Funksiya va umumiy ko'rinishning antiderivativi. Antiderivativ va noaniq integral - Knowledge Hypermarket Funktsiyaning antiderivativini qanday izlash mumkin

Antiderivativ funktsiya f(x) orasida (a; b) bu funksiya deyiladi F(x), bu tenglik har qanday kishi uchun amal qiladi X berilgan oraliqdan.

Agar doimiyning hosilasi ekanligini hisobga olsak BILAN nolga teng bo'lsa, tenglik to'g'ri bo'ladi. Shunday qilib, funktsiya f(x) ko'plab ibtidoiylarga ega F(x)+C, ixtiyoriy doimiy uchun BILAN, va bu antiderivativlar bir-biridan ixtiyoriy doimiy qiymat bilan farqlanadi.

Noaniq integralning ta'rifi.

Antiderivativ funktsiyalarning butun to'plami f(x) bu funksiyaning noaniq integrali deyiladi va belgilanadi .

ifoda deyiladi integral, A f(x) – integral funktsiyasi. Integrand funksiyaning differentsialini ifodalaydi f(x).

Noma'lum funktsiyaning differentsialini hisobga olgan holda topish harakati deyiladi noaniq integratsiya, chunki integratsiya natijasi bir nechta funktsiyadir F(x), va uning ibtidoiylari to'plami F(x)+C.

Noaniq integralning geometrik ma'nosi. Antiderivativ D(x) ning grafigi integral egri chiziq deyiladi. X0y koordinatalar sistemasida berilgan funksiyaning barcha anti hosilalari grafiklari C doimiysi qiymatiga bog’liq bo’lgan va bir-biridan 0y o’qi bo’ylab parallel siljish orqali olinadigan egri chiziqlar turkumini ifodalaydi. Yuqorida muhokama qilingan misol uchun bizda:

J 2 x^x = x2 + C.

Antiderivativlar oilasi (x + C) geometrik ravishda parabolalar to'plami bilan izohlanadi.

Agar antiderivativlar turkumidan birini topish kerak bo'lsa, u holda C konstantasini aniqlash imkonini beruvchi qo'shimcha shartlar o'rnatiladi. Odatda, bu maqsadda dastlabki shartlar o'rnatiladi: x = x0 argumenti bo'lganda, funktsiya D qiymatiga ega bo'ladi. (x0) = y0.

Misol. y = 2 x funktsiyaning x0 = 1 da 3 qiymatini oladigan anti hosilalaridan biri ekanligini topish talab qilinadi.

Kerakli antiderivativ: D(x) = x2 + 2.

Yechim. ^2x^x = x2 + C; 12 + C = 3; C = 2.

2. Noaniq integralning asosiy xossalari

1. Noaniq integralning hosilasi integral funksiyaga teng:

2. Noaniq integralning differensiali integrasiya ifodasiga teng:

3. Muayyan funksiya differensialining noaniq integrali shu funksiyaning o‘zi va ixtiyoriy doimiyning yig‘indisiga teng:

4. Integral belgisidan doimiy koeffitsientni chiqarish mumkin:

5. Yig‘indining (farq) integrali integrallarning yig‘indisiga (farqiga) teng:

6. Mulk 4 va 5 xossalarning birikmasidir:

7. Noaniq integralning o'zgarmaslik xossasi:

Agar , Bu

8. Mulk:

Agar , Bu

Aslida, bu xususiyat o'zgaruvchan o'zgarish usuli yordamida integratsiyaning alohida holati bo'lib, keyingi bobda batafsilroq muhokama qilinadi.

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:

3. Integratsiya usuli bunda berilgan integral integralni (yoki ifodani) bir xil o'zgartirishlar va noaniq integralning xossalarini qo'llash orqali bir yoki bir nechta jadval integrallariga keltiriladi, deyiladi. to'g'ridan-to'g'ri integratsiya. Ushbu integralni jadvalga keltirishda ko'pincha quyidagi differentsial o'zgarishlar qo'llaniladi (operatsiya " differentsial belgiga obuna bo'lish»):

Umuman, f’(u)du = d(f(u)). Bu (formula ko'pincha integrallarni hisoblashda qo'llaniladi.

Integralni toping

Yechim. Keling, integralning xossalaridan foydalanamiz va bu integralni bir nechta jadvalga keltiramiz.

4. Almashtirish usuli bilan integratsiya.

Usulning mohiyati shundan iboratki, biz yangi o'zgaruvchini kiritamiz, bu o'zgaruvchi orqali integratsiyani ifodalaymiz va natijada biz integralning jadvalli (yoki oddiyroq) ko'rinishiga kelamiz.

Ko'pincha trigonometrik funktsiyalar va funktsiyalarni radikallar bilan integratsiyalashganda almashtirish usuli yordamga keladi.

Misol.

Noaniq integralni toping .

Yechim.

Keling, yangi o'zgaruvchini kiritamiz. ifoda qilaylik X orqali z:

Olingan ifodalarni asl integralga almashtiramiz:

Antiderivativlar jadvalidan bizda .

Asl o'zgaruvchiga qaytish qoladi X:

Javob:

Ta'rif. F (x) funksiya ma’lum oraliqdagi f (x) funksiya uchun anti hosila deb ataladi, agar F”(x)= f (x) oraliqdan istalgan x uchun.

