Diagonala mare a unei formule paralelipiped. Volumul unui paralelipiped: formule de bază și exemple de probleme

Se află sursa originală. Alpha reprezintă numărul real. Semnul egal din expresiile de mai sus indică faptul că dacă adăugați un număr sau un infinit la infinit, nimic nu se va schimba, rezultatul va fi același infinit. Dacă luăm ca exemplu mulţimea infinită numere naturale, atunci exemplele luate în considerare pot fi prezentate după cum urmează:

Pentru a demonstra clar că au dreptate, matematicienii au venit cu multe metode diferite. Personal, privesc toate aceste metode ca pe șamani care dansează cu tamburine. În esență, toate se rezumă la faptul că fie unele dintre camere sunt neocupate și se mută noi oaspeți, fie că unii dintre vizitatori sunt aruncați pe coridor pentru a face loc oaspeților (foarte uman). Mi-am prezentat punctul de vedere asupra unor astfel de decizii sub forma unei povești fantastice despre Blonda. Pe ce se bazează raționamentul meu? Relocarea unui număr infinit de vizitatori necesită o perioadă infinită de timp. După ce am eliberat prima cameră pentru un oaspete, unul dintre vizitatori va merge mereu de-a lungul coridorului din camera lui în următoarea până la sfârșitul timpului. Desigur, factorul timp poate fi ignorat în mod stupid, dar acesta va fi în categoria „nicio lege nu este scrisă pentru proști”. Totul depinde de ceea ce facem: adaptăm realitatea la teoriile matematice sau invers.

Ce este un „hotel fără sfârșit”? Un hotel infinit este un hotel care are întotdeauna orice număr de paturi goale, indiferent de câte camere sunt ocupate. Dacă sunt ocupate toate camerele din nesfârșitul coridor „vizitator”, există un alt coridor nesfârșit cu camere „de oaspeți”. Vor exista un număr infinit de astfel de coridoare. Mai mult, „hotelul infinit” are un număr infinit de etaje într-un număr infinit de clădiri pe un număr infinit de planete într-un număr infinit de universuri create de un număr infinit de Zei. Matematicienii nu sunt capabili să se distanțeze de banal probleme de zi cu zi: Dumnezeu-Allah-Buddha este întotdeauna unul singur, există un singur hotel, există un singur coridor. Așadar, matematicienii încearcă să jongleze cu numerele de serie ale camerelor de hotel, convingându-ne că este posibil să „împingem imposibilul”.

Vă voi demonstra logica raționamentului meu folosind exemplul unui set infinit de numere naturale. Mai întâi trebuie să răspunzi la o întrebare foarte simplă: câte seturi de numere naturale există - unul sau mai multe? Nu există un răspuns corect la această întrebare, deoarece numerele le-am inventat noi înșine, numerele nu există în Natură. Da, Natura se pricepe la numărătoare, dar pentru asta folosește alte instrumente matematice care nu ne sunt familiare. Îți voi spune ce crede Natura altădată. Din moment ce am inventat numerele, noi înșine vom decide câte seturi de numere naturale există. Să luăm în considerare ambele opțiuni, așa cum se cuvine oamenilor de știință adevărați.

Opțiunea unu. „Să ni se dea” un singur set de numere naturale, care se află senin pe raft. Luăm acest set de pe raft. Gata, nu au mai rămas alte numere naturale pe raft și de unde să le duci. Nu putem adăuga unul la acest set, deoarece îl avem deja. Dacă vrei cu adevărat? Nici o problemă. Putem lua unul din setul pe care l-am luat deja și îl putem întoarce la raft. După aceea, putem lua unul de pe raft și îl putem adăuga la ce ne-a mai rămas. Ca rezultat, vom obține din nou un set infinit de numere naturale. Puteți nota toate manipulările noastre astfel:

Am notat acțiunile în notație algebrică și în notație în teoria mulțimilor, cu o listă detaliată a elementelor mulțimii. Indicele indică faptul că avem unul și singurul set de numere naturale. Se dovedește că mulțimea numerelor naturale va rămâne neschimbată numai dacă din el se scade unul și se adaugă aceeași unitate.

Varianta a doua. Avem multe seturi infinite diferite de numere naturale pe raftul nostru. Subliniez - DIFERITE, în ciuda faptului că practic nu se pot distinge. Să luăm unul dintre aceste seturi. Apoi luăm unul dintr-un alt set de numere naturale și îl adăugăm la setul pe care l-am luat deja. Putem adăuga chiar două seturi de numere naturale. Iată ce obținem:

Indicele „unu” și „doi” indică faptul că aceste elemente aparțineau unor seturi diferite. Da, dacă adăugați unul la un set infinit, rezultatul va fi și un set infinit, dar nu va fi același cu setul original. Dacă adăugați un alt set infinit unui set infinit, rezultatul este un nou set infinit format din elementele primelor două seturi.

Mulțimea numerelor naturale este folosită pentru numărare la fel ca o riglă pentru măsurare. Acum imaginați-vă că ați adăugat un centimetru la riglă. Aceasta va fi o linie diferită, nu egală cu cea originală.

Poți să accepți sau să nu accepți raționamentul meu - este treaba ta. Dar dacă întâmpinați vreodată probleme de matematică, gândiți-vă dacă urmați calea raționamentului fals călcat de generații de matematicieni. La urma urmei, studiul matematicii, în primul rând, formează în noi un stereotip stabil de gândire și abia apoi se adaugă la abilitățile noastre mentale (sau, dimpotrivă, ne privează de gândirea liberă).

pozg.ru

Duminică, 4 august 2019

Termineam un postscript la un articol despre și am văzut acest text minunat pe Wikipedia:

Citim: „... bogat baza teoretica Matematica Babilonului nu avea un caracter holistic și era redusă la un set de tehnici disparate, lipsite de un sistem comun și de o bază de dovezi”.

