การค้นพบที่ชาญฉลาดที่สุดในทางวิทยาศาสตร์สามารถเปลี่ยนแปลงชีวิตมนุษย์ได้อย่างสิ้นเชิง วัคซีนที่ประดิษฐ์ขึ้นสามารถช่วยชีวิตผู้คนนับล้านได้ แต่ในทางกลับกัน การสร้างอาวุธก็พรากชีวิตผู้คนเหล่านี้ไป เมื่อไม่นานมานี้ (ตามระดับวิวัฒนาการของมนุษย์) เราได้เรียนรู้ที่จะ "ควบคุม" ไฟฟ้า - และตอนนี้เราไม่สามารถจินตนาการถึงชีวิตได้หากไม่มีอุปกรณ์แสนสะดวกเหล่านี้ที่ใช้ไฟฟ้า แต่ก็มีการค้นพบที่น้อยคนนักจะให้ความสำคัญ แม้ว่าสิ่งเหล่านั้นจะมีอิทธิพลอย่างมากต่อชีวิตของเราก็ตาม

หนึ่งในการค้นพบที่ “ไม่เด่น” เหล่านี้คือแฟร็กทัล คุณคงเคยได้ยินคำติดหูนี้มาก่อน แต่คุณรู้ไหมว่ามันหมายถึงอะไรและมีข้อมูลที่น่าสนใจซ่อนอยู่ในคำนี้มากแค่ไหน?

ทุกคนมีความอยากรู้อยากเห็นโดยธรรมชาติ มีความปรารถนาที่จะเข้าใจโลกรอบตัวเขา และในความพยายามนี้ บุคคลพยายามที่จะยึดถือตรรกะในการตัดสิน วิเคราะห์กระบวนการที่เกิดขึ้นรอบตัวเขา เขาพยายามค้นหาตรรกะของสิ่งที่เกิดขึ้นและหารูปแบบบางอย่าง ผู้มีความคิดที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในโลกกำลังยุ่งอยู่กับงานนี้ พูดโดยคร่าวๆ นักวิทยาศาสตร์กำลังมองหารูปแบบที่ไม่ควรจะมี อย่างไรก็ตาม แม้ในความสับสนวุ่นวายก็ยังเป็นไปได้ที่จะพบความเชื่อมโยงระหว่างเหตุการณ์ต่างๆ และการเชื่อมต่อนี้เป็นแฟร็กทัล

ลูกสาวตัวน้อยของเรา อายุสี่ขวบครึ่ง ตอนนี้อยู่ในวัยที่ยอดเยี่ยมเมื่อมีคำถามมากมายว่า “ทำไม” หลายครั้งเกินจำนวนคำตอบที่ผู้ใหญ่จัดการให้ได้ ไม่นานมานี้ ขณะตรวจดูกิ่งไม้ที่งอกขึ้นมาจากพื้นดิน จู่ๆ ลูกสาวของฉันก็สังเกตเห็นว่ากิ่งก้านนี้ทั้งกิ่งก้านและกิ่งก้านของมันดูเหมือนต้นไม้เลย และแน่นอนว่า สิ่งที่ตามมาคือคำถามปกติว่า “ทำไม” ซึ่งผู้ปกครองต้องหาคำอธิบายง่ายๆ ที่เด็กจะเข้าใจได้

ความคล้ายคลึงกันของกิ่งก้านเดี่ยวกับต้นไม้ทั้งต้นที่เด็กค้นพบเป็นการสังเกตที่แม่นยำมาก ซึ่งเป็นข้อพิสูจน์อีกครั้งถึงหลักการของความคล้ายคลึงกันในธรรมชาติแบบเรียกซ้ำ รูปแบบอินทรีย์และอนินทรีย์หลายชนิดในธรรมชาติเกิดขึ้นในลักษณะเดียวกัน เมฆ เปลือกหอย “บ้านของหอยทาก” เปลือกไม้และมงกุฎของต้นไม้ ระบบไหลเวียนโลหิต และอื่นๆ รูปร่างแบบสุ่มของวัตถุทั้งหมดนี้สามารถอธิบายได้ด้วยอัลกอริธึมแฟร็กทัล

⇡ Benoit Mandelbrot: บิดาแห่งเรขาคณิตแฟร็กทัล

คำว่า "แฟร็กทัล" ปรากฏขึ้นมาโดยนักวิทยาศาสตร์ผู้ชาญฉลาด เบอนัวต์ บี. แมนเดลโบรต์

ตัวเขาเองเป็นคนบัญญัติศัพท์นี้ขึ้นในปี 1970 โดยยืมคำว่า fractus จากภาษาละติน ซึ่งแปลว่า "แตกหัก" หรือ "ถูกบดขยี้" อย่างแท้จริง มันคืออะไร? ปัจจุบัน คำว่า "แฟร็กทัล" ส่วนใหญ่มักหมายถึงการแสดงภาพโครงสร้างที่คล้ายกับตัวมันเองในระดับที่ใหญ่กว่า

พื้นฐานทางคณิตศาสตร์สำหรับการเกิดขึ้นของทฤษฎีเศษส่วนนั้นถูกวางไว้หลายปีก่อนการกำเนิดของเบอนัวต์ แมนเดลโบรต์ แต่สามารถพัฒนาได้เมื่อมีการถือกำเนิดของอุปกรณ์คอมพิวเตอร์เท่านั้น เบอนัวต์ทำงานที่ศูนย์วิจัยไอบีเอ็มในช่วงเริ่มต้นอาชีพทางวิทยาศาสตร์ ในขณะนั้น พนักงานของศูนย์กำลังทำงานเพื่อส่งข้อมูลในระยะไกล ในระหว่างการวิจัย นักวิทยาศาสตร์ต้องเผชิญกับปัญหาการสูญเสียครั้งใหญ่จากการรบกวนทางเสียง เบอนัวต์มีงานที่ยากและสำคัญมาก - เพื่อทำความเข้าใจวิธีทำนายการเกิดสัญญาณรบกวนทางเสียงในวงจรอิเล็กทรอนิกส์เมื่อวิธีการทางสถิติไม่ได้ผล

เมื่อพิจารณาจากผลการวัดสัญญาณรบกวน Mandelbrot สังเกตเห็นรูปแบบแปลก ๆ อย่างหนึ่ง นั่นคือกราฟสัญญาณรบกวนในระดับต่าง ๆ ดูเหมือนกัน มีการสังเกตรูปแบบที่เหมือนกันไม่ว่าจะเป็นกราฟสัญญาณรบกวนในหนึ่งวัน หนึ่งสัปดาห์ หรือหนึ่งชั่วโมง จำเป็นต้องเปลี่ยนขนาดของกราฟ และรูปภาพจะถูกทำซ้ำทุกครั้ง

ในช่วงชีวิตของเขา Benoit Mandelbrot พูดซ้ำ ๆ ว่าเขาไม่ได้เรียนสูตร แต่เพียงเล่นกับรูปภาพ ชายคนนี้คิดเป็นรูปเป็นร่างมากและแปลปัญหาพีชคณิตใด ๆ ลงในสาขาเรขาคณิตโดยที่คำตอบที่ถูกต้องนั้นชัดเจนเสมอตามเขา

ไม่น่าแปลกใจเลยที่ชายผู้นี้มีจินตนาการเชิงพื้นที่มากมายกลายเป็นบิดาแห่งเรขาคณิตแฟร็กทัล ท้ายที่สุดแล้ว การตระหนักรู้ถึงแก่นแท้ของแฟร็กทัลจะเกิดขึ้นเมื่อคุณเริ่มศึกษาภาพวาดและคิดถึงความหมายของรูปแบบการหมุนวนที่แปลกประหลาด

รูปแบบแฟร็กทัลไม่มีองค์ประกอบที่เหมือนกัน แต่จะคล้ายกันในทุกขนาด ก่อนหน้านี้เป็นไปไม่ได้เลยที่จะสร้างภาพที่มีรายละเอียดระดับสูงด้วยตนเอง ซึ่งต้องใช้การคำนวณจำนวนมาก ตัวอย่างเช่น นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส ปิแอร์ โจเซฟ หลุยส์ ฟาตู บรรยายเหตุการณ์นี้ไว้มากกว่าเจ็ดสิบปีก่อนที่เบอนัวต์ มานเดลโบรต์จะถูกค้นพบ ถ้าเราพูดถึงหลักการของความคล้ายคลึงกันในตัวเอง งานของ Leibniz และ Georg Cantor ก็ถูกกล่าวถึง

ภาพวาดเศษส่วนชิ้นแรกๆ คือการตีความแบบกราฟิกของฉาก Mandelbrot ซึ่งเกิดจากการค้นคว้าของ Gaston Maurice Julia

แกสตัน จูเลีย (สวมหน้ากากตลอดเวลา - ได้รับบาดเจ็บจากสงครามโลกครั้งที่ 1)

นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสคนนี้สงสัยว่าเซตจะเป็นอย่างไรหากสร้างจากสูตรง่ายๆ ที่วนซ้ำผ่านลูปป้อนกลับ หากเราอธิบาย "ด้วยนิ้วของเรา" หมายความว่าสำหรับตัวเลขใดจำนวนหนึ่ง เราจะพบค่าใหม่โดยใช้สูตร หลังจากนั้นเราจะแทนที่ค่านั้นอีกครั้งในสูตรและรับค่าอื่น ผลลัพธ์ที่ได้คือลำดับตัวเลขจำนวนมาก

เพื่อให้ได้ภาพที่สมบูรณ์ของชุดดังกล่าวคุณต้องทำการคำนวณจำนวนมาก - หลายร้อยหลายพันล้าน เป็นไปไม่ได้เลยที่จะทำสิ่งนี้ด้วยตนเอง แต่เมื่อนักคณิตศาสตร์มีอุปกรณ์คอมพิวเตอร์อันทรงพลังให้ใช้งาน พวกเขาก็สามารถดูสูตรและสำนวนที่น่าสนใจมานานแล้วได้ Mandelbrot เป็นคนแรกที่ใช้คอมพิวเตอร์ในการคำนวณเศษส่วนแบบคลาสสิก หลังจากประมวลผลลำดับที่ประกอบด้วยค่าจำนวนมาก เบอนัวต์ก็พล็อตผลลัพธ์บนกราฟ นั่นคือสิ่งที่เขาได้รับ

ต่อมาภาพนี้ถูกลงสี (เช่น วิธีการระบายสีวิธีหนึ่งคือตามจำนวนการทำซ้ำ) และกลายเป็นหนึ่งในภาพที่ได้รับความนิยมมากที่สุดเท่าที่มนุษย์เคยสร้างมา

ดังสุภาษิตโบราณที่มาจาก Heraclitus แห่งเมืองเอเฟซัสที่ว่า “คุณไม่สามารถก้าวลงแม่น้ำสายเดียวกันสองครั้งได้” เหมาะอย่างยิ่งสำหรับการตีความเรขาคณิตของแฟร็กทัล ไม่ว่าเราจะดูภาพแฟร็กทัลที่มีรายละเอียดมากน้อยเพียงใด เราก็จะเห็นรูปแบบที่คล้ายกันเสมอ

ผู้ที่ต้องการดูว่าภาพของอวกาศ Mandelbrot จะเป็นอย่างไรเมื่อซูมเข้าหลายๆ ครั้ง สามารถทำได้โดยการดาวน์โหลด GIF แบบเคลื่อนไหว

⇡ Lauren Carpenter: ศิลปะที่สร้างสรรค์โดยธรรมชาติ

ในไม่ช้าทฤษฎีแฟร็กทัลก็นำไปใช้ได้จริง เนื่องจากมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับการแสดงภาพที่คล้ายกันในตัวเอง จึงไม่น่าแปลกใจที่ศิลปินกลุ่มแรกที่ใช้อัลกอริธึมและหลักการในการสร้างรูปแบบที่ผิดปกติคือศิลปิน

ในอนาคตผู้ร่วมก่อตั้งสตูดิโอ Pixar ในตำนาน Loren C. Carpenter เริ่มทำงานในปี 1967 ที่ Boeing Computer Services ซึ่งเป็นหนึ่งในแผนกของบริษัทชื่อดังที่กำลังพัฒนาเครื่องบินรุ่นใหม่

ในปี 1977 เขาได้สร้างงานนำเสนอด้วยแบบจำลองการบินต้นแบบ ความรับผิดชอบของลอเรนรวมถึงการพัฒนาภาพลักษณ์ของเครื่องบินที่กำลังได้รับการออกแบบ เขาต้องสร้างภาพโมเดลใหม่ๆ โดยแสดงให้เห็นเครื่องบินในอนาคตจากมุมที่ต่างกัน เมื่อถึงจุดหนึ่ง ผู้ก่อตั้ง Pixar Animation Studios ในอนาคตเกิดความคิดสร้างสรรค์ในการใช้ภาพภูเขาเป็นพื้นหลัง ทุกวันนี้เด็กนักเรียนคนใดสามารถแก้ไขปัญหาดังกล่าวได้ แต่ในช่วงปลายทศวรรษที่เจ็ดสิบของศตวรรษที่ผ่านมา คอมพิวเตอร์ไม่สามารถรับมือกับการคำนวณที่ซับซ้อนเช่นนี้ได้ - ไม่มีโปรแกรมแก้ไขกราฟิก ไม่ต้องพูดถึงแอปพลิเคชันสำหรับกราฟิก 3 มิติ ในปี 1978 ลอเรนบังเอิญเห็นหนังสือ Fractals: Form, Chance and Dimension ของเบอนัวต์ แมนเดลโบรต์ ในร้านค้าแห่งหนึ่ง สิ่งที่ทำให้เขาสนใจในหนังสือเล่มนี้ก็คือ เบอนัวต์ได้ยกตัวอย่างรูปทรงแฟร็กทัลในชีวิตจริงมากมาย และแย้งว่ารูปทรงเหล่านี้สามารถอธิบายได้ด้วยนิพจน์ทางคณิตศาสตร์

นักคณิตศาสตร์ไม่ได้เลือกการเปรียบเทียบนี้โดยบังเอิญ ความจริงก็คือทันทีที่เขาตีพิมพ์งานวิจัยของเขา เขาต้องเผชิญกับคำวิพากษ์วิจารณ์มากมาย สิ่งสำคัญที่เพื่อนร่วมงานตำหนิเขาคือความไร้ประโยชน์ของทฤษฎีที่กำลังพัฒนา “ใช่” พวกเขาพูด “นี่เป็นภาพที่สวยงาม แต่ไม่มีอะไรมากไปกว่านั้น” ทฤษฎีแฟร็กทัลไม่มีค่าในทางปฏิบัติ” ยังมีผู้ที่เชื่อโดยทั่วไปว่ารูปแบบแฟร็กทัลเป็นเพียงผลพลอยได้จากการทำงานของ "เครื่องจักรปีศาจ" ซึ่งในช่วงปลายทศวรรษที่เจ็ดสิบ ดูเหมือนหลายคนจะเป็นสิ่งที่ซับซ้อนเกินไปและยังไม่มีใครสำรวจจนเชื่อถือได้อย่างสมบูรณ์ แมนเดลบรอตพยายามค้นหาการประยุกต์ใช้ทฤษฎีแฟร็กทัลที่ชัดเจน แต่โดยภาพรวมแล้ว เขาไม่จำเป็นต้องใช้ ตลอด 25 ปีข้างหน้า ผู้ติดตามของ Benoit Mandelbrot ได้พิสูจน์ถึงประโยชน์มหาศาลของ "ความอยากรู้อยากเห็นทางคณิตศาสตร์" ดังกล่าว และ Lauren Carpenter ก็เป็นหนึ่งในคนกลุ่มแรกๆ ที่ลองใช้วิธีเศษส่วนในทางปฏิบัติ