Antiderivativlarning asosiy xossasi.

Agar F (x) f (x) funktsiyaning anti hosilasi bo'lsa, u holda F (x)+ C funksiyasi, bu erda C ixtiyoriy konstanta, f (x) funksiyaning ham anti hosilasidir (ya'ni, ning barcha anti hosilalari. f(x) funksiya F(x) + C ko'rinishda yoziladi.

Geometrik talqin.

Berilgan f (x) funksiyaning barcha antiderivativlarining grafiklari Oy o'qi bo'ylab parallel translatsiyalar yo'li bilan istalgan bitta antiderivativning grafigidan olinadi.

Antiderivativlar jadvali.

Antiderivativlarni topish qoidalari .

F(x) va G(x) mos ravishda f(x) va g(x) funksiyalarning anti hosilalari bo‘lsin. Keyin:

1. F ( x) ± G ( x) – uchun antiderivativ f(x) ± g(x);

2. A F ( x) – uchun antiderivativ Af(x);

3. – uchun antiderivativ Af(kx +b).

"Antiderivoid" mavzusidagi topshiriqlar va testlar

• Antiderivativ

  Darslar: 1 Topshiriqlar: 11 Testlar: 1

• Hosil va antiderivativ - Matematika bo'yicha yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik Matematika bo'yicha yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik

  Vazifalar: 3

• Integral - Antiderivativ va integral 11-darajali

  Darslar: 4 Topshiriqlar: 13 Testlar: 1

• Integrallar yordamida maydonlarni hisoblash - Antiderivativ va integral 11-darajali

  Darslar: 1 Topshiriqlar: 10 ta Testlar: 1

Ushbu mavzuni o'rganib chiqib, antiderivativ deb ataladigan narsa, uning asosiy xususiyati, geometrik talqini, antiderivativlarni topish qoidalarini bilishingiz kerak; Jadval va antiderivativlarni topish qoidalari, shuningdek berilgan nuqtadan o'tuvchi antiderivativdan foydalangan holda funktsiyalarning barcha antiderivativlarini topa olish. Keling, misollar yordamida ushbu mavzu bo'yicha muammolarni hal qilishni ko'rib chiqaylik. Qarorlarni formatlashga e'tibor bering.

Misollar.

1. F ( funksiyasi bor yoki yo‘qligini aniqlang. x) = X 3 – 3X Funktsiya uchun + 1 antiderivativ f(x) = 3(X 2 – 1).

Yechim: F"( x) = (X 3 – 3X+ 1)' = 3 X 2 – 3 = 3(X 2 – 1) = f(x), ya'ni. F"( x) = f(x), shuning uchun F(x) f(x) funksiyaning anti hosilasidir.

2. Barcha f(x) ga qarshi hosila funksiyalarini toping:

A) f(x) = X 4 + 3X 2 + 5

Yechim: Jadval va antiderivativlarni topish qoidalaridan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

Javob:

b) f(x) = gunoh (3 x – 2)

Yechim:

Ushbu sahifada siz quyidagilarni topasiz:

1. Aslida, antiderivativlar jadvali - uni PDF formatida yuklab olish va chop etish mumkin;

2. Ushbu jadvaldan qanday foydalanish haqida video;

3. Turli darslik va testlardan antiderivativni hisoblashga oid bir qator misollar.

Videoning o'zida biz funktsiyalarning antiderivativlarini hisoblashingiz kerak bo'lgan ko'plab muammolarni tahlil qilamiz, ko'pincha juda murakkab, lekin eng muhimi, ular kuch funktsiyalari emas. Yuqorida taklif qilingan jadvalda jamlangan barcha funktsiyalar hosilalar kabi yoddan ma'lum bo'lishi kerak. Ularsiz integrallarni keyingi o'rganish va ularni amaliy masalalarni yechishda qo'llash mumkin emas.

Bugun biz primitivlarni o'rganishni davom ettiramiz va biroz murakkabroq mavzuga o'tamiz. Agar oxirgi marta biz faqat kuch funktsiyalarining antiderivativlarini va biroz murakkabroq tuzilmalarni ko'rib chiqsak, bugun biz trigonometriyani va yana ko'p narsalarni ko'rib chiqamiz.

Oxirgi darsda aytganimdek, antiderivativlar, lotinlardan farqli o'laroq, hech qachon standart qoidalar yordamida "darhol" hal etilmaydi. Bundan tashqari, yomon xabar shundaki, lotindan farqli o'laroq, antiderivativ umuman ko'rib chiqilmasligi mumkin. Agar biz butunlay tasodifiy funktsiyani yozsak va uning hosilasini topishga harakat qilsak, unda juda katta ehtimollik bilan biz muvaffaqiyatga erishamiz, ammo bu holda antiderivativ deyarli hech qachon hisoblanmaydi. Ammo yaxshi yangilik bor: elementar funktsiyalar deb ataladigan juda katta funktsiyalar sinfi mavjud bo'lib, ularning antiderivativlarini hisoblash juda oson. Va boshqa barcha turdagi testlar, mustaqil testlar va imtihonlar bo'yicha berilgan murakkabroq tuzilmalar, aslida, qo'shish, ayirish va boshqa oddiy harakatlar orqali ushbu elementar funktsiyalardan iborat. Bunday funksiyalarning prototiplari uzoq vaqtdan beri hisoblab chiqilgan va maxsus jadvallarga tuzilgan. Aynan shu funktsiyalar va jadvallar bilan biz bugun ishlaymiz.

