เราตรวจสอบระบบที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิงทางกายภาพหลายระบบ และตรวจสอบให้แน่ใจว่าสมการการเคลื่อนที่ถูกลดทอนให้อยู่ในรูปแบบเดียวกัน

ความแตกต่างระหว่างระบบทางกายภาพจะปรากฏเฉพาะในคำจำกัดความที่ต่างกันของปริมาณเท่านั้น และความรู้สึกทางกายภาพที่แตกต่างกันของตัวแปร x: นี่อาจเป็นพิกัด มุม ประจุ กระแส ฯลฯ โปรดทราบว่าในกรณีนี้ จากโครงสร้างสมการ (1.18) ต่อไปนี้ ปริมาณจะมีมิติของเวลาผกผันเสมอ

สมการ (1.18) อธิบายสิ่งที่เรียกว่า การสั่นสะเทือนฮาร์มอนิก.

สมการการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิก (1.18) เป็นสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสอง (เนื่องจากมีอนุพันธ์อันดับสองของตัวแปร x). ความเป็นเส้นตรงของสมการหมายความว่าอย่างนั้น

ถ้าฟังก์ชั่นบางอย่าง เอ็กซ์(ที)คือคำตอบของสมการนี้ แล้วก็ฟังก์ชัน ซีเอ็กซ์(ที)จะเป็นทางออกของเขาด้วย ( ค– ค่าคงที่ตามอำเภอใจ);

ถ้าฟังก์ชั่น x 1(ท)และ x 2(ท)คือคำตอบของสมการนี้ แล้วจึงผลรวม x 1 (เสื้อ) + x 2 (เสื้อ)จะเป็นคำตอบของสมการเดียวกันด้วย

ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ยังได้รับการพิสูจน์แล้ว โดยสมการอันดับสองมีคำตอบที่เป็นอิสระสองข้อ สารละลายอื่นๆ ทั้งหมดตามคุณสมบัติของความเป็นเชิงเส้นสามารถหาได้จากผลรวมเชิงเส้น ง่ายต่อการตรวจสอบโดยการหาอนุพันธ์โดยตรงว่าฟังก์ชันอิสระและเป็นไปตามสมการ (1.18) ซึ่งหมายความว่าคำตอบทั่วไปของสมการนี้มีรูปแบบดังนี้

ที่ไหน ค 1ค 2- ค่าคงที่ตามอำเภอใจ วิธีนี้สามารถนำเสนอในรูปแบบอื่นได้ มาใส่ค่ากัน

และกำหนดมุมตามความสัมพันธ์:

จากนั้นคำตอบทั่วไป (1.19) เขียนเป็น

ตามสูตรตรีโกณมิติ นิพจน์ในวงเล็บจะเท่ากับ

ในที่สุดเราก็มาถึง คำตอบทั่วไปของสมการการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกเช่น:

ค่าที่ไม่เป็นลบ กเรียกว่า แอมพลิจูดการสั่นสะเทือน, - ระยะเริ่มต้นของการสั่น. อาร์กิวเมนต์โคไซน์ทั้งหมด - การรวมกัน - เรียกว่า เฟสการสั่น.

นิพจน์ (1.19) และ (1.23) เทียบเท่ากันโดยสิ้นเชิง ดังนั้นเราจึงสามารถใช้นิพจน์ใดก็ได้ โดยพิจารณาจากความเรียบง่าย คำตอบทั้งสองเป็นฟังก์ชันคาบของเวลา อันที่จริงไซน์และโคไซน์นั้นมีคาบเป็นคาบ . ดังนั้น สถานะต่างๆ ของระบบที่ทำการออสซิลเลชันฮาร์มอนิกจะเกิดขึ้นซ้ำหลังจากช่วงระยะเวลาหนึ่ง เสื้อ*ซึ่งในระหว่างนั้นเฟสการสั่นจะได้รับการเพิ่มขึ้นซึ่งเป็นผลคูณของ :

มันเป็นไปตามนั้น

อย่างน้อยครั้งนี้

เรียกว่า ระยะเวลาของการสั่น (รูปที่ 1.8) และ - ของเขา วงกลม (วงจร) ความถี่.

ข้าว. 1.8.