หลังจากศึกษาหนังสือเล่มนี้แล้ว นักสร้างแอนิเมชั่นในอนาคตได้ศึกษาหลักการของเรขาคณิตแฟร็กทัลอย่างจริงจังและเริ่มมองหาวิธีนำไปใช้ในคอมพิวเตอร์กราฟิก ในเวลาเพียงสามวันของการทำงาน ลอเรนก็สามารถแสดงภาพระบบภูเขาที่สมจริงบนคอมพิวเตอร์ของเขาได้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง เขาใช้สูตรในการวาดภาพทิวทัศน์ภูเขาที่เป็นที่รู้จักอย่างสมบูรณ์

หลักการที่ลอเรนใช้เพื่อบรรลุเป้าหมายนั้นง่ายมาก ประกอบด้วยการแบ่งรูปทรงเรขาคณิตที่ใหญ่กว่าออกเป็นองค์ประกอบเล็กๆ และในทางกลับกัน สิ่งเหล่านี้ก็ถูกแบ่งออกเป็นตัวเลขที่คล้ายกันซึ่งมีขนาดเล็กกว่า

คาร์เพนเตอร์ใช้สามเหลี่ยมขนาดใหญ่แบ่งออกเป็นสี่อันเล็กๆ แล้วทำซ้ำขั้นตอนนี้ซ้ำแล้วซ้ำเล่าจนกระทั่งได้ภาพทิวทัศน์ภูเขาที่เหมือนจริง ดังนั้นเขาจึงสามารถเป็นศิลปินคนแรกที่ใช้อัลกอริธึมแฟร็กทัลในการสร้างภาพในคอมพิวเตอร์กราฟิกส์ ทันทีที่ผลงานเป็นที่รู้จัก ผู้ที่ชื่นชอบทั่วโลกก็รับแนวคิดนี้และเริ่มใช้อัลกอริธึมแฟร็กทัลเพื่อเลียนแบบรูปร่างตามธรรมชาติที่สมจริง

หนึ่งในการแสดงภาพ 3 มิติแรกๆ ที่ใช้อัลกอริธึมแฟร็กทัล

เพียงไม่กี่ปีต่อมา Lauren Carpenter ก็สามารถประยุกต์การพัฒนาของเขาในโครงการที่ใหญ่กว่ามากได้ อนิเมเตอร์สร้างการสาธิต Vol Libre ความยาวสองนาทีจากพวกเขา ซึ่งได้ฉายบน Siggraph ในปี 1980 วิดีโอนี้ทำให้ทุกคนที่เห็นตกใจ และลอเรนได้รับคำเชิญจากลูคัสฟิล์ม

แอนิเมชั่นถูกเรนเดอร์บนคอมพิวเตอร์ VAX-11/780 จาก Digital Equipment Corporation ด้วยความเร็วสัญญาณนาฬิกา 5 เมกะเฮิรตซ์ และแต่ละเฟรมใช้เวลาประมาณครึ่งชั่วโมงในเรนเดอร์

อนิเมเตอร์ที่ทำงานให้กับลูคัสฟิล์ม ลิมิเต็ด ได้สร้างทิวทัศน์ 3 มิติโดยใช้รูปแบบเดียวกันกับภาพยนตร์เต็มเรื่องที่สองในเทพนิยายสตาร์ เทรค ใน The Wrath of Khan ช่างไม้สามารถสร้างดาวเคราะห์ทั้งดวงได้โดยใช้หลักการเดียวกันของการสร้างแบบจำลองพื้นผิวแฟร็กทัล

ในปัจจุบัน แอปพลิเคชันยอดนิยมทั้งหมดสำหรับการสร้างทิวทัศน์ 3 มิติใช้หลักการที่คล้ายกันในการสร้างวัตถุทางธรรมชาติ Terragen, Bryce, Vue และโปรแกรมแก้ไข 3D อื่นๆ อาศัยอัลกอริธึมแฟร็กทัลสำหรับการสร้างแบบจำลองพื้นผิวและพื้นผิว

⇡ เสาอากาศแบบแฟร็กทัล: น้อยแต่มาก

ในช่วงครึ่งศตวรรษที่ผ่านมา ชีวิตเริ่มเปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็ว พวกเราส่วนใหญ่ถือว่าความก้าวหน้าของเทคโนโลยีสมัยใหม่เป็นเรื่องไร้สาระ คุณจะคุ้นเคยกับทุกสิ่งที่ทำให้ชีวิตสะดวกสบายขึ้นอย่างรวดเร็ว ไม่ค่อยมีใครถามคำถามว่า “สิ่งนี้มาจากไหน” และ “มันทำงานอย่างไร” ไมโครเวฟอุ่นอาหารเช้า - เยี่ยมมาก สมาร์ทโฟนเปิดโอกาสให้คุณพูดคุยกับบุคคลอื่น - เยี่ยมมาก นี่ดูเหมือนมีความเป็นไปได้ที่ชัดเจนสำหรับเรา

แต่ชีวิตอาจแตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิงหากบุคคลไม่ได้แสวงหาคำอธิบายเกี่ยวกับเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น ยกตัวอย่างโทรศัพท์มือถือ จำเสาอากาศแบบพับเก็บได้ในรุ่นแรกๆ ได้ไหม? พวกเขารบกวนเพิ่มขนาดของอุปกรณ์และในที่สุดก็มักจะพัง เราเชื่อว่าพวกมันจมลงสู่การลืมเลือนไปตลอดกาล และเหตุผลส่วนหนึ่งก็คือ... แฟร็กทัล

รูปแบบแฟร็กทัลทำให้หลงใหลกับลวดลายของมัน พวกมันมีลักษณะคล้ายกับภาพของวัตถุในจักรวาล เช่น เนบิวลา กระจุกกาแลคซี และอื่นๆ ดังนั้นจึงค่อนข้างเป็นธรรมชาติที่เมื่อ Mandelbrot กล่าวถึงทฤษฎีแฟร็กทัลของเขา งานวิจัยของเขาได้กระตุ้นความสนใจมากขึ้นในหมู่ผู้ที่ศึกษาดาราศาสตร์ มือสมัครเล่นคนหนึ่งชื่อ Nathan Cohen หลังจากเข้าร่วมการบรรยายโดย Benoit Mandelbrot ในบูดาเปสต์ ได้รับแรงบันดาลใจจากแนวคิดของการประยุกต์ใช้ความรู้ที่ได้รับในทางปฏิบัติ จริงอยู่ที่เขาทำสิ่งนี้โดยสัญชาตญาณและโอกาสมีบทบาทสำคัญในการค้นพบของเขา ในฐานะนักวิทยุสมัครเล่น นาธานพยายามสร้างเสาอากาศที่มีความไวสูงสุดที่เป็นไปได้

วิธีเดียวที่จะปรับปรุงพารามิเตอร์ของเสาอากาศซึ่งเป็นที่รู้จักในขณะนั้นคือการเพิ่มมิติทางเรขาคณิต อย่างไรก็ตาม เจ้าของทรัพย์สินในตัวเมืองบอสตันที่นาธานเช่านั้นไม่เห็นด้วยกับการติดตั้งอุปกรณ์ขนาดใหญ่บนหลังคาอย่างเด็ดขาด จากนั้น นาธานเริ่มทดลองกับเสาอากาศที่มีรูปทรงต่างๆ โดยพยายามให้ได้ผลลัพธ์สูงสุดด้วยขนาดที่เล็กที่สุด แรงบันดาลใจจากแนวคิดของรูปแบบแฟร็กทัลโคเฮนตามที่พวกเขากล่าวว่าสุ่มสร้างแฟร็กทัลที่มีชื่อเสียงที่สุดชิ้นหนึ่งจากลวด - "เกล็ดหิมะโคช์ส" เฮลเก ฟอน คอค นักคณิตศาสตร์ชาวสวีเดน คิดเส้นโค้งนี้ขึ้นมาเมื่อปี 1904 ได้มาจากการแบ่งส่วนออกเป็นสามส่วนและแทนที่ส่วนตรงกลางด้วยสามเหลี่ยมด้านเท่าโดยไม่มีด้านที่ตรงกับส่วนนี้ คำจำกัดความเข้าใจยากนิดหน่อย แต่ในรูปทุกอย่างชัดเจนและเรียบง่าย

นอกจากนี้ยังมีรูปแบบอื่นๆ ของเส้นโค้ง Koch แต่รูปร่างโดยประมาณของเส้นโค้งยังคงใกล้เคียงกัน

เมื่อนาธานเชื่อมต่อเสาอากาศเข้ากับเครื่องรับวิทยุ เขาประหลาดใจมาก - ความไวเพิ่มขึ้นอย่างมาก หลังจากการทดลองหลายครั้ง ศาสตราจารย์ในอนาคตของมหาวิทยาลัยบอสตันก็ตระหนักว่าเสาอากาศที่สร้างขึ้นตามรูปแบบแฟร็กทัลนั้นมีประสิทธิภาพสูงและครอบคลุมช่วงความถี่ที่กว้างกว่ามากเมื่อเทียบกับโซลูชันแบบคลาสสิก นอกจากนี้รูปร่างของเสาอากาศในรูปแบบของเส้นโค้งแฟร็กทัลทำให้สามารถลดขนาดทางเรขาคณิตได้อย่างมาก นาธาน โคเฮนยังคิดทฤษฎีบทที่พิสูจน์ว่าการสร้างเสาอากาศบรอดแบนด์ ก็เพียงพอที่จะทำให้มันมีรูปร่างของเส้นโค้งเศษส่วนที่คล้ายกันในตัวเอง

ผู้เขียนจดสิทธิบัตรการค้นพบของเขาและก่อตั้งบริษัทเพื่อพัฒนาและออกแบบเสาอากาศแฟร็กทัล Fractal Antenna Systems โดยเชื่ออย่างถูกต้องว่าในอนาคตด้วยการค้นพบของเขา โทรศัพท์มือถือจะสามารถกำจัดเสาอากาศขนาดใหญ่และมีขนาดกะทัดรัดมากขึ้น

โดยหลักการแล้วนี่คือสิ่งที่เกิดขึ้น จริงอยู่ จนถึงทุกวันนี้ นาธานกำลังต่อสู้ทางกฎหมายกับบริษัทขนาดใหญ่ที่ใช้การค้นพบของเขาเพื่อผลิตอุปกรณ์สื่อสารขนาดกะทัดรัดอย่างผิดกฎหมาย ผู้ผลิตอุปกรณ์เคลื่อนที่ที่มีชื่อเสียงบางราย เช่น Motorola ได้บรรลุข้อตกลงฉันมิตรกับผู้ประดิษฐ์เสาอากาศแฟร็กทัลแล้ว

⇡ มิติแฟร็กทัล: คุณไม่สามารถเข้าใจมันได้ด้วยใจ

เบอนัวต์ยืมคำถามนี้มาจากนักวิทยาศาสตร์ชาวอเมริกันผู้โด่งดัง เอ็ดเวิร์ด แคสเนอร์

อย่างหลังเช่นเดียวกับนักคณิตศาสตร์ชื่อดังคนอื่นๆ ชอบสื่อสารกับเด็กๆ ถามคำถามและรับคำตอบที่ไม่คาดคิด บางครั้งสิ่งนี้นำไปสู่ผลลัพธ์ที่น่าประหลาดใจ ตัวอย่างเช่น หลานชายวัย 9 ขวบของ Edward Kasner เกิดคำว่า "googol" ซึ่งเป็นที่รู้จักกันดีในปัจจุบัน ซึ่งหมายถึงหนึ่งตามด้วยศูนย์หนึ่งร้อยตัว แต่กลับมาที่แฟร็กทัลกัน นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกันรายนี้ชอบถามคำถามว่าแนวชายฝั่งสหรัฐฯ ยาวแค่ไหน หลังจากฟังความคิดเห็นของคู่สนทนาแล้ว เอ็ดเวิร์ดเองก็พูดคำตอบที่ถูกต้อง หากคุณวัดความยาวบนแผนที่โดยใช้ส่วนที่ขาด ผลลัพธ์จะไม่ถูกต้อง เนื่องจากแนวชายฝั่งมีสิ่งผิดปกติจำนวนมาก จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราวัดผลได้อย่างแม่นยำที่สุด? คุณจะต้องคำนึงถึงความยาวของความไม่เท่ากันแต่ละอย่าง - คุณจะต้องวัดทุกแหลม ทุกอ่าว หิน ความยาวของหิ้งหิน หินบนนั้น เม็ดทราย อะตอม และอื่นๆ เนื่องจากจำนวนความผิดปกติมีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุด ความยาวที่วัดได้ของแนวชายฝั่งจะเพิ่มขึ้นเป็นอนันต์เมื่อทำการวัดความผิดปกติใหม่แต่ละรายการ

ยิ่งการวัดมีขนาดเล็กเท่าใด ความยาวที่วัดได้ก็จะยิ่งยาวขึ้นเท่านั้น

ที่น่าสนใจคือ ตามคำแนะนำของเอ็ดเวิร์ด เด็กๆ พูดวิธีแก้ปัญหาที่ถูกต้องได้เร็วกว่าผู้ใหญ่มาก ในขณะที่คนหลังมีปัญหาในการยอมรับคำตอบที่น่าเหลือเชื่อเช่นนี้

โดยใช้ปัญหานี้เป็นตัวอย่าง Mandelbrot เสนอโดยใช้แนวทางใหม่ในการวัด เนื่องจากแนวชายฝั่งอยู่ใกล้กับเส้นโค้งแฟร็กทัล จึงหมายความว่าสามารถใช้พารามิเตอร์การกำหนดลักษณะกับมันได้ - ที่เรียกว่ามิติแฟร็กทัล

มิติปกติที่ชัดเจนสำหรับทุกคน หากมิติเท่ากับหนึ่งเราจะได้เส้นตรง ถ้าสองเป็นรูปแบน สามคือปริมาตร อย่างไรก็ตาม ความเข้าใจเรื่องมิติทางคณิตศาสตร์นี้ใช้ไม่ได้กับเส้นโค้งแฟร็กทัล โดยที่พารามิเตอร์นี้มีค่าเศษส่วน มิติแฟร็กทัลในคณิตศาสตร์ถือได้ว่าเป็น "ความหยาบ" ตามอัตภาพ ยิ่งความหยาบของเส้นโค้งสูงเท่าใด ขนาดแฟร็กทัลก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น เส้นโค้งที่ตาม Mandelbrot มีมิติเศษส่วนสูงกว่ามิติทอพอโลยีจะมีความยาวโดยประมาณซึ่งไม่ได้ขึ้นอยู่กับจำนวนมิติ

ปัจจุบัน นักวิทยาศาสตร์กำลังค้นพบพื้นที่มากขึ้นเรื่อยๆ ในการประยุกต์ใช้ทฤษฎีแฟร็กทัล เมื่อใช้แฟร็กทัล คุณสามารถวิเคราะห์ความผันผวนของราคาตลาดหลักทรัพย์ ศึกษากระบวนการทางธรรมชาติทุกประเภท เช่น ความผันผวนของจำนวนสายพันธุ์ หรือจำลองไดนามิกของกระแส อัลกอริธึมแฟร็กทัลสามารถใช้ในการบีบอัดข้อมูล เช่น การบีบอัดรูปภาพ และอีกอย่าง เพื่อให้ได้แฟร็กทัลที่สวยงามบนหน้าจอคอมพิวเตอร์ คุณไม่จำเป็นต้องจบปริญญาเอก

⇡ เศษส่วนในเบราว์เซอร์

บางทีวิธีที่ง่ายที่สุดวิธีหนึ่งในการรับรูปแบบแฟร็กทัลคือการใช้โปรแกรมแก้ไขเวกเตอร์ออนไลน์จาก Toby Schachman โปรแกรมเมอร์รุ่นเยาว์ที่มีพรสวรรค์ เครื่องมือของโปรแกรมแก้ไขกราฟิกที่เรียบง่ายนี้มีพื้นฐานมาจากหลักการความคล้ายคลึงกันในตัวเองแบบเดียวกัน