Ammo biz, har doimgidek, takrorlash bilan boshlaymiz: keling, antiderivativ nima ekanligini, nima uchun ularning cheksiz ko'pligini va ularning umumiy ko'rinishini qanday aniqlashni eslaylik. Buning uchun men ikkita oddiy muammoni oldim.

Oson misollarni yechish

№1 misol

$\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ va umuman $\text( )\!\!\pi\ mavjudligini darhol qayd qilaylik. !\!\ text( )$ funksiyaning kerakli antiderivativi trigonometriya bilan bog‘liqligiga darhol ishora qiladi. Va, albatta, agar jadvalga qarasak, $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ $\text(arctg)x$ dan boshqa narsa emasligini topamiz. Shunday qilib, keling, yozamiz:

Topish uchun siz quyidagilarni yozishingiz kerak:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]

Misol № 2

Bu erda biz trigonometrik funktsiyalar haqida ham gapiramiz. Agar biz jadvalga qarasak, haqiqatan ham shunday bo'ladi:

Biz barcha antiderivativlar to'plamidan ko'rsatilgan nuqtadan o'tuvchini topishimiz kerak:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

Nihoyat yozamiz:

Bu juda oddiy. Bitta muammo shundaki, oddiy funktsiyalarning antiderivativlarini hisoblash uchun siz antiderivativlar jadvalini o'rganishingiz kerak. Biroq, siz uchun lotin jadvalini o'rganganingizdan so'ng, bu muammo bo'lmaydi deb o'ylayman.

Eksponensial funktsiyani o'z ichiga olgan masalalarni yechish

Boshlash uchun quyidagi formulalarni yozamiz:

\[((e)^(x))\to ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x))))(\ln a)\]

Keling, bularning barchasi amalda qanday ishlashini ko'rib chiqaylik.

№1 misol

Qavslar mazmunini ko'rib chiqsak, antiderivativlar jadvalida $((e)^(x))$ kvadratda bo'lishi uchun bunday ifoda yo'qligini ko'ramiz, shuning uchun bu kvadratni kengaytirish kerak. Buning uchun biz qisqartirilgan ko'paytirish formulalaridan foydalanamiz:

Keling, har bir atama uchun antiderivativni topamiz:

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \o'ng))^(x))\to \frac(((\left(((e))^ (2)) \o'ng))^(x)))(\ln ((e)^(2))))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \o'ng))^(x))\to \frac(((\left(((e)) )^(-2)) \o'ng))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

Keling, barcha atamalarni bitta iboraga yig'amiz va umumiy antiderivativni olamiz:

Misol № 2

Bu safar daraja kattaroq, shuning uchun qisqartirilgan ko'paytirish formulasi juda murakkab bo'ladi. Shunday qilib, keling, qavslarni ochamiz:

Keling, ushbu konstruktsiyadan formulamizning antiderivativini olishga harakat qilaylik:

Ko'rib turganingizdek, eksponensial funktsiyaning antiderivativlarida murakkab yoki g'ayritabiiy narsa yo'q. Ularning barchasi jadvallar orqali hisoblanadi, ammo diqqatli talabalar $((e)^(2x))$ antiderivativi $((a) ga qaraganda oddiygina $((e)^(x))$ ga yaqinroq ekanligini payqashlari mumkin. )^(x ))$. Demak, $((e)^(x))$ antiderivativini bilib, $((e)^(2x))$ topishga imkon beradigan yana bir maxsus qoida bordir? Ha, bunday qoida mavjud. Bundan tashqari, bu antiderivativlar jadvali bilan ishlashning ajralmas qismidir. Endi biz uni misol tariqasida ishlagan iboralar yordamida tahlil qilamiz.

Antiderivativlar jadvali bilan ishlash qoidalari

Funktsiyamizni yana yozamiz:

Oldingi holatda, biz hal qilish uchun quyidagi formuladan foydalanganmiz:

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x))))(\operatorname(lna))\]

Ammo endi buni biroz boshqacha qilaylik: $((e)^(x))\to ((e)^(x))$ nimaga asoslanib eslaylik. Yuqorida aytganimdek, $((e)^(x))$ hosilasi $((e)^(x))$ dan boshqa narsa emas, shuning uchun uning antiderivativi bir xil $((e) ^ ga teng bo'ladi. (x))$. Ammo muammo shundaki, bizda $((e)^(2x))$ va $((e)^(-2x))$ bor. Endi $((e)^(2x))$ ning hosilasini topishga harakat qilaylik:

\[((\left(((e)^(2x)) \o'ng))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \o'ng))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

Keling, konstruktsiyamizni qayta yozamiz:

\[((\left(((e)^(2x)) \o'ng))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \o'ng))^(\prime ))\]

Bu shuni anglatadiki, biz $((e)^(2x))$ antiderivativini topsak, biz quyidagilarni olamiz:

\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]

Ko'rib turganingizdek, biz avvalgidek natijaga erishdik, lekin $((a)^(x))$ topish uchun formuladan foydalanmadik. Endi bu ahmoqona tuyulishi mumkin: nega standart formula mavjud bo'lsa, hisob-kitoblarni murakkablashtirish kerak? Biroq, biroz murakkab iboralarda siz ushbu texnikaning juda samarali ekanligini topasiz, ya'ni. antiderivativlarni topish uchun hosilalardan foydalanish.