พวกเขายังใช้ ความถี่ ความผันผวน

ดังนั้น ความถี่วงกลมจึงเท่ากับจำนวนการแกว่งต่อ วินาที

ดังนั้นหากระบบในขณะนั้น ทีโดดเด่นด้วยค่าของตัวแปร x(เสื้อ)จากนั้นตัวแปรจะมีค่าเท่ากันหลังจากช่วงระยะเวลาหนึ่ง (รูปที่ 1.9) กล่าวคือ

ความหมายเดียวกันนี้จะเกิดขึ้นซ้ำตามธรรมชาติเมื่อเวลาผ่านไป 2ต, ซีทีฯลฯ

ข้าว. 1.9. ระยะเวลาการสั่น

วิธีแก้ปัญหาทั่วไปประกอบด้วยค่าคงที่ตามอำเภอใจสองตัว ( ค 1, ค 2หรือ ก, ก) ค่าที่ต้องถูกกำหนดโดยสอง เงื่อนไขเริ่มต้น. โดยปกติ (แต่ไม่จำเป็น) บทบาทของพวกเขาจะเล่นตามค่าเริ่มต้นของตัวแปร x(0)และอนุพันธ์ของมัน

ลองยกตัวอย่าง ให้คำตอบ (1.19) ของสมการออสซิลเลชันฮาร์มอนิกอธิบายการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มสปริง ค่าของค่าคงที่ตามอำเภอใจขึ้นอยู่กับวิธีที่เรานำลูกตุ้มออกจากสมดุล เช่น เราดึงสปริงไปไกลๆ และปล่อยบอลโดยไม่มีความเร็วเริ่มต้น ในกรณีนี้

การทดแทน เสื้อ = 0ใน (1.19) เราจะหาค่าของค่าคงที่ ค 2

วิธีแก้ปัญหาจึงมีลักษณะดังนี้:

เราค้นหาความเร็วของโหลดโดยการแยกส่วนตามเวลา

เข้ามาทดแทนที่นี่. ที = 0 จงหาค่าคงที่ ค 1:

ในที่สุด

เมื่อเปรียบเทียบกับ (1.23) เราจะพบว่า คือแอมพลิจูดของการแกว่ง และเฟสเริ่มต้นคือศูนย์:

ให้เราทำให้ลูกตุ้มสมดุลในอีกทางหนึ่ง ลองตีโหลดเพื่อให้ได้ความเร็วเริ่มต้น แต่ในทางปฏิบัติแล้วจะไม่เคลื่อนที่ระหว่างการกระแทก จากนั้นเราก็มีเงื่อนไขเริ่มต้นอื่นๆ:

โซลูชันของเราดูเหมือน

ความเร็วของการโหลดจะเปลี่ยนไปตามกฎหมาย:

มาแทนที่ที่นี่:

คำจำกัดความของการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิก ลักษณะเฉพาะของการออสซิลเลชันฮาร์มอนิก: การกระจัดจากตำแหน่งสมดุล แอมพลิจูดของการออสซิลเลชัน เฟสของการออสซิลเลชัน ความถี่และคาบการออสซิลเลชัน ความเร็วและความเร่งของจุดสั่น พลังงานของออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิก ตัวอย่างของออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิก: ทางคณิตศาสตร์ สปริง แรงบิด และกายภาพ ลูกตุ้มจีน

อะคูสติก วิศวกรรมวิทยุ ออพติก และสาขาวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีอื่นๆ มีพื้นฐานมาจากการศึกษาการแกว่งและคลื่น ทฤษฎีการสั่นสะเทือนมีบทบาทสำคัญในกลศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการคำนวณกำลังของเครื่องบิน สะพาน ตลอดจนเครื่องจักรและส่วนประกอบบางประเภท

การสั่น เป็นกระบวนการที่ทำซ้ำในช่วงเวลาสม่ำเสมอ (และไม่ใช่ทุกกระบวนการที่ทำซ้ำจะเกิดการแกว่ง!) ขึ้นอยู่กับลักษณะทางกายภาพของกระบวนการทำซ้ำ การสั่นสะเทือนจะแตกต่างกันระหว่างเครื่องกล แม่เหล็กไฟฟ้า เครื่องกลไฟฟ้า ฯลฯ ในระหว่างการสั่นสะเทือนทางกล ตำแหน่งและพิกัดของวัตถุจะเปลี่ยนไปเป็นระยะ

กำลังฟื้นฟู - แรงภายใต้อิทธิพลของกระบวนการสั่นที่เกิดขึ้น แรงนี้มีแนวโน้มที่จะทำให้วัตถุหรือจุดวัตถุซึ่งเบี่ยงเบนไปจากตำแหน่งที่เหลือกลับสู่ตำแหน่งเดิม

ขึ้นอยู่กับลักษณะของการกระแทกต่อตัวเครื่องที่สั่น ความแตกต่างเกิดขึ้นระหว่างการสั่นสะเทือนอิสระ (หรือตามธรรมชาติ) และการสั่นสะเทือนแบบบังคับ

ขึ้นอยู่กับลักษณะของผลกระทบต่อระบบการสั่น การสั่นแบบอิสระ การสั่นแบบบังคับ การสั่นในตัวเอง และการสั่นแบบพารามิเตอร์ มีความแตกต่างกัน