มีเพียงสองรูปทรงที่ง่ายที่สุดในการกำจัดของคุณ - รูปสี่เหลี่ยมและวงกลม คุณสามารถเพิ่มลงบนผืนผ้าใบ ปรับขนาด (หากต้องการปรับขนาดตามแกนใดแกนหนึ่ง ให้กดปุ่ม Shift ค้างไว้) แล้วหมุน การทับซ้อนกันตามหลักการของการดำเนินการบวกแบบบูลีน องค์ประกอบที่ง่ายที่สุดเหล่านี้จะสร้างรูปแบบใหม่ที่ไม่สำคัญน้อยกว่า จากนั้นคุณสามารถเพิ่มรูปร่างใหม่เหล่านี้ลงในโปรเจ็กต์ได้ และโปรแกรมจะสร้างรูปภาพเหล่านี้ซ้ำไปเรื่อยๆ อย่างไม่สิ้นสุด ในทุกขั้นตอนของการทำงานเกี่ยวกับแฟร็กทัล คุณสามารถกลับไปยังส่วนประกอบใดๆ ที่มีรูปร่างที่ซับซ้อน และแก้ไขตำแหน่งและเรขาคณิตได้ กิจกรรมที่สนุกสนาน โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อคุณพิจารณาว่าเครื่องมือเดียวที่คุณต้องสร้างคือเบราว์เซอร์ หากคุณไม่เข้าใจหลักการทำงานกับโปรแกรมแก้ไขเวกเตอร์แบบเรียกซ้ำนี้ เราขอแนะนำให้คุณดูวิดีโอบนเว็บไซต์อย่างเป็นทางการของโครงการ ซึ่งจะแสดงรายละเอียดกระบวนการทั้งหมดในการสร้างแฟร็กทัล

⇡ XaoS: เศษส่วนสำหรับทุกรสนิยม

โปรแกรมแก้ไขกราฟิกจำนวนมากมีเครื่องมือในตัวสำหรับการสร้างรูปแบบเศษส่วน อย่างไรก็ตาม เครื่องมือเหล่านี้มักเป็นเครื่องมือรองและไม่อนุญาตให้ปรับแต่งรูปแบบแฟร็กทัลที่สร้างขึ้นอย่างละเอียด ในกรณีที่จำเป็นต้องสร้างเศษส่วนที่แม่นยำทางคณิตศาสตร์ XaoS โปรแกรมแก้ไขข้ามแพลตฟอร์มจะมาช่วยเหลือ โปรแกรมนี้ช่วยให้ไม่เพียงสร้างภาพที่คล้ายกับตัวเองเท่านั้น แต่ยังรวมถึงการปรับแต่งต่างๆ ด้วย ตัวอย่างเช่น ในแบบเรียลไทม์ คุณสามารถ "เดิน" ไปตามแฟร็กทัลได้โดยการเปลี่ยนสเกลของมัน การเคลื่อนไหวแบบเคลื่อนไหวตามแฟร็กทัลสามารถบันทึกเป็นไฟล์ XAF จากนั้นจึงสร้างซ้ำในโปรแกรมเอง

XaoS สามารถโหลดชุดพารามิเตอร์แบบสุ่ม และยังใช้ฟิลเตอร์หลังการประมวลผลรูปภาพต่างๆ - เพิ่มเอฟเฟกต์การเคลื่อนไหวที่เบลอ, ปรับการเปลี่ยนภาพที่คมชัดระหว่างจุดแฟร็กทัลให้ราบรื่น, จำลองภาพ 3 มิติ และอื่นๆ

⇡ Fractal Zoomer: เครื่องกำเนิดเศษส่วนขนาดกะทัดรัด

เมื่อเปรียบเทียบกับเครื่องกำเนิดภาพแฟร็กทัลอื่นๆ มันมีข้อดีหลายประการ ประการแรกมันมีขนาดเล็กมากและไม่จำเป็นต้องติดตั้ง ประการที่สอง จะใช้ความสามารถในการกำหนดจานสีของรูปภาพ คุณสามารถเลือกเฉดสีในรุ่นสี RGB, CMYK, HVS และ HSL

นอกจากนี้ยังสะดวกมากในการใช้ตัวเลือกในการเลือกเฉดสีแบบสุ่มและฟังก์ชั่นการกลับสีทั้งหมดในรูปภาพ ในการปรับสีมีฟังก์ชั่นการเลือกเฉดสีแบบวน - เมื่อคุณเปิดโหมดที่เกี่ยวข้องโปรแกรมจะทำให้ภาพเคลื่อนไหวโดยเปลี่ยนสีเป็นวงกลม

Fractal Zoomer สามารถมองเห็นฟังก์ชันเศษส่วนที่แตกต่างกัน 85 แบบ และสูตรจะแสดงอย่างชัดเจนในเมนูโปรแกรม มีฟิลเตอร์สำหรับการประมวลผลภาพในโปรแกรม แม้ว่าจะมีปริมาณน้อยก็ตาม แต่ละตัวกรองที่กำหนดสามารถยกเลิกได้ตลอดเวลา

⇡ Mandelbulb3D: โปรแกรมแก้ไขเศษส่วน 3 มิติ

เมื่อใช้คำว่า "แฟร็กทัล" ส่วนใหญ่มักจะหมายถึงภาพสองมิติที่เรียบๆ อย่างไรก็ตาม เรขาคณิตแฟร็กทัลมีมากกว่ามิติ 2 มิติ โดยธรรมชาติแล้ว คุณจะพบทั้งสองตัวอย่างของรูปแบบแฟร็กทัลแบบเรียบ เช่น เรขาคณิตของฟ้าผ่า และตัวเลขเชิงปริมาตรสามมิติ พื้นผิวแฟร็กทัลอาจเป็นสามมิติ และภาพประกอบที่ชัดเจนมากอย่างหนึ่งของแฟร็กทัล 3 มิติในชีวิตประจำวันก็คือหัวกะหล่ำปลี บางทีวิธีที่ดีที่สุดในการดูแฟร็กทัลก็คือแบบโรมาเนสโก ซึ่งเป็นลูกผสมระหว่างดอกกะหล่ำกับบรอกโคลี

คุณยังสามารถกินแฟร็กทัลนี้ได้

โปรแกรม Mandelbulb3D สามารถสร้างวัตถุสามมิติที่มีรูปร่างคล้ายกันได้ เพื่อให้ได้พื้นผิว 3 มิติโดยใช้อัลกอริธึมแฟร็กทัล ผู้เขียนแอปพลิเคชันนี้ Daniel White และ Paul Nylander ได้แปลงชุด Mandelbrot ให้เป็นพิกัดทรงกลม โปรแกรม Mandelbulb3D ที่พวกเขาสร้างขึ้นเป็นตัวแก้ไขสามมิติจริง ๆ ที่สร้างแบบจำลองพื้นผิวแฟร็กทัลที่มีรูปร่างต่างกัน เนื่องจากเรามักจะสังเกตรูปแบบแฟร็กทัลในธรรมชาติ วัตถุสามมิติแฟร็กทัลที่สร้างขึ้นโดยมนุษย์จึงดูสมจริงอย่างเหลือเชื่อและแม้กระทั่ง "มีชีวิต"

อาจมีลักษณะคล้ายพืช อาจมีลักษณะคล้ายสัตว์ประหลาด ดาวเคราะห์ หรืออย่างอื่นก็ได้ เอฟเฟกต์นี้ได้รับการปรับปรุงด้วยอัลกอริธึมการเรนเดอร์ขั้นสูง ซึ่งช่วยให้ได้ภาพสะท้อนที่สมจริง คำนวณความโปร่งใสและเงา จำลองเอฟเฟกต์ระยะชัดลึก และอื่นๆ Mandelbulb3D มีการตั้งค่าและตัวเลือกการเรนเดอร์มากมาย คุณสามารถควบคุมเฉดสีของแหล่งกำเนิดแสง เลือกพื้นหลังและระดับรายละเอียดของวัตถุจำลองได้

โปรแกรมแก้ไขเศษส่วนของ Incendia รองรับการปรับภาพซ้อนให้เรียบ มีไลบรารีของเศษส่วนสามมิติที่แตกต่างกันห้าสิบรายการ และมีโมดูลแยกต่างหากสำหรับการแก้ไขรูปร่างพื้นฐาน

แอปพลิเคชันนี้ใช้สคริปต์แฟร็กทัล ซึ่งคุณสามารถอธิบายการออกแบบแฟร็กทัลประเภทใหม่ได้อย่างอิสระ Incendia มีเครื่องมือแก้ไขพื้นผิวและวัสดุ และเอ็นจิ้นการเรนเดอร์ช่วยให้คุณใช้เอฟเฟกต์หมอกเชิงปริมาตรและเฉดสีต่างๆ โปรแกรมใช้ตัวเลือกในการบันทึกบัฟเฟอร์ระหว่างการเรนเดอร์ระยะยาว และรองรับการสร้างแอนิเมชั่น

Incendia ช่วยให้คุณสามารถส่งออกแบบจำลองเศษส่วนเป็นรูปแบบกราฟิก 3D ยอดนิยม - OBJ และ STL Incendia มียูทิลิตี้ขนาดเล็กที่เรียกว่า Geometrica ซึ่งเป็นเครื่องมือพิเศษสำหรับการตั้งค่าการส่งออกพื้นผิวแฟร็กทัลเป็นโมเดล 3 มิติ การใช้ยูทิลิตี้นี้ทำให้คุณสามารถกำหนดความละเอียดของพื้นผิว 3 มิติและระบุจำนวนการวนซ้ำของแฟร็กทัลได้ โมเดลที่ส่งออกสามารถใช้ในโครงการ 3D เมื่อทำงานร่วมกับโปรแกรมแก้ไข 3D เช่น Blender, 3ds max และอื่นๆ

ล่าสุดงานในโครงการ Incendia ได้ชะลอตัวลงบ้าง ขณะนี้ผู้เขียนกำลังมองหาผู้สนับสนุนเพื่อช่วยพัฒนาโครงการ

หากคุณมีจินตนาการไม่เพียงพอที่จะวาดเศษส่วนสามมิติที่สวยงามในโปรแกรมนี้ก็ไม่สำคัญ ใช้ไลบรารีพารามิเตอร์ซึ่งอยู่ในโฟลเดอร์ INCENDIA_EX\parameters เมื่อใช้ไฟล์ PAR คุณสามารถค้นหารูปร่างแฟร็กทัลที่แปลกที่สุดได้อย่างรวดเร็ว รวมถึงรูปร่างที่เคลื่อนไหวได้

⇡ เกี่ยวกับหู: แฟร็กทัลร้องเพลงอย่างไร

โดยปกติแล้วเราจะไม่พูดถึงโปรเจ็กต์ที่เพิ่งกำลังดำเนินการอยู่ แต่ในกรณีนี้ เราจำเป็นต้องให้ข้อยกเว้น เนื่องจากนี่เป็นแอปพลิเคชันที่ผิดปกติมาก โปรเจ็กต์นี้มีชื่อว่า Aural ถูกคิดค้นโดยบุคคลคนเดียวกับผู้สร้าง Incendia อย่างไรก็ตาม คราวนี้โปรแกรมไม่ได้แสดงภาพเซตแฟร็กทัล แต่ให้เสียงมัน และเปลี่ยนให้เป็นดนตรีอิเล็กทรอนิกส์ แนวคิดนี้น่าสนใจมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อพิจารณาถึงคุณสมบัติที่ผิดปกติของแฟร็กทัล Aural เป็นโปรแกรมแก้ไขเสียงที่สร้างท่วงทำนองโดยใช้อัลกอริธึมแฟร็กทัล กล่าวคือ โดยพื้นฐานแล้วมันคือเครื่องสังเคราะห์เสียงและซีเควนเซอร์

ลำดับเสียงที่เกิดจากโปรแกรมนี้แปลกตาและ...สวยงาม มันอาจจะมีประโยชน์สำหรับการเขียนจังหวะสมัยใหม่ และดูเหมือนว่าสำหรับพวกเราแล้ว มันเหมาะอย่างยิ่งสำหรับการสร้างเพลงประกอบสำหรับสกรีนเซฟเวอร์ของรายการโทรทัศน์และวิทยุ รวมถึงเพลงประกอบ "วนซ้ำ" สำหรับเกมคอมพิวเตอร์ Ramiro ยังไม่ได้สาธิตโปรแกรมของเขา แต่สัญญาว่าเมื่อเขาทำเช่นนั้น คุณไม่จำเป็นต้องศึกษาทฤษฎีแฟร็กทัลเพื่อที่จะทำงานร่วมกับ Aural คุณเพียงแค่ต้องเล่นกับพารามิเตอร์ของอัลกอริทึมเพื่อสร้างลำดับ ของบันทึกย่อ ฟังว่าเศษส่วนมีเสียงอย่างไรและ

Fractals: พักดนตรี

ที่จริงแล้ว เศษส่วนสามารถช่วยให้คุณเขียนเพลงได้แม้จะไม่มีซอฟต์แวร์ก็ตาม แต่สิ่งนี้สามารถทำได้โดยคนที่ตื้นตันใจอย่างแท้จริงกับแนวคิดเรื่องความกลมกลืนตามธรรมชาติและไม่ได้กลายเป็น "คนเนิร์ด" ที่โชคร้าย เป็นเรื่องสมเหตุสมผลที่จะทำตามแบบอย่างของนักดนตรีชื่อ Jonathan Coulton ซึ่งเขียนเรียงความให้กับนิตยสาร Popular Science เหนือสิ่งอื่นใด และแตกต่างจากนักแสดงคนอื่นๆ Colton เผยแพร่ผลงานทั้งหมดของเขาภายใต้ใบอนุญาต Creative Commons Attribution-Noncommercial ซึ่ง (เมื่อใช้เพื่อวัตถุประสงค์ที่ไม่ใช่เชิงพาณิชย์) ให้การคัดลอก แจกจ่าย ถ่ายโอนงานให้กับผู้อื่นฟรี รวมถึงการดัดแปลง ( การสร้างผลงานลอกเลียนแบบ) เพื่อปรับให้เข้ากับงานของคุณ

แน่นอนว่า Jonathan Colton มีเพลงเกี่ยวกับเศษส่วน

⇡ บทสรุป

เรามักจะเห็นความวุ่นวายในทุกสิ่งที่อยู่รอบตัวเรา แต่จริงๆ แล้วนี่ไม่ใช่อุบัติเหตุ แต่เป็นรูปแบบในอุดมคติ ซึ่งแฟร็กทัลช่วยให้เรามองเห็นได้ ธรรมชาติคือสถาปนิกที่ดีที่สุด ผู้สร้างและวิศวกรในอุดมคติ มันมีโครงสร้างที่สมเหตุสมผล และถ้าเราไม่เห็นรูปแบบใดที่หนึ่ง นั่นหมายความว่าเราจำเป็นต้องมองหามันในระดับอื่น ผู้คนเข้าใจสิ่งนี้ดีขึ้นเรื่อยๆ โดยพยายามเลียนแบบรูปแบบธรรมชาติในหลายๆ ด้าน วิศวกรออกแบบระบบลำโพงรูปทรงเปลือกหอย สร้างเสาอากาศรูปทรงเกล็ดหิมะ และอื่นๆ เรามั่นใจว่าแฟร็กทัลยังคงมีความลับมากมาย และหลายสิ่งหลายอย่างยังไม่ได้ถูกค้นพบโดยมนุษย์