Qizdirish uchun shunga o'xshash tarzda $((e)^(2x))$ ning antiderivativini topamiz:

\[((\left(((e)^(-2x)) \o'ng))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \o'ng)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \o'ng))^(\prime ))\]

Hisoblashda bizning qurilishimiz quyidagicha yoziladi:

\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

Biz aynan bir xil natijaga erishdik, ammo boshqa yo'ldan bordik. Aynan mana shu yo'l, hozir biz uchun biroz murakkabroq ko'rinadi, kelajakda yanada murakkab antiderivativlarni hisoblash va jadvallardan foydalanish uchun samaraliroq bo'ladi.

Eslatma! Bu juda muhim nuqta: lotinlar kabi antiderivativlarni turli yo'llar bilan hisoblash mumkin. Biroq, agar barcha hisob-kitoblar va hisob-kitoblar teng bo'lsa, unda javob bir xil bo'ladi. Biz buni hozirgina $((e)^(-2x))$ misolida ko'rdik - bir tomondan, biz ushbu antiderivativni "to'g'ridan-to'g'ri" hisoblab chiqdik, ta'rifdan foydalanib, uni transformatsiyalar yordamida hisobladik, boshqa tomondan, biz $ ((e)^(-2x))$ $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ sifatida ifodalanishi mumkinligini esladik va shundan keyingina foydalandik. $( (a)^(x))$ funksiyasi uchun antiderivativ. Biroq, barcha o'zgarishlardan so'ng, natija kutilganidek bir xil bo'ldi.

Va endi bularning barchasini tushunganimizdan so'ng, muhimroq narsaga o'tish vaqti keldi. Endi biz ikkita oddiy konstruktsiyani tahlil qilamiz, ammo ularni hal qilishda qo'llaniladigan texnika jadvaldagi qo'shni antiderivativlar o'rtasida oddiygina "yugurish" dan ko'ra kuchliroq va foydali vositadir.

Masala yechish: funksiyaning antihosilini topish

№1 misol

Numeratorlardagi miqdorni uchta alohida kasrga ajratamiz:

Bu juda tabiiy va tushunarli o'tish - ko'pchilik talabalar bu bilan bog'liq muammolarga duch kelmaydilar. Keling, ifodamizni quyidagicha qayta yozamiz:

Endi ushbu formulani eslaylik:

Bizning holatlarimizda biz quyidagilarni olamiz:

Ushbu uch qavatli fraktsiyalardan xalos bo'lish uchun men quyidagilarni qilishni taklif qilaman:

Misol № 2

Oldingi kasrdan farqli o'laroq, maxraj ko'paytma emas, balki yig'indidir. Bunday holda, biz endi kasrimizni bir nechta oddiy kasrlar yig'indisiga ajrata olmaymiz, lekin biz qandaydir tarzda hisoblagichda maxraj bilan bir xil ifoda mavjudligiga ishonch hosil qilishimiz kerak. Bunday holda, buni qilish juda oddiy:

Matematik tilda "nol qo'shish" deb ataladigan ushbu belgi kasrni yana ikki qismga bo'lishimizga imkon beradi:

Endi biz qidirayotgan narsani topamiz:

Hamma hisob-kitoblar shu. Oldingi muammoga qaraganda ancha murakkab bo'lishiga qaramay, hisob-kitoblar miqdori yanada kichikroq bo'lib chiqdi.

Yechimning nuanslari

Jadvalli antiderivativlar bilan ishlashning asosiy qiyinligi aynan shu erda yotadi, bu ayniqsa ikkinchi vazifada seziladi. Haqiqat shundaki, jadval orqali osongina hisoblab chiqiladigan ba'zi elementlarni tanlash uchun biz aniq nimani qidirayotganimizni bilishimiz kerak va antiderivativlarning butun hisobi aynan shu elementlarni izlashdan iborat.

Boshqacha qilib aytganda, antiderivativlar jadvalini yodlashning o'zi kifoya emas - siz hali mavjud bo'lmagan narsani ko'rishingiz kerak, lekin bu muammoning muallifi va tuzuvchisi nimani nazarda tutganini ko'rishingiz kerak. Shuning uchun ko'plab matematiklar, o'qituvchilar va professorlar doimiy ravishda: "Antiderivativlarni yoki integratsiyani qabul qilish nima - bu shunchaki vositami yoki haqiqiy san'atmi?" Aslida, mening shaxsiy fikrimcha, integratsiya umuman san'at emas - unda hech qanday yuksak narsa yo'q, bu shunchaki amaliyot va ko'proq amaliyot. Va mashq qilish uchun keling, yana uchta jiddiy misolni hal qilaylik.