ฟรี (เป็นเจ้าของ) การสั่นคือการสั่นที่เกิดขึ้นในระบบทิ้งไว้กับตัวเองหลังจากถูกผลักหรือถูกลบออกจากตำแหน่งสมดุล กล่าวคือ เมื่อแรงกลับคืนมาเท่านั้นที่กระทำต่อตัวการสั่น ตัวอย่างคือการสั่นของลูกบอลที่แขวนอยู่บนเส้นด้าย เพื่อทำให้เกิดการสั่นสะเทือน คุณต้องดันลูกบอลหรือเลื่อนไปด้านข้างแล้วปล่อย ในกรณีที่ไม่มีการกระจายพลังงานเกิดขึ้น การแกว่งอิสระจะไม่ถูกทำให้หมาด อย่างไรก็ตาม กระบวนการสั่นจริงนั้นถูกทำให้หมาด ๆ เนื่องจาก ตัวที่สั่นนั้นอยู่ภายใต้แรงต้านทานการเคลื่อนที่ (ส่วนใหญ่เป็นแรงเสียดทาน)

· บังคับ เรียกว่าการสั่นดังกล่าวในระหว่างที่ระบบการสั่นสัมผัสกับแรงภายนอกที่เปลี่ยนแปลงเป็นระยะ ๆ (เช่นการสั่นของสะพานที่เกิดขึ้นเมื่อมีคนเดินไปตามนั้นเดินเป็นก้าว) ในหลายกรณี ระบบจะเกิดการสั่นซึ่งถือได้ว่าเป็นฮาร์มอนิก

· การสั่นด้วยตนเอง , เช่นเดียวกับการสั่นแบบบังคับ สิ่งเหล่านี้จะมาพร้อมกับอิทธิพลของแรงภายนอกที่มีต่อระบบการสั่น อย่างไรก็ตาม ช่วงเวลาที่อิทธิพลเหล่านี้เกิดขึ้นนั้นถูกกำหนดโดยระบบการสั่นเอง นั่นคือระบบเองก็ควบคุมอิทธิพลภายนอก ตัวอย่างของระบบการสั่นในตัวเองคือนาฬิกาที่ลูกตุ้มรับแรงกระแทกเนื่องจากพลังงานของน้ำหนักที่เพิ่มขึ้นหรือสปริงที่บิดเบี้ยว และแรงกระแทกเหล่านี้เกิดขึ้นในช่วงเวลาที่ลูกตุ้มผ่านตำแหน่งตรงกลาง

· พาราเมตริก การแกว่งเกิดขึ้นเมื่อพารามิเตอร์ของระบบการสั่นเปลี่ยนแปลงเป็นระยะ (บุคคลที่แกว่งบนวงสวิงจะยกและลดจุดศูนย์ถ่วงเป็นระยะ ๆ ซึ่งจะเป็นการเปลี่ยนพารามิเตอร์ของระบบ) ภายใต้เงื่อนไขบางประการ ระบบจะไม่เสถียร - การเบี่ยงเบนแบบสุ่มจากตำแหน่งสมดุลนำไปสู่การเกิดขึ้นและการแกว่งที่เพิ่มขึ้น ปรากฏการณ์นี้เรียกว่าการกระตุ้นแบบพาราเมตริกของการแกว่ง (เช่น การแกว่งจะตื่นเต้นโดยการเปลี่ยนพารามิเตอร์ของระบบ) และการสั่นนั้นเรียกว่าพาราเมตริก

แม้จะมีลักษณะทางกายภาพที่แตกต่างกัน แต่การสั่นสะเทือนก็มีรูปแบบเดียวกันซึ่งศึกษาโดยวิธีการทั่วไป ลักษณะทางจลนศาสตร์ที่สำคัญคือรูปร่างของการสั่นสะเทือน ถูกกำหนดโดยประเภทของฟังก์ชันเวลาที่อธิบายการเปลี่ยนแปลงของปริมาณทางกายภาพอย่างใดอย่างหนึ่งระหว่างการแกว่ง ความผันผวนที่สำคัญที่สุดคือความผันผวนที่ปริมาณที่ผันผวนเปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลา ตามกฎของไซน์หรือโคไซน์ - พวกเขาถูกเรียกว่า ฮาร์มอนิก .

การสั่นสะเทือนแบบฮาร์มอนิกเรียกว่าการสั่นซึ่งปริมาณทางกายภาพของการสั่นเปลี่ยนแปลงไปตามกฎของไซน์ (หรือโคไซน์)

การแกว่งประเภทนี้มีความสำคัญอย่างยิ่งด้วยเหตุผลดังต่อไปนี้ ประการแรก การสั่นสะเทือนในธรรมชาติและเทคโนโลยีมักจะมีลักษณะที่ใกล้เคียงกับฮาร์โมนิคมาก ประการที่สอง กระบวนการที่เป็นคาบของรูปแบบที่แตกต่างกัน (โดยขึ้นอยู่กับเวลาที่แตกต่างกัน) สามารถแสดงเป็นการซ้อนหรือการซ้อนของการสั่นแบบฮาร์มอนิกได้