ต้นไม้ ชายทะเล เมฆ หรือเส้นเลือดในมือของเรามีอะไรเหมือนกัน? มีคุณสมบัติหนึ่งของโครงสร้างที่มีอยู่ในวัตถุที่อยู่ในรายการทั้งหมด: พวกมันมีความคล้ายคลึงกันในตัวเอง จากกิ่งไม้เช่นเดียวกับลำต้นของต้นไม้หน่อที่เล็กกว่าก็แผ่ขยายออกไปจากพวกมันแม้แต่กิ่งที่เล็กกว่า ฯลฯ นั่นคือกิ่งก้านนั้นคล้ายกับต้นไม้ทั้งต้น ระบบไหลเวียนโลหิตมีโครงสร้างในลักษณะที่คล้ายกัน: หลอดเลือดแดงแยกออกจากหลอดเลือดแดงและจากเส้นเลือดฝอยที่เล็กที่สุดซึ่งออกซิเจนเข้าสู่อวัยวะและเนื้อเยื่อ มาดูภาพดาวเทียมชายฝั่งทะเลกันดีกว่าเราจะเห็นอ่าวและคาบสมุทร ลองดูสิ แต่จากมุมสูงเราจะเห็นอ่าวและแหลม ทีนี้ลองจินตนาการว่าเรากำลังยืนอยู่บนชายหาดและมองที่เท้าของเรา มันมักจะมีก้อนกรวดที่ยื่นออกไปในน้ำมากกว่าที่อื่น ๆ เสมอ นั่นคือแนวชายฝั่งเมื่อซูมเข้าจะยังคงคล้ายกับตัวมันเอง เบอนัวต์ มานเดลโบรต์ นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน (แม้ว่าเขาจะเติบโตในฝรั่งเศส) เรียกคุณสมบัติของวัตถุนี้ว่า เศษส่วนของวัตถุ และวัตถุดังกล่าวเองก็ - เศษส่วน (จากภาษาละติน fractus - หัก)

มีเรื่องราวที่น่าสนใจที่เกี่ยวข้องกับแนวชายฝั่งหรืออย่างแม่นยำยิ่งขึ้นคือความพยายามที่จะวัดความยาวของมัน ซึ่งเป็นพื้นฐานของบทความทางวิทยาศาสตร์ของ Mandelbrot และยังมีการอธิบายไว้ในหนังสือของเขาเรื่อง "The Fractal Geometry of Nature" เรากำลังพูดถึงการทดลองที่ดำเนินการโดย Lewis Fry Richardson นักคณิตศาสตร์ นักฟิสิกส์ และนักอุตุนิยมวิทยาที่มีความสามารถและแปลกประหลาดมาก ทิศทางหนึ่งของการวิจัยของเขาคือความพยายามที่จะค้นหาคำอธิบายทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับสาเหตุและความน่าจะเป็นของความขัดแย้งด้วยอาวุธระหว่างสองประเทศ ในบรรดาพารามิเตอร์ที่เขาคำนึงถึงคือความยาวของเขตแดนร่วมกันของทั้งสองประเทศที่ทำสงครามกัน เมื่อเขารวบรวมข้อมูลสำหรับการทดลองเชิงตัวเลข เขาค้นพบว่าข้อมูลบริเวณชายแดนร่วมของสเปนและโปรตุเกสแตกต่างกันอย่างมากจากแหล่งข้อมูลที่ต่างกัน สิ่งนี้นำเขาไปสู่การค้นพบต่อไปนี้: ความยาวของเขตแดนของประเทศนั้นขึ้นอยู่กับผู้ปกครองที่เราวัด ยิ่งสเกลเล็กลง ขอบก็จะยิ่งยาวขึ้น นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าด้วยการขยายที่มากขึ้นจึงเป็นไปได้ที่จะคำนึงถึงส่วนโค้งใหม่ของชายฝั่งมากขึ้นเรื่อย ๆ ซึ่งก่อนหน้านี้ถูกละเลยเนื่องจากความหยาบของการวัด และหากด้วยการเพิ่มขนาดแต่ละครั้งเผยให้เห็นถึงส่วนโค้งของเส้นที่ไม่สามารถระบุได้ก่อนหน้านี้ปรากฎว่าความยาวของขอบเขตนั้นไม่มีที่สิ้นสุด! จริงอยู่ สิ่งนี้ไม่ได้เกิดขึ้นจริง - ความแม่นยำในการวัดของเรามีขีดจำกัดจำกัด ความขัดแย้งนี้เรียกว่าปรากฏการณ์ริชาร์ดสัน

ในปัจจุบัน ทฤษฎีแฟร็กทัลถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในด้านต่างๆ ของกิจกรรมของมนุษย์ นอกเหนือจากการวาดภาพแฟร็กทัลแล้ว แฟร็กทัลยังใช้ในทฤษฎีสารสนเทศเพื่อบีบอัดข้อมูลกราฟิก (คุณสมบัติความคล้ายคลึงกันในตัวเองของแฟร็กทัลส่วนใหญ่จะใช้ที่นี่ เพื่อจดจำส่วนเล็กๆ ของรูปภาพและการแปลงที่คุณสามารถรับได้ ส่วนที่เหลือจำเป็นต้องใช้หน่วยความจำน้อยกว่าการจัดเก็บไฟล์ทั้งหมด) ด้วยการเพิ่มการรบกวนแบบสุ่มให้กับสูตรที่กำหนดแฟร็กทัล คุณจะได้รับแฟร็กทัลสุ่มที่น่าเชื่อถือมากในการถ่ายทอดวัตถุจริงบางอย่าง - องค์ประกอบนูน พื้นผิวของอ่างเก็บน้ำ พืชบางชนิด ซึ่งประสบความสำเร็จในการใช้งานในฟิสิกส์ ภูมิศาสตร์ และคอมพิวเตอร์กราฟิกเพื่อให้บรรลุผลที่ยิ่งใหญ่กว่า ความคล้ายคลึงของวัตถุจำลองกับของจริง ในอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์ทางวิทยุ ในช่วงทศวรรษที่ผ่านมา เริ่มมีการผลิตเสาอากาศที่มีรูปร่างเป็นเศษส่วน ใช้พื้นที่น้อยจึงให้การรับสัญญาณคุณภาพสูง และนักเศรษฐศาสตร์ใช้เศษส่วนเพื่ออธิบายกราฟความผันผวนของอัตราสกุลเงิน (คุณสมบัตินี้ถูกค้นพบโดย Mandelbrot เมื่อ 30 กว่าปีที่แล้ว)

ส่งผลงานดีๆ ของคุณในฐานความรู้ได้ง่ายๆ ใช้แบบฟอร์มด้านล่าง

นักศึกษา นักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษา นักวิทยาศาสตร์รุ่นเยาว์ ที่ใช้ฐานความรู้ในการศึกษาและการทำงาน จะรู้สึกขอบคุณเป็นอย่างยิ่ง

โพสต์เมื่อ http://www.allbest.ru/

กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์แห่งสหพันธรัฐรัสเซีย

เรื่อง: เศษส่วน- พิเศษวัตถุมีชีวิตอยู่และไม่มีชีวิตความสงบ

คาบารอฟสค์ TOGU 2015

• สารบัญ
• กราฟิกเศษส่วนเรขาคณิตเศษส่วน
• ประวัติความเป็นมาของแฟร็กทัล
• การจำแนกแฟร็กทัล
• แฟร็กทัลเรขาคณิต
• เศษส่วนพีชคณิต
• การประยุกต์แฟร็กทัล
• เศษส่วนและโลกรอบตัวเรา
• กราฟิกแฟร็กทัล
• การประยุกต์แฟร็กทัล
• วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ
• วิศวกรรมวิทยุ
• วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์
• เศรษฐศาสตร์และการเงิน

ประวัติความเป็นมาของแฟร็กทัล

บ่อยครั้งที่เราเจอวัตถุพิเศษ แต่มีน้อยคนที่รู้ว่าสิ่งเหล่านี้เป็นเศษส่วน แฟร็กทัลเป็นวัตถุพิเศษที่สร้างขึ้นจากการเคลื่อนไหวที่ไม่อาจคาดเดาได้ของโลกที่วุ่นวาย พบได้ทั้งในวัตถุขนาดเล็ก เช่น เยื่อหุ้มเซลล์ และวัตถุขนาดใหญ่ เช่น ระบบสุริยะและกาแล็กซี ในชีวิตประจำวัน เราสามารถเห็นแฟร็กทัลในวอลเปเปอร์ บนผ้า บนสกรีนเซฟเวอร์บนเดสก์ท็อปบนคอมพิวเตอร์ และในธรรมชาติ สิ่งเหล่านี้ได้แก่ พืช สัตว์ทะเล และปรากฏการณ์ทางธรรมชาติ

นักวิทยาศาสตร์หลงใหลในเศษส่วนมาตั้งแต่สมัยโบราณ และโปรแกรมเมอร์และผู้เชี่ยวชาญด้านคอมพิวเตอร์กราฟิกก็ชอบวัตถุเหล่านี้เช่นกัน การค้นพบแฟร็กทัลเป็นการปฏิวัติการรับรู้ของมนุษย์ต่อโลกและเป็นการค้นพบสุนทรียภาพใหม่ของศิลปะและวิทยาศาสตร์

แล้วแฟร็กทัลคืออะไร? แฟร็กทัล- รูปทรงเรขาคณิตที่มีคุณสมบัติคล้ายคลึงในตัวเอง กล่าวคือ ประกอบด้วยหลายส่วน ซึ่งแต่ละส่วนจะคล้ายกับรูปร่างทั้งหมดโดยรวม

คำว่าเศษส่วนถูกเสนอในปี 1975 Benoit Mandelbrot เพื่อกำหนดโครงสร้างที่ผิดปกติและคล้ายกันในตัวเองซึ่งเขากังวล การกำเนิดของเรขาคณิตแฟร็กทัลคือการตีพิมพ์หนังสือของเขาเรื่อง "The Fractal Geometry of Nature" ในปี 1977 งานของเขามีพื้นฐานมาจากผลงานของนักวิทยาศาสตร์Poincaré, Fatou, Julia, Cantor และ Hausdorff ซึ่งทำงานในปี 1875 พ.ศ.2468 ในบริเวณเดียวกัน แต่เฉพาะในสมัยของเราเท่านั้นที่พวกเขาสามารถรวมงานของตนไว้ในระบบเดียวได้

แนวคิดของ "เศษส่วน" มาจากภาษาละติน "fractus"? ประกอบด้วยชิ้นส่วน คำจำกัดความประการหนึ่งคือ “แฟร็กทัลคือโครงสร้างที่ประกอบด้วยส่วนต่างๆ ที่คล้ายกันในแง่มุมหนึ่ง”

Benoit Mandelbrot ในงานของเขาได้ให้ตัวอย่างที่ชัดเจนของการใช้เศษส่วนเพื่ออธิบายปรากฏการณ์ทางธรรมชาติบางอย่าง เขาให้ความสนใจอย่างมากกับคุณสมบัติที่น่าสนใจซึ่งมีแฟร็กทัลจำนวนมาก ความจริงก็คือบ่อยครั้งที่เศษส่วนสามารถแบ่งออกเป็นส่วนเล็ก ๆ โดยพลการเพื่อให้แต่ละส่วนกลายเป็นเพียงสำเนาย่อของทั้งหมด กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้าเราดูแฟร็กทัลผ่านกล้องจุลทรรศน์ เราจะแปลกใจที่เห็นภาพเดียวกันโดยไม่ต้องใช้กล้องจุลทรรศน์ คุณสมบัติความคล้ายคลึงในตัวเองนี้แยกแยะแฟร็กทัลจากวัตถุในเรขาคณิตคลาสสิกได้อย่างชัดเจน

สำหรับนักวิทยาศาสตร์สมัยใหม่ กำลังศึกษาเรื่องเศษส่วนใช่ไหม? ไม่ใช่แค่ความรู้ใหม่ๆ นี่คือการค้นพบเรขาคณิตรูปแบบใหม่ที่อธิบายโลกรอบตัวเรา ซึ่งไม่เพียงแต่พบเห็นได้ในตำราเรียนเท่านั้น แต่ยังพบเห็นในธรรมชาติและในจักรวาลอันไร้ขอบเขตอีกด้วย ปัจจุบัน แมนเดลบรอตและนักวิทยาศาสตร์คนอื่นๆ ได้ขยายสาขาเรขาคณิตแฟร็กทัลเพื่อให้สามารถนำไปใช้กับเกือบทุกอย่างในโลก ตั้งแต่การทำนายราคาตลาดหุ้นไปจนถึงการค้นพบใหม่ๆ ในฟิสิกส์เชิงทฤษฎี

การจำแนกแฟร็กทัล

มีการจำแนกประเภทของแฟร็กทัลที่แตกต่างกัน

การจำแนกแฟร็กทัลหลักคือการแบ่งออกเป็นเรขาคณิตและพีชคณิต

เศษส่วนเรขาคณิตมีความคล้ายคลึงกันในตัวเองทุกประการ และเศษส่วนพีชคณิตมีความคล้ายคลึงกันในตัวเองโดยประมาณ

นอกจากนี้ยังมีการแบ่งออกเป็นเศษส่วนธรรมชาติและเศษส่วนที่มนุษย์สร้างขึ้น

แฟร็กทัลที่มนุษย์สร้างขึ้น ได้แก่ แฟร็กทัลที่นักวิทยาศาสตร์ประดิษฐ์ขึ้น พวกมันมีคุณสมบัติแฟร็กทัลในทุกขนาด แฟร็กทัลตามธรรมชาติอยู่ภายใต้ข้อจำกัดในพื้นที่ที่มีอยู่ - นั่นคือขนาดสูงสุดและต่ำสุดที่วัตถุแสดงคุณสมบัติแฟร็กทัล

เศษส่วนที่ง่ายที่สุดคือเศษส่วนเรขาคณิต

แฟร็กทัลเรขาคณิต

แฟร็กทัลเรขาคณิตเรียกอีกอย่างว่าคลาสสิก กำหนดไว้ หรือเชิงเส้น พวกมันมองเห็นได้ชัดเจนที่สุด เนื่องจากมีสิ่งที่เรียกว่าความคล้ายคลึงในตนเองแบบเข้มงวด ซึ่งจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อขนาดเปลี่ยนแปลง ซึ่งหมายความว่าไม่ว่าคุณจะซูมเข้าแฟร็กทัลใกล้แค่ไหน คุณก็ยังคงเห็นรูปแบบเดิม

ในกรณีสองมิติ เศษส่วนดังกล่าวสามารถหาได้โดยการระบุเส้นขาดที่เรียกว่าเครื่องกำเนิด ในขั้นตอนหนึ่งของอัลกอริธึม แต่ละส่วนของโพลีไลน์ที่กำหนด (ตัวเริ่มต้น) จะถูกแทนที่ด้วยตัวสร้างโพลีไลน์ในระดับที่เหมาะสม จากการทำซ้ำขั้นตอนนี้อย่างไม่สิ้นสุดจึงได้เส้นโค้งเศษส่วน แม้ว่าเส้นโค้งนี้จะดูซับซ้อน แต่รูปร่างของมันก็ถูกกำหนดโดยรูปร่างของเครื่องกำเนิดเท่านั้น

เศษส่วนทางเรขาคณิตที่มีชื่อเสียงที่สุด: เส้นโค้ง Koch, เส้นโค้ง Minkowski, เส้นโค้ง Levy, เส้นโค้งมังกร, ผ้าเช็ดปากและพรม Sierpinski, รูปห้าเหลี่ยม Durer