Biz amaliyotda integratsiyaga o'rgatamiz

Vazifa № 1

Quyidagi formulalarni yozamiz:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\to \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\text(arctg)x\]

Keling, quyidagilarni yozamiz:

Muammo № 2

Keling, uni quyidagicha qayta yozamiz:

Jami antiderivativ quyidagilarga teng bo'ladi:

Muammo № 3

Bu vazifaning qiyinligi shundaki, yuqoridagi oldingi funksiyalardan farqli o'laroq, $x$ o'zgaruvchisi umuman yo'q, ya'ni. hech bo'lmaganda quyida keltirilgan narsaga o'xshash narsalarni olish uchun nimani qo'shish yoki ayirish kerakligi bizga aniq emas. Biroq, aslida, bu ibora avvalgi iboralarning har qandayidan ham soddaroq hisoblanadi, chunki bu funktsiyani quyidagicha qayta yozish mumkin:

Endi siz so'rashingiz mumkin: nima uchun bu funktsiyalar teng? Keling, tekshiramiz:

Keling, yana bir bor yozamiz:

Keling, ifodamizni biroz o'zgartiraylik:

Va bularning barchasini o'quvchilarimga tushuntirganimda, deyarli har doim bir xil muammo tug'iladi: birinchi funktsiyada hamma narsa ko'proq yoki kamroq aniq, ikkinchisida siz buni omad yoki amaliyot bilan ham tushunishingiz mumkin, ammo siz qanday muqobil ongga egasiz uchinchi misolni hal qilish uchun kerakmi? Aslida, qo'rqmang. Oxirgi antiderivativni hisoblashda biz qo'llagan usul "funksiyani eng oddiyga parchalash" deb nomlanadi va bu juda jiddiy usul bo'lib, unga alohida video dars bag'ishlanadi.

Shu bilan birga, men o'rgangan narsamizga, ya'ni eksponensial funktsiyalarga qaytishni va ularning mazmuni bilan bog'liq muammolarni biroz murakkablashtirishni taklif qilaman.

Antiderivativ eksponensial funksiyalarni yechish uchun murakkabroq masalalar

Vazifa № 1

Quyidagilarga e'tibor qaratamiz:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \o'ng))^(x))=((10)^(x) )\]

Ushbu ifodaning antiderivativini topish uchun oddiygina standart formuladan foydalaning - $((a)^(x))\frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

Bizning holatda, antiderivativ quyidagicha bo'ladi:

Albatta, biz hal qilgan dizayn bilan solishtirganda, bu oddiyroq ko'rinadi.

Muammo № 2

Shunga qaramay, bu funktsiyani osongina ikkita alohida atamaga - ikkita alohida kasrga bo'lish mumkinligini ko'rish oson. Keling, qayta yozamiz:

Yuqorida tavsiflangan formuladan foydalanib, ushbu atamalarning har birining antiderivativini topish qoladi:

Eksponensial funksiyalarning quvvat funksiyalariga nisbatan ancha murakkabligiga qaramasdan, hisob-kitoblar va hisob-kitoblarning umumiy hajmi ancha sodda bo‘lib chiqdi.

Albatta, bilimdon talabalar uchun biz hozir muhokama qilgan narsalarimiz (ayniqsa, avvalroq muhokama qilganimiz fonida) elementar iboralardek tuyulishi mumkin. Biroq, bugungi videodars uchun ushbu ikkita muammoni tanlashda men sizga boshqa murakkab va murakkab texnikani aytib berishni o'z oldimga maqsad qilib qo'ymadim - men sizga ko'rsatmoqchi bo'lganim shuki, siz asl funktsiyalarni o'zgartirish uchun standart algebra usullaridan foydalanishdan qo'rqmasligingiz kerak. .

"Yashirin" texnikadan foydalanish

Xulosa qilib aytganda, men yana bir qiziqarli texnikani ko'rib chiqmoqchiman, bu, bir tomondan, bugungi kunda biz asosan muhokama qilgan narsadan tashqariga chiqadi, lekin boshqa tomondan, bu, birinchi navbatda, umuman murakkab emas, ya'ni. Hatto boshlang'ich talabalar ham buni o'zlashtira oladilar, ikkinchidan, u ko'pincha barcha turdagi testlarda va mustaqil ishlarda uchraydi, ya'ni. uni bilish antiderivativlar jadvalini bilishdan tashqari juda foydali bo'ladi.

Vazifa № 1

Shubhasiz, bizda quvvat funktsiyasiga juda o'xshash narsa bor. Bu holatda nima qilishimiz kerak? Keling, o'ylab ko'raylik: $x-5$ $x$ dan unchalik farq qilmaydi - ular shunchaki $-5$ qo'shdilar. Keling, buni shunday yozamiz:

\[((x)^(4))\frac(((x)^(5)(5)\)

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \o'ng))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

Keling, $((\left(x-5 \right))^(5))$ ning hosilasini topishga harakat qilaylik:

\[((\left(((\left(x-5 \o'ng))^(5)) \o'ng))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \o'ng)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \o'ng))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \o'ng))^(4))\]

Bu quyidagilarni nazarda tutadi:

\[((\left(x-5 \o'ng))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \o'ng))^(5)(5) \ o'ng))^(\prime ))\]

Jadvalda bunday qiymat yo'q, shuning uchun biz endi bu formulani o'zimiz quvvat funktsiyasi uchun standart antiderivativ formuladan foydalanib chiqardik. Javobni shunday yozamiz:

Muammo № 2

Birinchi yechimga qaragan ko'plab talabalar hamma narsani juda oddiy deb o'ylashlari mumkin: quvvat funksiyasidagi $x$ ni chiziqli ifoda bilan almashtiring va hammasi joyiga tushadi. Afsuski, hamma narsa juda oddiy emas va endi buni ko'ramiz.

Birinchi ifodaga o'xshatib, biz quyidagilarni yozamiz:

\[((x)^(9))\to \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\left(((\chap(4-3x \o'ng))^(10)) \o'ng))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \o'ng)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \o'ng))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\chap(4-3x \o'ng))^(9))\cdot \left(-3 \o'ng)=-30\cdot ((\chap(4-3x \o'ng)) ^(9))\]

Bizning lotinimizga qaytib, biz yozishimiz mumkin:

\[((\left(((\chap(4-3x \o'ng))^(10)) \o'ng))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \o'ng)) )^(9))\]

\[((\left(4-3x \o'ng))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \o'ng)))^(10)(-30) \o'ng))^(\prime ))\]

Bu darhol quyidagicha:

Yechimning nuanslari

E'tibor bering: agar oxirgi marta hech narsa o'zgarmagan bo'lsa, ikkinchi holatda $-10$ o'rniga $-30$ paydo bo'ldi. $ -10 $ va $ -30 $ o'rtasidagi farq nima? Shubhasiz, $ -3 $ koeffitsienti bilan. Savol: qayerdan kelgan? Agar diqqat bilan qarasangiz, u murakkab funktsiyaning hosilasini hisoblash natijasida olinganligini ko'rishingiz mumkin - $x$ da turgan koeffitsient quyidagi antiderivativda paydo bo'ladi. Bu juda muhim qoida bo'lib, men dastlab bugungi video darsda umuman muhokama qilishni rejalashtirmagan edim, ammo busiz jadvalli antiderivativlarning taqdimoti to'liq bo'lmaydi.

Shunday qilib, keling, buni yana qilaylik. Bizning asosiy quvvat funksiyamiz bo'lsin:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Endi $x$ o'rniga $kx+b$ ifodasini almashtiramiz. Keyin nima bo'ladi? Biz quyidagilarni topishimiz kerak:

\[((\left(kx+b \o'ng))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \o'ng))^(n+1)))(\left(n+1) \right)\cdot k)\]

Buni nimaga asoslanib da'vo qilamiz? Juda oddiy. Yuqorida yozilgan konstruksiyaning hosilasini topamiz:

\[(((\left(\frac((\left(kx+b \o'ng)))^(n+1)))(\left(n+1 \o'ng)\cdot k) \o'ng))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \o'ng)\cdot k)\cdot \left(n+1 \o'ng)\cdot ((\left(kx+b \o'ng))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \o'ng))^(n))\]

Bu dastlab mavjud bo'lgan bir xil ifodadir. Shunday qilib, bu formula ham to'g'ri va u antiderivativlar jadvalini to'ldirish uchun ishlatilishi mumkin yoki butun jadvalni oddiygina eslab qolish yaxshiroqdir.

"Sir: texnika" dan xulosalar:

• Biz ko'rib chiqqan ikkala funktsiyani, aslida, darajalarni kengaytirish orqali jadvalda ko'rsatilgan antiderivativlarga qisqartirish mumkin, ammo agar biz to'rtinchi darajani ko'proq yoki kamroq tarzda enga olsak, men to'qqizinchi darajani bajarmagan bo'lardim. hamma oshkor qilishga jur'at etdi.
• Agar biz darajalarni kengaytiradigan bo'lsak, biz shunday hajmdagi hisob-kitoblarga ega bo'lamizki, oddiy ish bizni noto'g'ri ko'p vaqtni oladi.
• Shuning uchun chiziqli iboralarni o'z ichiga olgan bunday masalalarni "bosh bilan" hal qilish kerak emas. Jadvaldagidan faqat ichida $kx+b$ iborasi mavjudligi bilan farq qiladigan antiderivativga duch kelganingizdan so'ng, darhol yuqorida yozilgan formulani eslang, uni antiderivativ jadvalingizga almashtiring, shunda hammasi yaxshi bo'ladi. tezroq va osonroq.

Tabiiyki, ushbu texnikaning murakkabligi va jiddiyligi tufayli biz kelajakdagi video darslarida ko'p marta ko'rib chiqamiz, ammo bu bugungi kun uchun. Umid qilamanki, bu dars antiderivativlar va integratsiyani tushunishni istagan talabalarga haqiqatan ham yordam beradi.

Mavzu bo'yicha dars va taqdimot: "Antiderivativ funktsiya. Funktsiya grafigi"

Qo'shimcha materiallar
Hurmatli foydalanuvchilar, o'z mulohazalaringizni, sharhlaringizni, tilaklaringizni qoldirishni unutmang! Barcha materiallar virusga qarshi dastur tomonidan tekshirilgan.