การสร้างเศษส่วนเรขาคณิตบางส่วน

1). โค้งโคช

มันถูกประดิษฐ์ขึ้นในปี 1904 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันชื่อ Helge von Koch ในการสร้างมันขึ้นมา จะต้องแบ่งส่วนเดียวออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กัน และจุดเชื่อมต่อตรงกลางจะถูกแทนที่ด้วยรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าโดยไม่มีจุดเชื่อมต่อนี้ ในขั้นตอนถัดไป เราจะทำซ้ำการดำเนินการสำหรับแต่ละส่วนผลลัพธ์ทั้งสี่ส่วน จากการทำซ้ำขั้นตอนนี้อย่างไม่สิ้นสุดจึงได้เส้นโค้งเศษส่วน

2). ผ้าเช็ดปากของ Sierpinski

ในปี 1915 นักคณิตศาสตร์ชาวโปแลนด์ Waclaw Sierpinski ได้ค้นพบวัตถุที่น่าสนใจ ในการสร้างมันขึ้นมา ให้ใช้สามเหลี่ยมด้านเท่าที่เป็นของแข็ง ในขั้นตอนแรก สามเหลี่ยมด้านเท่ากลับด้านจะถูกลบออกจากศูนย์กลาง ขั้นตอนที่สองจะลบสามเหลี่ยมกลับหัวสามรูปออกจากสามเหลี่ยมที่เหลืออีกสามรูป เป็นต้น ตามทฤษฎี กระบวนการนี้ไม่มีที่สิ้นสุด และจะไม่มีพื้นที่อยู่อาศัยเหลืออยู่ในรูปสามเหลี่ยม แต่จะไม่แตกสลายเช่นกัน - ผลลัพธ์จะเป็นวัตถุที่ประกอบด้วยเพียงรูเท่านั้น

3). มังกรของฮาร์เตอร์-แฮธเวย์

มังกรของฮาร์เตอร์ หรือที่รู้จักกันในชื่อ มังกรฮาร์เตอร์-ไฮธาเวย์ ถูกศึกษาครั้งแรกโดยนักฟิสิกส์ของ NASA? จอห์น เฮธเวย์, วิลเลียม ฮาร์เตอร์ และบรูซ แบงก์ส มันถูกอธิบายไว้ในปี 1967 โดย Martin Gardner ในคอลัมน์ "Mathematical Games" ของ Scientific American

ในขั้นตอนถัดไป แต่ละส่วนของเส้นตรงจะถูกแทนที่ด้วยสองส่วนที่ประกอบเป็นด้านด้านข้างของสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว โดยส่วนเดิมจะเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก เป็นผลให้ส่วนนี้ดูเหมือนจะโค้งงอเป็นมุมฉาก ทิศทางการโก่งตัวสลับกัน ส่วนแรกโค้งไปทางขวา (ขณะที่เลื่อนจากซ้ายไปขวา) ส่วนที่สอง - ไปทางซ้ายส่วนที่สาม - ไปทางขวาอีกครั้ง ฯลฯ

ตัวอย่างของเศษส่วนทางเรขาคณิต

เส้นโค้งโคชผ้าเช็ดปากเซียร์ปินสกี้

มังกรฮาร์เตอร์-แฮธเวย์

แฟร็กทัลกลุ่มใหญ่กลุ่มที่สองเป็นพีชคณิต พวกเขาได้ชื่อมาเพราะพวกเขาสร้างขึ้นจากสูตรพีชคณิต

เศษส่วนพีชคณิต

ไม่สามารถสร้างเศษส่วนเชิงซ้อน (พีชคณิต) ได้หากไม่ได้รับความช่วยเหลือจากคอมพิวเตอร์ เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่มีสีสัน คอมพิวเตอร์เครื่องนี้ต้องมีตัวประมวลผลร่วมทางคณิตศาสตร์ที่ทรงพลังและจอภาพที่มีความละเอียดสูง พวกเขาได้ชื่อมาเพราะพวกเขาสร้างขึ้นจากสูตรพีชคณิต จากการประมวลผลทางคณิตศาสตร์ของสูตรนี้ จุดของสีหนึ่งๆ จะปรากฏบนหน้าจอ ผลลัพธ์ที่ได้คือรูปร่างประหลาดที่เส้นตรงกลายเป็นเส้นโค้ง และเอฟเฟกต์ความคล้ายคลึงกันปรากฏขึ้นในระดับต่างๆ แม้ว่าจะไม่มีการเสียรูปก็ตาม เกือบทุกจุดบนหน้าจอคอมพิวเตอร์เป็นเหมือนเศษส่วนที่แยกจากกัน

แฟร็กทัลพีชคณิตที่มีชื่อเสียงที่สุด: ชุด Mandelbrot และ Julia, พูลนิวตัน

เศษส่วนพีชคณิตมีความคล้ายคลึงกันโดยประมาณ ในความเป็นจริง หากคุณขยายพื้นที่เล็กๆ ของแฟร็กทัลที่ซับซ้อนใดๆ แล้วทำแบบเดียวกันในส่วนเล็กๆ ของพื้นที่นั้น กำลังขยายทั้งสองจะมีความแตกต่างกันอย่างมาก รูปภาพทั้งสองจะมีรายละเอียดคล้ายกันมาก แต่จะไม่เหมือนกันทั้งหมด

พีชคณิต แฟร็กทัล

แมนเดลโบรต์ตั้งค่าการประมาณค่า

เศษส่วนกำลังค้นพบการประยุกต์ใช้งานทางวิทยาศาสตร์มากขึ้นเรื่อยๆ เหตุผลหลักก็คือ อธิบายโลกแห่งความเป็นจริงได้ดีกว่าฟิสิกส์และคณิตศาสตร์แบบเดิมๆ

การประยุกต์แฟร็กทัล

1). ทฤษฎีความโกลาหล: เศษส่วนมักเกี่ยวข้องกับคำว่าความโกลาหล ทฤษฎีความโกลาหลถูกกำหนดให้เป็นการศึกษาระบบไดนามิกที่ไม่เชิงเส้นที่ซับซ้อน ความโกลาหลคือการไม่มีสิ่งที่คาดเดาได้ มันเกิดขึ้นในระบบไดนามิกเมื่อค่าเริ่มต้นที่ใกล้เคียงกันสองค่า ระบบมีพฤติกรรมแตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง ตัวอย่างของระบบไดนามิกที่วุ่นวายคือสภาพอากาศ ตัวอย่างของระบบดังกล่าว ได้แก่ การไหลเชี่ยว ประชากรทางชีวภาพ สังคมและระบบย่อย: ระบบเศรษฐกิจ การเมือง และสังคมอื่นๆ แนวคิดหลักประการหนึ่งในทฤษฎีนี้คือความเป็นไปไม่ได้ที่จะทำนายสถานะของระบบได้อย่างแม่นยำ ทฤษฎีความโกลาหลไม่ได้มุ่งเน้นไปที่ความผิดปกติของระบบ (ความไม่แน่นอนทางพันธุกรรมของระบบ) แต่มุ่งเน้นไปที่ลำดับที่สืบทอดมา (พฤติกรรมทั่วไปของระบบที่คล้ายคลึงกัน) ดังนั้น ศาสตร์แห่งความโกลาหลจึงเป็นระบบความคิดเกี่ยวกับรูปแบบต่างๆ ของระเบียบ โดยที่ความสุ่มกลายเป็นหลักการจัดระเบียบ

2). เศรษฐศาสตร์: การวิเคราะห์ตลาดหลักทรัพย์

3). ฟิสิกส์ดาราศาสตร์: คำอธิบายกระบวนการจับกลุ่มกาแลคซีในจักรวาล

4). ธรณีวิทยา: การศึกษาความหยาบของแร่

5). การทำแผนที่: การศึกษารูปทรงแนวชายฝั่ง ศึกษาเครือข่ายช่องทางแม่น้ำที่กว้างขวาง

6). กลศาสตร์ของของเหลวและก๊าซ ฟิสิกส์ของพื้นผิว:

- พลวัตและความปั่นป่วนของการไหลที่ซับซ้อน

- การสร้างแบบจำลองเปลวไฟ

7). ชีววิทยาและการแพทย์:

- การสร้างแบบจำลองประชากรสัตว์และการอพยพของนก

- การสร้างแบบจำลองการแพร่ระบาด

- การวิเคราะห์โครงสร้างของระบบไหลเวียนโลหิต

- การพิจารณาพื้นผิวที่ซับซ้อนของเยื่อหุ้มเซลล์

- คำอธิบายกระบวนการต่างๆ ภายในร่างกาย เช่น การเต้นของหัวใจ

8). เสาอากาศแฟร็กทัล: การใช้เรขาคณิตแฟร็กทัลในการออกแบบอุปกรณ์เสาอากาศถูกใช้ครั้งแรกโดยวิศวกรชาวอเมริกัน นาธาน โคเฮน ซึ่งตอนนั้นอาศัยอยู่ในตัวเมืองบอสตัน ซึ่งห้ามติดตั้งเสาอากาศภายนอกบนอาคาร เขาตัดรูปร่างโค้ง Koch ออกจากอลูมิเนียมฟอยล์แล้วติดลงบนแผ่นกระดาษ จากนั้นจึงติดเข้ากับเครื่องรับ ปรากฎว่าเสาอากาศดังกล่าวทำงานได้ไม่แย่ไปกว่าเสาอากาศปกติ และถึงแม้ว่าหลักการทางกายภาพของการทำงานของเสาอากาศดังกล่าวจะยังไม่ได้รับการศึกษา แต่ก็ไม่ได้หยุดโคเฮนจากการก่อตั้ง บริษัท ของตัวเองและเปิดตัวการผลิตแบบอนุกรม

9). การบีบอัดรูปภาพ: ข้อดีของอัลกอริธึมการบีบอัดรูปภาพแบบแฟร็กทัลคือขนาดไฟล์ที่เล็กมากและใช้เวลากู้คืนรูปภาพสั้น ข้อดีอีกประการของการบีบอัดแฟร็กทัลก็คือเมื่อภาพขยายใหญ่ขึ้น จะไม่มีผลกระทบต่อพิกเซล (การเพิ่มขนาดของจุดเป็นขนาดที่ทำให้ภาพบิดเบี้ยว) ด้วยการบีบอัดแฟร็กทัล หลังจากขยายขนาดแล้ว ภาพมักจะดูดีขึ้นกว่าเดิม

10). คอมพิวเตอร์กราฟิกส์: คอมพิวเตอร์กราฟิกกำลังผ่านช่วงเวลาของการพัฒนาอย่างเข้มข้นในปัจจุบัน เธอสามารถสร้างรูปทรงแฟร็กทัลและทิวทัศน์ที่หลากหลายอย่างไม่มีที่สิ้นสุดบนหน้าจอมอนิเตอร์ ทำให้ผู้ชมดื่มด่ำไปกับพื้นที่เสมือนจริงที่น่าทึ่ง ในปัจจุบัน ด้วยความช่วยเหลือของอัลกอริธึมที่ค่อนข้างง่าย มันจึงเป็นไปได้ที่จะสร้างภาพสามมิติของทิวทัศน์และรูปทรงที่น่าอัศจรรย์ ซึ่งสามารถเปลี่ยนแปลงเมื่อเวลาผ่านไปให้เป็นภาพที่น่าตื่นเต้นยิ่งขึ้นได้ แนวโน้มของแฟร็กทัลที่จะมีลักษณะคล้ายกับภูเขา ดอกไม้ และต้นไม้นั้นถูกนำไปใช้โดยโปรแกรมแก้ไขกราฟิกบางตัว (เช่น เมฆแฟร็กทัลจากสตูดิโอ 3D MAX ภูเขาแฟร็กทัลใน World Builder) แบบจำลองแฟร็กทัลถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในปัจจุบันในเกมคอมพิวเตอร์ สร้างสภาพแวดล้อมในตัวที่ยากต่อการแยกแยะจากความเป็นจริง

จุดสิ้นสุดของศตวรรษที่ 20 ไม่เพียงถูกทำเครื่องหมายด้วยการค้นพบโครงสร้างที่สวยงามน่าอัศจรรย์และมีความหลากหลายอย่างไม่สิ้นสุดที่เรียกว่าแฟร็กทัลเท่านั้น แต่ยังรวมถึงการรับรู้ถึงธรรมชาติของแฟร็กทัลด้วย โลกรอบตัวเรามีความหลากหลายมากและวัตถุต่างๆ ก็ไม่สอดคล้องกับกรอบที่เข้มงวดของเส้นและพื้นผิวแบบยุคลิด

เศษส่วนและโลกรอบตัวเรา

« ความงามนั้นสัมพันธ์กันเสมอ...เราไม่ควรทึกทักไปว่าชายฝั่งมหาสมุทรนั้นไร้รูปร่างจริงๆ เพียงเพราะรูปร่างของมันแตกต่างจากรูปทรงปกติของท่าเรือที่เราสร้างขึ้น รูปร่างของภูเขาไม่สามารถถือว่าไม่สม่ำเสมอได้เนื่องจากไม่ใช่กรวยหรือปิรามิดปกติ เพียงเพราะระยะห่างระหว่างดวงดาวไม่เท่ากัน จึงไม่เป็นไปตามที่พวกมันกระจัดกระจายไปทั่วท้องฟ้าด้วยมือที่ไม่เหมาะสม ความผิดเหล่านี้มีอยู่ในจินตนาการของเราเท่านั้น , พวกมันไม่เป็นเช่นนั้นและไม่ขัดขวางการสำแดงที่แท้จริงของสิ่งมีชีวิตบนโลกไม่ว่าในทางใดทางหนึ่ง ไม่ว่าจะเป็นในอาณาจักรของพืชและสัตว์หรือในหมู่มนุษย์” คำพูดเหล่านี้ของนักวิทยาศาสตร์ชาวอังกฤษแห่งศตวรรษที่ 17 Richard Bentley ชี้ให้เห็นว่าแนวคิดในการผสมผสานรูปแบบของชายฝั่งภูเขาและวัตถุท้องฟ้าและตัดกันกับสิ่งก่อสร้างแบบยุคลิดนั้นเกิดขึ้นในใจของผู้คนมาเป็นเวลานาน

กาลิเลโอ กาลิเลอี กล่าวว่า “หนังสือธรรมชาติอันยิ่งใหญ่เขียนด้วยภาษาเรขาคณิต” ตอนนี้เราสามารถพูดได้อย่างมั่นใจว่ามันถูกเขียนด้วยภาษาของเรขาคณิตแฟร็กทัล

สิ่งที่เราสังเกตเห็นในธรรมชาติมักจะทำให้เราทึ่งกับรูปแบบเดิมซ้ำๆ กันไม่รู้จบ เพิ่มขึ้นหรือลดลงได้มากเท่าที่ต้องการ รูปร่างที่แปลกประหลาดของแนวชายฝั่งและโค้งของแม่น้ำที่สลับซับซ้อนพื้นผิวที่แตกของเทือกเขาและโครงร่างของเมฆกิ่งก้านของต้นไม้และแนวปะการังที่แผ่กิ่งก้านสาขาการสั่นไหวของเทียนและลำธารฟองของแม่น้ำบนภูเขา - ทั้งหมดนี้ล้วนเป็นเศษส่วน บางส่วน เช่น เมฆหรือลำธารที่มีพายุ มีการเปลี่ยนแปลงรูปร่างอยู่ตลอดเวลา บางส่วน เช่น ต้นไม้หรือเทือกเขา ยังคงรักษาโครงสร้างไว้ไม่เปลี่ยนแปลง โครงสร้างแฟร็กทัลทุกประเภทที่พบได้ทั่วไปคือความคล้ายคลึงกันในตัวเอง ซึ่งเป็นคุณสมบัติหลักที่ช่วยให้มั่นใจถึงการปฏิบัติตามกฎพื้นฐานในแฟร็กทัล - กฎแห่งความสามัคคีในความหลากหลายของจักรวาล