Integral onlayn do'konida 11-sinf uchun o'quv qo'llanmalari va simulyatorlar
Parametrlar bilan algebraik masalalar, 9-11 sinflar
"10 va 11-sinflar uchun kosmosda qurilish bo'yicha interfaol vazifalar"

Antiderivativ funktsiya. Kirish

Bolalar, siz turli formulalar va qoidalar yordamida funksiyalarning hosilalarini qanday topishni bilasiz. Bugun biz hosilani hisoblashning teskari operatsiyasini o'rganamiz. Hosil tushunchasi real hayotda tez-tez ishlatiladi. Sizga eslatib o'taman: hosila - bu funktsiyaning ma'lum bir nuqtadagi o'zgarish tezligi. Harakat va tezlikni o'z ichiga olgan jarayonlar bu atamalarda yaxshi tasvirlangan.

Bu masalani ko'rib chiqamiz: “To'g'ri chiziq bo'ylab harakatlanuvchi jismning tezligi $V=gt$ formula bilan tavsiflanadi.Harakat qonunini tiklash talab qilinadi.
Yechim.
Biz formulani yaxshi bilamiz: $S"=v(t)$, bu erda S - harakat qonuni.
Bizning vazifamiz hosilasi $gt$ ga teng bo'lgan $S=S(t)$ funksiyani topishdan iborat. Diqqat bilan qarasangiz, $S(t)=\frac(g*t^2)(2)$ ekanligini taxmin qilishingiz mumkin.
Bu masala yechimining to‘g‘riligini tekshirib ko‘ramiz: $S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"=\frac(g)(2)*2t=g*t$.
Funktsiyaning hosilasini bilib, funksiyaning o'zini topdik, ya'ni teskari amalni bajardik.
Ammo bu daqiqaga e'tibor berishga arziydi. Bizning muammomizning yechimi aniqlashtirishni talab qiladi, agar topilgan funktsiyaga biron bir raqam (doimiy) qo'shsak, hosilaning qiymati o'zgarmaydi: $S(t)=\frac(g*t^2)(2)+ c,c=const$.
$S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"+c"=g*t+0=g*t$.

Bolalar, diqqat qiling: bizning muammomiz cheksiz ko'p echimlarga ega!
Agar muammo boshlang'ich yoki boshqa shartni ko'rsatmasa, yechimga doimiy qo'shishni unutmang. Masalan, bizning vazifamiz harakatning eng boshida tanamizning holatini ko'rsatishi mumkin. Keyin doimiyni hisoblash qiyin emas, hosil bo'lgan tenglamaga nolni qo'yish orqali biz doimiyning qiymatini olamiz.

Bu operatsiya nima deb ataladi?
Differensiallashning teskari amali integratsiya deyiladi.
Berilgan hosiladan funktsiyani topish - integratsiya.
Funktsiyaning o'zi antiderivativ deb ataladi, ya'ni funktsiyaning hosilasi olingan tasvir.
Antiderivativni $y=F"(x)=f(x)$ bosh harfi bilan yozish odatiy holdir.

Ta'rif. $y=F(x)$ funksiyasi $u=f(x)$ funksiyaning X oraliqdagi anti hosilasi deyiladi, agar har qanday $xsX$ uchun $F'(x)=f(x)$ tenglik bajarilsa. .

Turli funktsiyalar uchun antiderivativlar jadvalini tuzamiz. U eslatma sifatida chop etilishi va yodlanishi kerak.

Bizning jadvalimizda dastlabki shartlar ko'rsatilmagan. Bu shuni anglatadiki, jadvalning o'ng tomonidagi har bir ifodaga doimiy qo'shilishi kerak. Bu qoidaga keyinroq oydinlik kiritamiz.

Antiderivativlarni topish qoidalari

Keling, antiderivativlarni topishga yordam beradigan bir nechta qoidalarni yozaylik. Ularning barchasi farqlash qoidalariga o'xshash.

1-qoida. Yig'indining antiderivativi antiderivativlar yig'indisiga teng. $F(x+y)=F(x)+F(y)$.

Misol.
$y=4x^3+cos(x)$ funksiyasi uchun anti hosilani toping.
Yechim.
Yig'indining antiderivativi antiderivativlar yig'indisiga teng bo'lsa, biz taqdim etilgan funktsiyalarning har biri uchun antiderivativni topishimiz kerak.
$f(x)=4x^3$ => $F(x)=x^4$.
$f(x)=cos(x)$ => $F(x)=sin(x)$.
U holda asl funktsiyaning anti hosilasi quyidagicha bo'ladi: $y=x^4+sin(x)$ yoki $y=x^4+sin(x)+C$ ko'rinishdagi istalgan funksiya.

2-qoida. Agar $F(x)$ $f(x)$ uchun antiderivativ boʻlsa, $k*F(x)$ $k*f(x)$ funksiyasi uchun antiderivativ hisoblanadi.(Koeffitsientni funksiya sifatida osongina olishimiz mumkin).

Misol.
Funksiyalarning antiderivativlarini toping:
a) $y=8sin(x)$.
b) $y=-\frac(2)(3)cos(x)$.
c) $y=(3x)^2+4x+5$.
Yechim.
a) $sin(x)$ ning antiderivativi minus $cos(x)$. Keyin asl funktsiyaning anti hosilasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: $y=-8cos(x)$.

B) $cos(x)$ ning antiderivativi $sin(x)$. Shunda asl funktsiyaning anti hosilasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: $y=-\frac(2)(3)sin(x)$.

C) $x^2$ ning antiderivativi $\frac(x^3)(3)$. X ning antiderivativi $\frac(x^2)(2)$. 1 ning anti hosilasi x. Keyin asl funktsiyaning anti hosilasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: $y=3*\frac(x^3)(3)+4*\frac(x^2)(2)+5*x=x^3+2x ^2+5x$.

3-qoida. Agar $u=F(x)$ $y=f(x)$ funksiyasi uchun anti hosila bo‘lsa, $y=f(kx+m)$ funksiyasi uchun anti hosila $y=\frac(1) funksiya bo‘ladi. )(k)* F(kx+m)$.

Misol.
Quyidagi funksiyalarning antiderivativlarini toping:
a) $y=cos(7x)$.
b) $y=sin(\frac(x)(2))$.
c) $y=(-2x+3)^3$.
d) $y=e^(\frac(2x+1)(5))$.
Yechim.
a) $cos(x)$ ning antiderivativi $sin(x)$. U holda $y=cos(7x)$ funksiyasi uchun anti hosila $y=\frac(1)(7)*sin(7x)=\frac(sin(7x))(7)$ funksiya bo‘ladi.

B) $sin(x)$ ning antiderivativi minus $cos(x)$. U holda $y=sin(\frac(x)(2))$ funksiyasi uchun antiderivativ $y=-\frac(1)(\frac(1)(2))cos(\frac(x) funksiyasi bo‘ladi. )(2) )=-2cos(\frac(x)(2))$.

C) $x^3$ ning antiderivativi $\frac(x^4)(4)$, keyin asl funktsiyaning antihosilasi $y=-\frac(1)(2)*\frac((-) 2x+3) )^4)(4)=-\frac(((-2x+3))^4)(8)$.

D) $\frac(2x+1)(5)=\frac(2)(5)x+\frac(1)(5)$ kuchiga ifodani biroz soddalashtiring.
Ko'rsatkichli funktsiyaning anti hosilasi ko'rsatkichli funktsiyaning o'zi. Asl funktsiyaning antiderivativi $y=\frac(1)(\frac(2)(5))e^(\frac(2)(5)x+\frac(1)(5))=\frac bo'ladi. (5)( 2)*e^(\frac(2x+1)(5))$.

Teorema. Agar X oraliqda $y=f(x)$ funksiyasi uchun $y=F(x)$ anti hosilasi bo‘lsa, $y=f(x)$ funksiyaning cheksiz ko‘p anti hosilasi bor va ularning barchasi $y=F( x)+S$ shaklida.

Agar yuqorida ko'rib chiqilgan barcha misollarda barcha antiderivativlar to'plamini topish kerak bo'lsa, u holda C doimiysi hamma joyda qo'shilishi kerak.
$y=cos(7x)$ funktsiyasi uchun barcha antiderivativlar quyidagi ko'rinishga ega: $y=\frac(sin(7x))(7)+C$.
$y=(-2x+3)^3$ funktsiyasi uchun barcha antiderivativlar quyidagi ko'rinishga ega: $y=-\frac(((-2x+3))^4)(8)+C$.

Misol.
Jismning tezligining vaqt boʻyicha oʻzgarish qonuni $v=-3sin(4t)$ berilgan boʻlsa, agar tananing boshlangʻich momentida ga teng koordinata boʻlsa, $S=S(t)$ harakat qonunini toping. 1.75.
Yechim.
$v=S’(t)$ ekan, berilgan tezlik uchun antiderivativni topishimiz kerak.
$S=-3*\frac(1)(4)(-cos(4t))+C=\frac(3)(4)cos(4t)+C$.
Bu masalada qo'shimcha shart - vaqtning boshlang'ich momenti berilgan. Bu $t=0$ degan ma'noni anglatadi.
$S(0)=\frac(3)(4)cos(4*0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)cos(0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)*1+C=\frac(7)(4)$.
$C=1$.
Keyin harakat qonuni formula bilan tavsiflanadi: $S=\frac(3)(4)cos(4t)+1$.

Mustaqil ravishda hal qilinadigan muammolar

1. Funksiyalarning anti hosilalarini toping:
a) $y=-10sin(x)$.
b) $y=\frac(5)(6)cos(x)$.
c) $y=(4x)^5+(3x)^2+5x$.
2. Quyidagi funksiyalarning antiderivativlarini toping:
a) $y=cos(\frac(3)(4)x)$.
b) $y=sin(8x)$.
c) $y=((7x+4))^4$.
d) $y=e^(\frac(3x+1)(6))$.
3. Berilgan jism tezligining $v=4cos(6t)$ vaqt boʻyicha oʻzgarishi qonuniga koʻra, agar tanada dastlabki vaqt momentida $S=S(t)$ harakat qonunini toping. koordinatasi 2 ga teng.