ระบบและอวัยวะของมนุษย์ก็เป็นโครงสร้างแฟร็กทัลเช่นกัน ตัวอย่างเช่น หลอดเลือดแตกแขนงหลายครั้ง เช่น มีลักษณะเป็นเศษส่วน กิจกรรมทางไฟฟ้าของหัวใจเป็นกระบวนการแฟร็กทัล แพทย์โรคหัวใจได้ค้นพบว่าลักษณะสเปกตรัมของการเต้นของหัวใจเป็นไปตามกฎแฟร็กทัล เช่นเดียวกับแผ่นดินไหวและปรากฏการณ์ทางเศรษฐกิจ ในเนื้อเยื่อของระบบทางเดินอาหาร พื้นผิวหยักด้านหนึ่งฝังอยู่ในอีกด้านหนึ่ง ปอดยังเป็นตัวอย่างของการบีบพื้นที่ขนาดใหญ่ให้กลายเป็นพื้นที่ขนาดเล็ก ในความเป็นจริง โครงสร้างทั้งหมดของร่างกายมนุษย์นั้นเป็นเศษส่วนในธรรมชาติ สิ่งนี้ได้รับการยอมรับจากนักวิทยาศาสตร์แล้ว หลักการของความเรียบง่ายเพียงหนึ่งเดียวซึ่งกำหนดความซับซ้อนที่หลากหลายนั้นฝังอยู่ในจีโนมมนุษย์ เมื่อเซลล์หนึ่งของสิ่งมีชีวิตมีข้อมูลเกี่ยวกับสิ่งมีชีวิตทั้งหมดโดยรวม

โครงสร้างแฟร็กทัลในธรรมชาติ

นี่คือภาพถ่ายตัวอย่างบางส่วน:

ดังที่นักชีววิทยา John Haldane กล่าวว่า “โลกไม่เพียงแต่แปลกประหลาดกว่าที่เราคิด แต่ยังแปลกประหลาดเกินกว่าที่เราจะจินตนาการได้” เศษส่วนไม่ใช่สิ่งประดิษฐ์ของ Mandelbrot พวกมันมีอยู่อย่างเป็นกลาง ในรูปแบบและกระบวนการทางธรรมชาติ ในด้านวิทยาศาสตร์และศิลปะซึ่งสะท้อนและเข้าใจโลกนี้ Benoit Mandelbrot ได้รับรางวัล Wolf Prize กิตติมศักดิ์สาขาฟิสิกส์ "สำหรับการเปลี่ยนมุมมองของเราต่อโลกด้วยแนวคิดเรื่องเรขาคณิตแฟร็กทัล" ในปี 1993

ปัจจุบันภาพวาดแฟร็กทัลได้รับความนิยมอย่างมาก พวกเขาสร้างความประทับใจที่ยอดเยี่ยมอย่างยิ่ง เส้นบางๆ หลายเส้นที่รวมกันเป็นหนึ่งเดียว หรือมีองค์ประกอบที่ผิดปกติพันกันเป็นภาพเดียว แสงวูบวาบและเส้นเรียบปานกลาง แฟร็กทัลดูเหมือนมีชีวิต มันเผาไหม้ มันเรืองแสง มันดึงดูด และคุณไม่สามารถละสายตาจากมันได้ โดยศึกษาแม้แต่รายละเอียดที่เล็กที่สุดและไม่มีนัยสำคัญที่สุด

กราฟิกแฟร็กทัล

ภาพวาดแฟร็กทัลในการตกแต่งภายใน

การประยุกต์แฟร็กทัล

วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ

ในวิชาฟิสิกส์ แฟร็กทัลมักเกิดขึ้นเมื่อสร้างแบบจำลองกระบวนการที่ไม่เป็นเชิงเส้น เช่น การไหลของของเหลวที่ปั่นป่วน กระบวนการดูดซับและการแพร่กระจายที่ซับซ้อน เปลวไฟ เมฆ และอื่นๆ ที่คล้ายคลึงกัน แฟร็กทัลถูกนำมาใช้ในการสร้างแบบจำลองวัสดุที่มีรูพรุน เช่น ในปิโตรเคมี ในทางชีววิทยา พวกมันถูกใช้เพื่อจำลองประชากรและอธิบายระบบอวัยวะภายใน (ระบบหลอดเลือด) หลังจากการสร้างเส้นโค้ง Koch ก็เสนอให้ใช้เมื่อคำนวณความยาวของแนวชายฝั่ง

วิศวกรรมวิทยุ

การใช้เรขาคณิตแฟร็กทัลในการออกแบบอุปกรณ์เสาอากาศถูกใช้ครั้งแรกโดยวิศวกรชาวอเมริกัน นาธาน โคเฮน ซึ่งต่อมาอาศัยอยู่ในตัวเมืองบอสตัน ซึ่งห้ามติดตั้งเสาอากาศภายนอกบนอาคาร นาธานตัดรูปทรงโค้ง Koch จากอลูมิเนียมฟอยล์แล้วติดลงบนกระดาษ จากนั้นติดเข้ากับเครื่องรับ โคเฮนก่อตั้งบริษัทของตัวเองและเริ่มการผลิตต่อเนื่อง

วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์

การบีบอัดภาพ

ต้นไม้แฟร็กทัล

มีอัลกอริธึมการบีบอัดภาพโดยใช้แฟร็กทัล พวกมันมีพื้นฐานมาจากแนวคิดที่ว่า แทนที่จะเป็นตัวรูปภาพเอง เราสามารถจัดเก็บแผนผังการบีบอัดซึ่งรูปภาพนี้ (หรือบางส่วนที่ใกล้เคียง) เป็นจุดคงที่ Microsoft ใช้หนึ่งในตัวแปรของอัลกอริทึมนี้เมื่อเผยแพร่สารานุกรม แต่อัลกอริทึมเหล่านี้ไม่ได้ใช้กันอย่างแพร่หลาย

คอมพิวเตอร์กราฟิกส์

แฟร็กทัลถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในคอมพิวเตอร์กราฟิกส์เพื่อสร้างภาพของวัตถุทางธรรมชาติ เช่น ต้นไม้ พุ่มไม้ ทิวทัศน์ภูเขา พื้นผิวทะเล และอื่นๆ มีโปรแกรมมากมายสำหรับสร้างภาพแฟร็กทัล

กระจายอำนาจเครือข่าย

ระบบกำหนดที่อยู่ IP ในเครือข่าย Netsukuku (เครือข่ายนี้เป็นโครงการสำหรับการสร้างเครือข่ายแบบ peer-to-peer ที่จัดระเบียบตัวเองแบบกระจายซึ่งสามารถสร้างความมั่นใจในการโต้ตอบของโหนดจำนวนมากที่มีภาระน้อยที่สุดบนโปรเซสเซอร์กลางและหน่วยความจำ) ใช้ หลักการบีบอัดข้อมูลเศษส่วนเพื่อจัดเก็บข้อมูลเกี่ยวกับโหนดเครือข่ายอย่างแน่นหนา แต่ละโหนดในเครือข่าย Netsukuku เก็บข้อมูลเพียง 4 KB เกี่ยวกับสถานะของโหนดข้างเคียง ในขณะที่โหนดใหม่ใดๆ เชื่อมต่อกับเครือข่ายทั่วไปโดยไม่จำเป็นต้องมีการควบคุมกลางในการกระจายที่อยู่ IP ซึ่งเป็นเรื่องปกติสำหรับ อินเทอร์เน็ต. ดังนั้นหลักการของการบีบอัดข้อมูลแฟร็กทัลจึงรับประกันการกระจายอำนาจอย่างสมบูรณ์ ดังนั้นจึงเป็นการทำงานที่เสถียรที่สุดของเครือข่ายทั้งหมด

เศรษฐศาสตร์และการเงิน

A. A. Almazov ในหนังสือของเขาเรื่อง "Fractal Theory" วิธีเปลี่ยนมุมมองของคุณต่อตลาด” แนะนำวิธีใช้เศษส่วนเมื่อวิเคราะห์ราคาหุ้น โดยเฉพาะในตลาด Forex

ทุกครั้งที่คุณดูแฟร็กทัล คุณจะนึกถึงโลกแห่งความจริงและโลกแห่งคณิตศาสตร์ที่สวยงามแค่ไหน และคณิตศาสตร์นั้นเป็นภาษาที่สามารถอธิบายได้เกือบทุกอย่างที่มีอยู่ในจักรวาล

บรรณานุกรม

1. Mandelbrot B. เรขาคณิตเศษส่วนของธรรมชาติ อ.: “สถาบันวิจัยคอมพิวเตอร์”, 2545. 656 หน้า

2. โมโรซอฟ เอ.ดี. ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับทฤษฎีแฟร็กทัล N. Novgorod: สำนักพิมพ์ Nizhny Novgorod มหาวิทยาลัย 2542 140 น.

3. Peitgen H.-O., Richter P.H. ความงามของเศษส่วน อ.: “เมียร์”, 2536. - 176 หน้า

4. Tikhoplav V.Yu., Tikhoplav T.S. ความสามัคคีของความสับสนวุ่นวายหรือความเป็นจริงแฟร็กทัล เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก: สำนักพิมพ์ "Ves", 2546. 340 หน้า

5. เฟเดอร์ อี. แฟร็กทัลส์ อ: “เมียร์”, 1991. 254 หน้า

6. ชโรเดอร์ เอ็ม. แฟร็กทัลส์ ความโกลาหล กฎแห่งอำนาจ ของจิ๋วจากสวรรค์อันไม่มีที่สิ้นสุด อีเจฟสค์: “RKhD”, 2544. 528 หน้า

รายชื่อเว็บไซต์เกี่ยวกับแฟร็กทัล

1. http://www.fractals.nsu.ru

2. http://www.fractalworld.xaoc.ru

3. http://www.multifractal.narod.ru

4. http://algolist.manual.ru

โพสต์บน Allbest.ru

เอกสารที่คล้ายกัน

การพิจารณามิติแฟร็กทัลเป็นคุณลักษณะหนึ่งของพื้นผิวทางวิศวกรรม คำอธิบายของเศษส่วนธรรมชาติ การวัดความยาวของเส้นไม่เรียบ (ขาด) ความเหมือนและการปรับขนาด ความเหมือนในตนเอง และความสัมพันธ์ในตนเอง ความสัมพันธ์ระหว่างปริมณฑลกับพื้นที่

ทดสอบเพิ่มเมื่อ 23/12/2558


ประวัติความเป็นมาของทฤษฎีแฟร็กทัล แฟร็กทัลเป็นโครงสร้างที่คล้ายกันซึ่งภาพไม่ได้ขึ้นอยู่กับขนาด นี่คือโมเดลแบบเรียกซ้ำซึ่งแต่ละส่วนจะทำซ้ำในการพัฒนาโมเดลทั้งหมดโดยรวม การประยุกต์ทฤษฎีแฟร็กทัลเชิงปฏิบัติ

งานทางวิทยาศาสตร์ เพิ่มเมื่อ 05/12/2010


เศษส่วนคลาสสิก ความคล้ายคลึงกันในตนเอง สโนว์เฟลกโคช พรมเซียร์ปินสกี้ L-ระบบ พลวัตที่วุ่นวาย ตัวดึงดูดลอเรนซ์ แมนเดลบรอตและจูเลียจัดฉาก การประยุกต์เศษส่วนในเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์

งานหลักสูตรเพิ่มเมื่อ 26/05/2549


คุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมบางอัน การนำแบบจำลองสถานการณ์ทางเรขาคณิตไปใช้ในสภาพแวดล้อมเรขาคณิตแบบไดนามิก คุณสมบัติของสภาพแวดล้อมแบบไดนามิก "Living Geometry" คุณสมบัติของการสร้างรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน, รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน, สี่เหลี่ยมผืนผ้าและแบบจำลองสี่เหลี่ยมจัตุรัสในนั้น

งานหลักสูตรเพิ่มเมื่อ 28/05/2013


ภาพเรขาคณิตของโลกและข้อกำหนดเบื้องต้นสำหรับการเกิดขึ้นของทฤษฎีแฟร็กทัล องค์ประกอบของระบบ L ที่กำหนดขึ้น ได้แก่ ตัวอักษร คำเริ่มต้น และชุดกฎการสร้าง คุณสมบัติแฟร็กทัลของกระบวนการทางสังคม: การทำงานร่วมกันและพลวัตที่วุ่นวาย

งานหลักสูตรเพิ่มเมื่อ 22/03/2014


ศึกษาปรากฏการณ์กฎเรขาคณิตในธรรมชาติของสิ่งมีชีวิตและการนำไปใช้ในกิจกรรมภาคปฏิบัติทางการศึกษา คำอธิบายของกฎเรขาคณิตและสาระสำคัญของการสร้างทางเรขาคณิต การศึกษาด้านกราฟิกและจุดยืนของโลกสมัยใหม่

วิทยานิพนธ์เพิ่มเมื่อ 24/06/2010


คำจำกัดความของแนวคิดของแบบจำลอง ความจำเป็นในการประยุกต์ทางวิทยาศาสตร์และชีวิตประจำวัน ลักษณะของวัสดุและวิธีการสร้างแบบจำลองในอุดมคติ การจำแนกแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ (กำหนดขึ้น, สุ่ม) ขั้นตอนของกระบวนการก่อสร้าง

บทคัดย่อเพิ่มเมื่อ 20/08/2558


ศึกษาแนวคิดเรื่องความสมมาตร สัดส่วน สัดส่วน และความสม่ำเสมอในการจัดเรียงชิ้นส่วน ลักษณะของคุณสมบัติสมมาตรของรูปทรงเรขาคณิต คำอธิบายบทบาทของความสมมาตรในสถาปัตยกรรม ธรรมชาติ และเทคโนโลยี ในการแก้ปัญหาเชิงตรรกะ

การนำเสนอเพิ่มเมื่อ 12/06/2011


ประวัติความเป็นมาของคณิตศาสตร์วิทยาศาสตร์ วิธีพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ ขีดจำกัดและปัญหาของการคำนวณทางคณิตศาสตร์ ปัญหาของการใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์ในวิทยาศาสตร์ต่างๆ มีความเกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์นั่นเอง (การศึกษาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์) กับสาขาวิชาการสร้างแบบจำลอง

บทคัดย่อเพิ่มเมื่อ 24/05/2548


แนวคิดและประวัติความเป็นมาของการศึกษาอัตราส่วนทองคำ ลักษณะเด่นของการสะท้อนในทางคณิตศาสตร์ ธรรมชาติ สถาปัตยกรรม และจิตรกรรม ลำดับและหลักการของการก่อสร้าง โครงสร้างและพื้นที่การใช้งานจริงของส่วนสีทอง การอธิบายเหตุผลทางคณิตศาสตร์ และความหมาย

เมื่อเร็ว ๆ นี้ฉันได้เรียนรู้เกี่ยวกับวัตถุที่น่าสนใจของโลกคณิตศาสตร์เช่นแฟร็กทัล แต่มีอยู่ไม่เพียงแต่ในคณิตศาสตร์เท่านั้น พวกเขาล้อมรอบเราทุกที่ แฟร็กทัลเป็นเรื่องธรรมชาติ ฉันจะพูดถึงแฟร็กทัลคืออะไร ประเภทของแฟร็กทัล ตัวอย่างของวัตถุเหล่านี้และการประยุกต์ในบทความนี้ ขั้นแรก ฉันจะบอกคุณสั้นๆ ว่าแฟร็กทัลคืออะไร

แฟร็กทัล (ละติน fractus - บด, หัก, หัก) เป็นรูปทรงเรขาคณิตที่ซับซ้อนซึ่งมีคุณสมบัติคล้ายคลึงกันในตัวเอง กล่าวคือ ประกอบด้วยหลายส่วน ซึ่งแต่ละส่วนจะคล้ายกับตัวเลขทั้งหมด ในความหมายที่กว้างกว่านั้น แฟร็กทัลถูกเข้าใจว่าเป็นเซตของจุดในปริภูมิแบบยุคลิดที่มีมิติเมตริกเศษส่วน (ในความหมายของ Minkowski หรือ Hausdorff) หรือมิติเมตริกที่แตกต่างจากทอพอโลยี ตัวอย่างเช่น ฉันจะแทรกรูปภาพที่แสดงถึงแฟร็กทัลสี่อันที่แตกต่างกัน

ฉันจะเล่าให้คุณฟังเล็กน้อยเกี่ยวกับประวัติความเป็นมาของแฟร็กทัล แนวคิดเรื่องเรขาคณิตแฟร็กทัลและแฟร็กทัลซึ่งปรากฏในช่วงปลายทศวรรษที่ 70 ได้รับการยอมรับอย่างมั่นคงในหมู่นักคณิตศาสตร์และโปรแกรมเมอร์ตั้งแต่กลางทศวรรษที่ 80 คำว่า "แฟร็กทัล" ได้รับการประกาศเกียรติคุณโดย เบอนัวต์ มานเดลโบรต์ ในปี 1975 เพื่ออ้างถึงโครงสร้างที่ผิดปกติแต่คล้ายกันในตัวเองซึ่งเขากังวล การกำเนิดของเรขาคณิตเศษส่วนมักจะเกี่ยวข้องกับการตีพิมพ์หนังสือ The Fractal Geometry of Nature ของ Mandelbrot ในปี 1977 ผลงานของเขาใช้ผลงานทางวิทยาศาสตร์ของนักวิทยาศาสตร์คนอื่นๆ ที่ทำงานในช่วงปี 1875-1925 ในสาขาเดียวกัน (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff) แต่ในยุคของเราเท่านั้นที่เป็นไปได้ที่จะรวมงานของพวกเขาไว้ในระบบเดียว

มีตัวอย่างแฟร็กทัลมากมาย เพราะอย่างที่ฉันบอกไป มันล้อมรอบเราทุกที่ ในความคิดของฉัน แม้แต่จักรวาลของเราทั้งหมดก็ยังเป็นเศษส่วนขนาดใหญ่เพียงชิ้นเดียว ท้ายที่สุดแล้วทุกสิ่งในนั้นตั้งแต่โครงสร้างของอะตอมไปจนถึงโครงสร้างของจักรวาลนั้นซ้ำกันทุกประการ แต่แน่นอนว่ายังมีตัวอย่างแฟร็กทัลจากพื้นที่ต่างๆ ที่เฉพาะเจาะจงมากกว่า ตัวอย่างเช่น แฟร็กทัลมีอยู่ในไดนามิกที่ซับซ้อน พวกเขาอยู่ที่นั่น ปรากฏอย่างเป็นธรรมชาติเมื่อศึกษาแบบไม่เชิงเส้น ระบบไดนามิก- กรณีศึกษามากที่สุดคือเมื่อมีการระบุระบบไดนามิกโดยการวนซ้ำของพหุนามหรือโฮโลมอร์ฟิก ฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนบนพื้นผิว เศษส่วนที่มีชื่อเสียงที่สุดในประเภทนี้คือชุด Julia ชุด Mandelbrot และพูลของ Newton ด้านล่างนี้ตามลำดับรูปภาพแสดงถึงแฟร็กทัลแต่ละอันด้านบน

อีกตัวอย่างหนึ่งของแฟร็กทัลคือเส้นโค้งแฟร็กทัล วิธีที่ดีที่สุดคืออธิบายวิธีสร้างแฟร็กทัลโดยใช้ตัวอย่างเส้นโค้งแฟร็กทัล หนึ่งในเส้นโค้งเหล่านี้คือสิ่งที่เรียกว่า Koch Snowflake มีความเรียบง่ายขั้นตอนการหาเส้นโค้งแฟร็กทัลบนระนาบ ให้เรากำหนดเส้นขาดตามอำเภอใจด้วยจำนวนลิงก์ที่มีจำกัด เรียกว่าตัวสร้าง ต่อไปเราจะแทนที่แต่ละส่วนด้วยเครื่องกำเนิด (แม่นยำยิ่งขึ้นคือเส้นขาดที่คล้ายกับเครื่องกำเนิด) ในผลลัพธ์ของเส้นขาด เราจะแทนที่แต่ละส่วนด้วยตัวสร้างอีกครั้ง ต่อเนื่องไปจนถึงอนันต์ ในขีดจำกัดเราจะได้เส้นโค้งแฟร็กทัล ด้านล่างคือ Koch Snowflake (หรือ Curve)

นอกจากนี้ยังมีเส้นโค้งแฟร็กทัลที่หลากหลายอีกด้วย สิ่งที่มีชื่อเสียงที่สุด ได้แก่ Koch Snowflake ที่กล่าวถึงแล้ว เช่นเดียวกับเส้นโค้ง Levy เส้นโค้ง Minkowski เส้นหักของมังกร เส้นโค้งเปียโน และต้นไม้พีทาโกรัส ฉันคิดว่าคุณสามารถค้นหาภาพแฟร็กทัลเหล่านี้และประวัติของพวกมันในวิกิพีเดียได้อย่างง่ายดายหากคุณต้องการ

ตัวอย่างหรือประเภทของเศษส่วนที่สามคือเศษส่วนสุ่ม แฟร็กทัลดังกล่าวรวมถึงวิถีการเคลื่อนที่แบบบราวเนียนด้วย บนเครื่องบินและในอวกาศ วิวัฒนาการของ Schramm-Löwner ซึ่งเป็นแฟร็กทัลแบบสุ่มประเภทต่างๆ กล่าวคือ แฟร็กทัลที่ได้รับโดยใช้ขั้นตอนแบบเรียกซ้ำซึ่งมีการแนะนำพารามิเตอร์สุ่มในแต่ละขั้นตอน

นอกจากนี้ยังมีแฟร็กทัลทางคณิตศาสตร์ล้วนๆ ด้วย ตัวอย่างเช่น ชุดคันทอร์ ฟองน้ำ Menger สามเหลี่ยม Sierpinski และอื่นๆ

แต่บางทีเศษส่วนที่น่าสนใจที่สุดอาจเป็นเศษส่วนธรรมชาติ แฟร็กทัลธรรมชาติเป็นวัตถุในธรรมชาติที่มีคุณสมบัติแฟร็กทัล และนี่คือรายการที่มีขนาดใหญ่แล้ว ฉันจะไม่แสดงรายการทุกอย่างเพราะอาจเป็นไปไม่ได้ที่จะแสดงรายการทั้งหมด แต่ฉันจะบอกคุณเกี่ยวกับบางส่วน ตัวอย่างเช่น ในธรรมชาติที่มีชีวิต เศษส่วนดังกล่าวรวมถึงระบบไหลเวียนโลหิตและปอดของเรา และก็มงกุฎและใบของต้นไม้ด้วย นอกจากนี้ยังรวมถึงปลาดาว เม่นทะเล ปะการัง เปลือกหอย และพืชบางชนิด เช่น กะหล่ำปลีหรือบรอกโคลี เศษส่วนธรรมชาติจากธรรมชาติที่มีชีวิตหลายรายการแสดงไว้อย่างชัดเจนด้านล่าง

หากเราพิจารณาธรรมชาติที่ไม่มีชีวิต ก็ยังมีตัวอย่างที่น่าสนใจมากกว่าธรรมชาติที่มีชีวิตอยู่มาก ฟ้าผ่า, เกล็ดหิมะ, เมฆ, ทุกคนรู้จักกันดี, ลวดลายบนหน้าต่างในวันที่อากาศหนาวจัด, คริสตัล, เทือกเขา - ทั้งหมดนี้คือตัวอย่างของเศษส่วนธรรมชาติจากธรรมชาติที่ไม่มีชีวิต

เราดูตัวอย่างและประเภทของแฟร็กทัล ในส่วนของการใช้เศษส่วนนั้นจะถูกนำมาใช้ในความรู้ที่หลากหลาย ในวิชาฟิสิกส์ แฟร็กทัลมักเกิดขึ้นเมื่อสร้างแบบจำลองกระบวนการที่ไม่เป็นเชิงเส้น เช่น การไหลของของเหลวที่ปั่นป่วน กระบวนการดูดซับและการแพร่กระจายที่ซับซ้อน เปลวไฟ เมฆ ฯลฯ แฟร็กทัลจะใช้เมื่อสร้างแบบจำลองวัสดุที่มีรูพรุน เช่น ในปิโตรเคมี ในทางชีววิทยา พวกมันถูกใช้เพื่อจำลองประชากรและอธิบายระบบอวัยวะภายใน (ระบบหลอดเลือด) หลังจากสร้างเส้นโค้ง Koch แล้ว ก็เสนอให้ใช้มันในการคำนวณความยาวของแนวชายฝั่ง แฟร็กทัลยังถูกนำมาใช้อย่างแข็งขันในวิศวกรรมวิทยุ วิทยาศาสตร์สารสนเทศและเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์ โทรคมนาคม และแม้แต่เศรษฐศาสตร์ และแน่นอนว่าการมองเห็นแบบแฟร็กทัลถูกนำมาใช้อย่างแข็งขันในงานศิลปะและสถาปัตยกรรมสมัยใหม่ นี่คือตัวอย่างหนึ่งของรูปแบบแฟร็กทัล:

ด้วยเหตุนี้ ฉันจึงคิดว่าจะสานต่อเรื่องราวของฉันเกี่ยวกับปรากฏการณ์ทางคณิตศาสตร์ที่ไม่ธรรมดา เช่น แฟร็กทัลให้สมบูรณ์ วันนี้เราได้เรียนรู้ว่าแฟร็กทัลคืออะไร ลักษณะที่ปรากฏ รวมถึงประเภทและตัวอย่างของแฟร็กทัล ฉันยังพูดคุยเกี่ยวกับการใช้งานของพวกเขาและสาธิตเศษส่วนบางส่วนด้วยสายตา ฉันหวังว่าคุณจะสนุกกับการท่องเที่ยวเล็ก ๆ น้อย ๆ สู่โลกแห่งวัตถุแฟร็กทัลที่น่าตื่นตาตื่นใจและน่าหลงใหล

เพื่อที่จะเข้าใจว่าแฟร็กทัลคืออะไร เราควรเริ่มการซักถามจากตำแหน่งทางคณิตศาสตร์ แต่ก่อนที่จะเจาะลึกวิทยาศาสตร์ที่แน่นอน เราจะอธิบายปรัชญากันสักหน่อย ทุกคนมีความอยากรู้อยากเห็นตามธรรมชาติขอบคุณที่เขาเรียนรู้เกี่ยวกับโลกรอบตัวเขา บ่อยครั้งในการแสวงหาความรู้ เขาพยายามใช้ตรรกะในการตัดสินของเขา ดังนั้นโดยการวิเคราะห์กระบวนการที่เกิดขึ้นรอบตัวเขา เขาจึงพยายามคำนวณความสัมพันธ์และรับรูปแบบบางอย่าง. ผู้มีความคิดที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในโลกกำลังยุ่งอยู่กับการแก้ปัญหาเหล่านี้ พูดโดยคร่าวๆ นักวิทยาศาสตร์ของเรากำลังมองหารูปแบบที่ไม่มีและไม่ควรจะมี ถึงกระนั้นแม้ในความสับสนวุ่นวายก็ยังมีความเชื่อมโยงระหว่างเหตุการณ์บางอย่าง การเชื่อมต่อนี้คือสิ่งที่แฟร็กทัลเป็น ตัวอย่างเช่น พิจารณากิ่งไม้หักที่วางอยู่บนถนน หากเรามองดูใกล้ๆ จะเห็นว่ากิ่งก้านและกิ่งก้านของมันนั้นดูเหมือนต้นไม้เลยทีเดียว ความคล้ายคลึงกันของส่วนที่แยกจากกันที่มีทั้งหมดเดียวนี้บ่งบอกถึงหลักการที่เรียกว่าความคล้ายคลึงกันในตัวเองแบบเรียกซ้ำ เศษส่วนสามารถพบได้ทั่วทุกแห่งในธรรมชาติ เนื่องจากมีรูปแบบอนินทรีย์และอินทรีย์จำนวนมากเกิดขึ้นในลักษณะเดียวกัน เหล่านี้ได้แก่เมฆ เปลือกหอย หอยทาก มงกุฎต้นไม้ และแม้กระทั่งระบบไหลเวียนโลหิต รายการนี้สามารถดำเนินต่อไปได้อย่างไม่มีกำหนด รูปร่างสุ่มทั้งหมดนี้อธิบายได้ง่ายด้วยอัลกอริธึมแฟร็กทัล ตอนนี้เราได้มาพิจารณาว่าแฟร็กทัลคืออะไรจากมุมมองของวิทยาศาสตร์ที่แน่นอน

ข้อเท็จจริงบางอย่างที่แห้งแล้ง

คำว่า "เศษส่วน" นั้นแปลมาจากภาษาละตินว่า "บางส่วน", "แบ่ง", "แยกส่วน" และสำหรับเนื้อหาของคำนี้ไม่มีการกำหนดเช่นนี้ โดยปกติจะตีความว่าเป็นฉากที่คล้ายกันในตัวเอง ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของทั้งหมด ซึ่งทำซ้ำโครงสร้างในระดับจุลภาค คำนี้บัญญัติขึ้นในช่วงทศวรรษที่ 70 ของศตวรรษที่ 20 โดยเบอนัวต์ แมนเดลโบรต์ ซึ่งได้รับการยอมรับว่าเป็นบิดาแห่งเรขาคณิตแฟร็กทัล ปัจจุบัน แนวคิดเรื่องแฟร็กทัลหมายถึงภาพกราฟิกของโครงสร้างบางอย่าง ซึ่งเมื่อขยายขนาดจะคล้ายกับตัวมันเอง อย่างไรก็ตามพื้นฐานทางคณิตศาสตร์สำหรับการสร้างทฤษฎีนี้ถูกวางไว้ก่อนการกำเนิดของ Mandelbrot เอง แต่ก็ไม่สามารถพัฒนาได้จนกว่าคอมพิวเตอร์อิเล็กทรอนิกส์จะปรากฏขึ้น

ภูมิหลังทางประวัติศาสตร์ หรือเรื่องราวทั้งหมดเริ่มต้นอย่างไร

ในช่วงเปลี่ยนศตวรรษที่ 19 และ 20 มีการศึกษาธรรมชาติของแฟร็กทัลเป็นระยะๆ สิ่งนี้อธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่านักคณิตศาสตร์ชอบที่จะศึกษาวัตถุที่สามารถวิจัยได้บนพื้นฐานของทฤษฎีและวิธีการทั่วไป ในปี ค.ศ. 1872 นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน เค. ไวเออร์สตราส ได้สร้างตัวอย่างของฟังก์ชันต่อเนื่องที่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้จากที่ใด อย่างไรก็ตาม โครงสร้างนี้กลับกลายเป็นนามธรรมโดยสิ้นเชิงและยากต่อการรับรู้ ถัดมาเป็นชาวสวีเดน Helge von Koch ซึ่งในปี 1904 ได้สร้างเส้นโค้งต่อเนื่องที่ไม่มีเส้นสัมผัสกันที่ใดเลย วาดค่อนข้างง่ายและกลับกลายเป็นว่ามีคุณสมบัติแฟร็กทัล หนึ่งในรูปแบบของเส้นโค้งนี้ได้รับการตั้งชื่อตามผู้แต่ง - "เกล็ดหิมะ Koch" นอกจากนี้แนวคิดเรื่องความคล้ายคลึงกันในตนเองยังได้รับการพัฒนาโดยที่ปรึกษาในอนาคตของ B. Mandelbrot ชาวฝรั่งเศส Paul Levy ในปีพ.ศ. 2481 เขาได้ตีพิมพ์บทความเรื่อง "ระนาบและเส้นโค้งและพื้นผิวเชิงพื้นที่ซึ่งประกอบด้วยชิ้นส่วนที่คล้ายกันทั้งหมด" ในนั้นเขาได้อธิบายรูปแบบใหม่ - Levy C-curve ตัวเลขทั้งหมดที่กล่าวมาข้างต้นจัดอยู่ในประเภทตามอัตภาพเป็นเศษส่วนทางเรขาคณิต

เศษส่วนแบบไดนามิกหรือพีชคณิต

ชุด Mandelbrot เป็นของคลาสนี้ นักวิจัยคนแรกในทิศทางนี้คือนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสปิแอร์ฟาตูและแกสตันจูเลีย ในปีพ.ศ. 2461 จูเลียตีพิมพ์บทความเกี่ยวกับการศึกษาการวนซ้ำของฟังก์ชันเชิงตรรกศาสตร์ที่ซับซ้อน ที่นี่เขาบรรยายถึงกลุ่มแฟร็กทัลที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับฉากแมนเดลโบรต์ แม้ว่างานนี้จะให้เกียรติผู้เขียนในหมู่นักคณิตศาสตร์ แต่ก็ถูกลืมไปอย่างรวดเร็ว และเพียงครึ่งศตวรรษต่อมา ต้องขอบคุณคอมพิวเตอร์ งานของ Julia จึงได้รับชีวิตที่สอง คอมพิวเตอร์ทำให้ทุกคนมองเห็นความสวยงามและความสมบูรณ์ของโลกแห่งแฟร็กทัลที่นักคณิตศาสตร์สามารถ "มองเห็น" ได้ด้วยการแสดงผ่านฟังก์ชันต่างๆ แมนเดลบรอตเป็นคนแรกที่ใช้คอมพิวเตอร์ในการคำนวณ (ปริมาตรดังกล่าวไม่สามารถทำได้ด้วยตนเอง) ซึ่งทำให้สามารถสร้างภาพตัวเลขเหล่านี้ได้

คนที่มีจินตนาการเชิงพื้นที่

Mandelbrot เริ่มต้นอาชีพทางวิทยาศาสตร์ที่ IBM Research Center ในขณะที่ศึกษาความเป็นไปได้ในการส่งข้อมูลในระยะทางไกล นักวิทยาศาสตร์ต้องเผชิญกับการสูญเสียครั้งใหญ่อันเกิดจากการรบกวนทางเสียง เบอนัวต์กำลังมองหาวิธีแก้ปัญหานี้ เมื่อดูผลการวัดแล้ว เขาสังเกตเห็นรูปแบบแปลก ๆ กล่าวคือ กราฟสัญญาณรบกวนดูเหมือนกันในช่วงเวลาที่ต่างกัน เห็นภาพที่คล้ายกันทั้งในช่วงเวลาหนึ่งวันและเจ็ดวันหรือหนึ่งชั่วโมง Benoit Mandelbrot เองมักพูดซ้ำ ๆ ว่าเขาใช้สูตรไม่ได้ แต่เล่นกับรูปภาพ นักวิทยาศาสตร์คนนี้โดดเด่นด้วยการคิดเชิงจินตนาการ เขาแปลปัญหาพีชคณิตใด ๆ ให้เป็นพื้นที่ทางเรขาคณิตโดยที่คำตอบที่ถูกต้องชัดเจน ดังนั้นจึงไม่น่าแปลกใจที่บุคคลดังกล่าวซึ่งโดดเด่นด้วยการคิดเชิงพื้นที่ที่เข้มข้นกลายเป็นบิดาแห่งเรขาคณิตแฟร็กทัล ท้ายที่สุดแล้ว การตระหนักรู้ถึงตัวเลขนี้สามารถเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อคุณศึกษาภาพวาดและคิดถึงความหมายของการหมุนวนแปลก ๆ เหล่านี้ที่ก่อตัวเป็นลวดลาย รูปแบบแฟร็กทัลไม่มีองค์ประกอบที่เหมือนกัน แต่มีความคล้ายคลึงกันในทุกขนาด

จูเลีย–แมนเดลบรอต

ภาพวาดชิ้นแรกๆ ของภาพนี้คือการตีความภาพกราฟิกของฉากนี้ ซึ่งเกิดจากผลงานของแกสตัน จูเลีย และได้รับการพัฒนาเพิ่มเติมโดยแมนเดลโบรต์ แกสตันพยายามจินตนาการว่าชุดจะมีลักษณะอย่างไรโดยอาศัยสูตรง่ายๆ ที่วนซ้ำผ่านลูปป้อนกลับ เรามาลองอธิบายสิ่งที่พูดในภาษามนุษย์หรือพูดโดยใช้นิ้วกัน สำหรับค่าตัวเลขเฉพาะ เราจะค้นหาค่าใหม่โดยใช้สูตร เราแทนที่มันลงในสูตรแล้วค้นหาสิ่งต่อไปนี้ ผลลัพธ์ที่ได้คือลำดับจำนวนมาก เพื่อเป็นตัวแทนของชุดดังกล่าวจำเป็นต้องดำเนินการนี้เป็นจำนวนมาก: หลายร้อย, พัน, ล้าน นี่คือสิ่งที่เบอนัวต์ทำ เขาประมวลผลลำดับและโอนผลลัพธ์ไปเป็นรูปแบบกราฟิก ต่อจากนั้น เขาระบายสีผลลัพธ์ที่ได้ (แต่ละสีสอดคล้องกับจำนวนครั้งที่กำหนด) ภาพกราฟิกนี้มีชื่อว่า “Mandelbrot fractal”

L. Carpenter: ศิลปะที่สร้างสรรค์โดยธรรมชาติ

ทฤษฎีแฟร็กทัลพบการประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติได้อย่างรวดเร็ว เนื่องจากมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับการแสดงภาพที่คล้ายกัน ศิลปินจึงเป็นคนแรกที่นำหลักการและอัลกอริธึมมาใช้ในการสร้างรูปแบบที่ผิดปกติเหล่านี้ คนแรกคือ Lauren Carpenter ผู้ก่อตั้ง Pixar ในอนาคต ในขณะที่ทำงานนำเสนอเครื่องบินต้นแบบ เขาได้เกิดแนวคิดในการใช้ภาพภูเขาเป็นพื้นหลัง ทุกวันนี้ ผู้ใช้คอมพิวเตอร์เกือบทุกคนสามารถรับมือกับงานดังกล่าวได้ แต่ในช่วงเจ็ดสิบของศตวรรษที่ผ่านมา คอมพิวเตอร์ไม่สามารถดำเนินการตามกระบวนการดังกล่าวได้ เนื่องจากในเวลานั้นไม่มีโปรแกรมแก้ไขกราฟิกหรือแอปพลิเคชันสำหรับกราฟิกสามมิติ จากนั้น Loren ก็ไปพบกับหนังสือของ Mandelbrot เรื่อง Fractals: Form, Randomness and Dimension ในนั้น เบอนัวต์ได้ยกตัวอย่างมากมาย โดยแสดงให้เห็นว่าแฟร็กทัลมีอยู่จริงในธรรมชาติ (ฟีวา) เขาอธิบายรูปร่างที่หลากหลายของพวกมัน และพิสูจน์ว่าพวกมันอธิบายได้ง่ายด้วยนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ นักคณิตศาสตร์อ้างถึงการเปรียบเทียบนี้ว่าเป็นข้อโต้แย้งถึงประโยชน์ของทฤษฎีที่เขากำลังพัฒนาเพื่อตอบสนองต่อเสียงวิพากษ์วิจารณ์จากเพื่อนร่วมงานของเขา พวกเขาแย้งว่าแฟร็กทัลเป็นเพียงภาพที่สวยงาม ไม่มีคุณค่า และเป็นผลพลอยได้จากการทำงานของเครื่องจักรอิเล็กทรอนิกส์ ช่างไม้ตัดสินใจลองใช้วิธีนี้ในทางปฏิบัติ หลังจากศึกษาหนังสืออย่างละเอียดแล้ว นักสร้างแอนิเมชั่นในอนาคตก็เริ่มมองหาวิธีนำเรขาคณิตแฟร็กทัลไปใช้กับคอมพิวเตอร์กราฟิกส์ เขาใช้เวลาเพียงสามวันในการแสดงภาพทิวทัศน์ภูเขาที่สมจริงอย่างสมบูรณ์บนคอมพิวเตอร์ของเขา และในปัจจุบันหลักการนี้ใช้กันอย่างแพร่หลาย ปรากฎว่าการสร้างแฟร็กทัลใช้เวลาและความพยายามไม่มากนัก

วิธีแก้ปัญหาของช่างไม้

หลักการที่ลอเรนใช้นั้นเรียบง่าย ประกอบด้วยการแบ่งรูปทรงเรขาคณิตขนาดใหญ่ออกเป็นองค์ประกอบเล็กๆ และแบ่งรูปทรงที่มีขนาดเล็กกว่าที่คล้ายกัน และอื่นๆ ช่างไม้ใช้สามเหลี่ยมใหญ่แบ่งเป็น 4 อันเล็ก ๆ ไปเรื่อยๆ จนได้ทิวทัศน์ภูเขาที่เหมือนจริง ดังนั้นเขาจึงกลายเป็นศิลปินคนแรกที่ใช้อัลกอริธึมแฟร็กทัลในคอมพิวเตอร์กราฟิกส์เพื่อสร้างภาพที่ต้องการ ปัจจุบันหลักการนี้ถูกนำมาใช้เพื่อเลียนแบบรูปแบบทางธรรมชาติที่สมจริงต่างๆ

การสร้างภาพ 3 มิติครั้งแรกโดยใช้อัลกอริธึมแฟร็กทัล

ไม่กี่ปีต่อมา Lauren ได้นำผลงานของเขาไปใช้ในโครงการขนาดใหญ่ - วิดีโอแอนิเมชั่น Vol Libre ซึ่งฉายบน Siggraph ในปี 1980 วิดีโอนี้ทำให้หลายคนตกใจ และผู้สร้างได้รับเชิญให้มาทำงานที่ Lucasfilm ที่นี่นักสร้างแอนิเมชันสามารถตระหนักถึงศักยภาพสูงสุดของเขา เขาสร้างทิวทัศน์สามมิติ (ทั้งโลก) สำหรับภาพยนตร์สารคดีเรื่อง "Star Trek" โปรแกรมสมัยใหม่ (“Fractals”) หรือแอปพลิเคชันสำหรับสร้างกราฟิก 3 มิติ (Terragen, Vue, Bryce) ใช้อัลกอริทึมเดียวกันสำหรับการสร้างแบบจำลองพื้นผิวและพื้นผิว

ทอม เบดดาร์ด

เบดดาร์ดเคยเป็นนักฟิสิกส์เลเซอร์ และตอนนี้เป็นศิลปินและศิลปินดิจิทัล ได้สร้างรูปทรงเรขาคณิตที่น่าสนใจจำนวนหนึ่ง ซึ่งเขาเรียกว่าเศษส่วนฟาแบร์เช ภายนอกมีลักษณะคล้ายไข่ตกแต่งจากช่างอัญมณีชาวรัสเซีย พวกเขามีลวดลายที่สวยงามและซับซ้อนเหมือนกัน Beddard ใช้วิธีการเทมเพลตเพื่อสร้างการเรนเดอร์โมเดลดิจิทัลของเขา ผลลัพธ์ที่ได้ทำให้ประหลาดใจกับความงามของพวกเขา แม้ว่าหลายคนปฏิเสธที่จะเปรียบเทียบผลิตภัณฑ์ทำมือกับโปรแกรมคอมพิวเตอร์ แต่ก็ต้องยอมรับว่ารูปแบบที่ได้นั้นสวยงามมาก จุดเด่นอยู่ที่ใครๆ ก็สามารถสร้างเศษส่วนดังกล่าวได้โดยใช้ไลบรารีซอฟต์แวร์ WebGL ช่วยให้คุณสำรวจโครงสร้างแฟร็กทัลต่างๆ ได้แบบเรียลไทม์

เศษส่วนในธรรมชาติ

มีคนไม่กี่คนที่ให้ความสนใจ แต่มีตัวเลขที่น่าทึ่งเหล่านี้ปรากฏอยู่ทุกหนทุกแห่ง ธรรมชาติถูกสร้างขึ้นจากสิ่งที่คล้ายกัน เราเพียงแต่ไม่สังเกตเห็น แค่มองผ่านแว่นขยายที่ผิวหนังของเราหรือใบไม้ของต้นไม้ เราก็จะเห็นเศษส่วน หรือใช้ตัวอย่างเช่นสับปะรดหรือแม้แต่หางนกยูง - พวกมันประกอบด้วยตัวเลขที่คล้ายกัน และบรอกโคลีพันธุ์ Romanescu โดยทั่วไปแล้วมีลักษณะโดดเด่นเพราะสามารถเรียกได้ว่าเป็นปาฏิหาริย์แห่งธรรมชาติอย่างแท้จริง

ดนตรีหยุดชั่วคราว

ปรากฎว่าแฟร็กทัลไม่ได้เป็นเพียงรูปทรงเรขาคณิตเท่านั้น แต่ยังเป็นเสียงได้ด้วย ดังนั้นนักดนตรี Jonathan Colton จึงเขียนเพลงโดยใช้อัลกอริธึมแฟร็กทัล เขาอ้างว่าทำนองดังกล่าวสอดคล้องกับความกลมกลืนตามธรรมชาติ ผู้แต่งเผยแพร่ผลงานทั้งหมดของเขาภายใต้ใบอนุญาต CreativeCommons Attribution-Noncommercial ซึ่งจัดให้มีการแจกจ่าย คัดลอก และถ่ายโอนผลงานไปยังผู้อื่นได้ฟรี

ตัวบ่งชี้แฟร็กทัล

เทคนิคนี้พบแอปพลิเคชันที่ไม่คาดคิดมาก โดยพื้นฐานแล้ว มีการสร้างเครื่องมือสำหรับการวิเคราะห์ตลาดแลกเปลี่ยนเงินตรา และเป็นผลให้เริ่มมีการใช้ในตลาด Forex ทุกวันนี้ ตัวบ่งชี้เศษส่วนมีอยู่ในแพลตฟอร์มการซื้อขายทั้งหมด และใช้ในเทคนิคการซื้อขายที่เรียกว่าการฝ่าวงล้อมราคา เทคนิคนี้ได้รับการพัฒนาโดย Bill Williams ตามที่ผู้เขียนแสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับสิ่งประดิษฐ์ของเขา อัลกอริธึมนี้เป็นการผสมผสานระหว่าง "เทียน" หลายอัน โดยที่จุดศูนย์กลางสะท้อนถึงจุดสูงสุดหรือในทางกลับกัน จุดสุดขั้วต่ำสุด

ในที่สุด

ดังนั้นเราจึงดูว่าแฟร็กทัลคืออะไร ปรากฎว่าในความสับสนวุ่นวายที่ล้อมรอบเรา มีรูปแบบในอุดมคติอยู่จริง ธรรมชาติคือสถาปนิกที่ดีที่สุด ผู้สร้างและวิศวกรในอุดมคติ มันถูกจัดเรียงอย่างมีเหตุผล และถ้าเราหารูปแบบไม่พบ ก็ไม่ได้หมายความว่าไม่มีอยู่จริง บางทีเราอาจต้องมองในระดับอื่น เราสามารถพูดได้อย่างมั่นใจว่าเศษส่วนยังคงมีความลับมากมายที่เรายังไม่ได้ค้นพบ