Wow! Cât de deștepți suntem și cât de bine putem vedea neajunsurile celorlalți. Ne este greu să privim matematica modernă în același context? Parafrazând ușor textul de mai sus, personal am primit următoarele:

Baza teoretică bogată a matematicii moderne nu este de natură holistică și se reduce la un set de secțiuni disparate, lipsite de un sistem comun și de o bază de dovezi.

Nu voi merge departe pentru a-mi confirma cuvintele - are o limbă și simboluri, diferit de limbajul și convențiile multor alte ramuri ale matematicii. Aceleași nume în diferite ramuri ale matematicii pot avea semnificații diferite. Vreau să dedic o serie întreagă de publicații celor mai evidente greșeli ale matematicii moderne. Pe curând.

Sâmbătă, 3 august 2019

Cum se împarte un set în subseturi? Pentru a face acest lucru, trebuie să introduceți o nouă unitate de măsură care este prezentă în unele dintre elementele setului selectat. Să ne uităm la un exemplu.

Să avem destule O format din patru persoane. Acest set este format pe baza „oamenilor”. Să notăm elementele acestui set prin literă O, indicele cu un număr va indica numărul de serie al fiecărei persoane din acest set. Să introducem o nouă unitate de măsură „gen” și să o notăm cu literă b. Deoarece caracteristicile sexuale sunt inerente tuturor oamenilor, înmulțim fiecare element al setului O bazate pe gen b. Observați că setul nostru de „oameni” a devenit acum un set de „oameni cu caracteristici de gen”. După aceasta putem împărți caracteristicile sexuale în masculin bmși de femei bw caracteristici sexuale. Acum putem aplica un filtru matematic: selectăm una dintre aceste caracteristici sexuale, indiferent care - bărbat sau femeie. Dacă o persoană o are, atunci o înmulțim cu unu, dacă nu există un astfel de semn, o înmulțim cu zero. Și apoi folosim matematica obișnuită de la școală. Uite ce sa întâmplat.

După înmulțire, reducere și rearanjare, am ajuns să avem două submulțimi: submulțimea bărbaților Bmși un subgrup de femei Bw. Matematicienii raționează aproximativ în același mod atunci când aplică teoria mulțimilor în practică. Dar ei nu ne spun detaliile, ci ne oferă rezultatul final - „mulți oameni constau dintr-un subset de bărbați și un subset de femei”. Desigur, este posibil să aveți o întrebare: cât de corect a fost aplicată matematica în transformările prezentate mai sus? Îndrăznesc să vă asigur că, în esență, transformările au fost făcute corect este suficient să cunoașteți baza matematică a aritmeticii, algebrei booleene și a altor ramuri ale matematicii. Ce este? Altă dată vă voi povesti despre asta.

În ceea ce privește superseturile, puteți combina două seturi într-un singur superset selectând unitatea de măsură prezentă în elementele acestor două seturi.

După cum puteți vedea, unitățile de măsură și matematica obișnuită fac din teoria seturilor o relicvă a trecutului. Un semn că totul nu este în regulă cu teoria mulțimilor este că matematicienii au venit cu propriul lor limbaj și notație pentru teoria mulțimilor. Matematicienii au acționat ca odinioară șamanii. Doar șamanii știu cum să-și aplice „în mod corect” „cunoștințele”. Ei ne învață această „cunoaștere”.

În concluzie, vreau să vă arăt cum manipulează matematicienii.

luni, 7 ianuarie 2019

În secolul al V-lea î.Hr., vechiul filosof grec Zenon din Elea și-a formulat faimoasele aporii, dintre care cea mai faimoasă este aporia „Achile și țestoasa”. Iată cum sună:

Să presupunem că Ahile aleargă de zece ori mai repede decât țestoasa și este la o mie de pași în spatele ei. În timpul necesar lui Ahile pentru a parcurge această distanță, țestoasa se va târa o sută de pași în aceeași direcție. Când Ahile aleargă o sută de pași, țestoasa se târăște încă zece pași și așa mai departe. Procesul va continua la infinit, Ahile nu va ajunge niciodată din urmă cu țestoasa.

Acest raționament a devenit un șoc logic pentru toate generațiile următoare. Aristotel, Diogene, Kant, Hegel, Hilbert... Cu toții au considerat într-un fel sau altul aporia lui Zenon. Șocul a fost atât de puternic încât " ... discuțiile continuă până în prezent comunitatea științifică nu a reușit încă să ajungă la o opinie comună asupra esenței paradoxurilor ... analiza matematică, teoria seturilor, noi abordări fizice și filozofice au fost implicate în studiul problemei; ; niciunul dintre ele nu a devenit o soluție general acceptată la problemă...„[Wikipedia, „Aporia lui Zeno”. Toată lumea înțelege că sunt păcăliți, dar nimeni nu înțelege în ce constă înșelăciunea.

Din punct de vedere matematic, Zenon în aporia sa a demonstrat clar trecerea de la cantitate la . Această tranziție presupune aplicare în loc de cele permanente. Din câte am înțeles, aparate matematice Utilizarea unităților de măsură variabile fie nu a fost încă dezvoltată, fie nu a fost aplicată aporiei lui Zeno. Aplicarea logicii noastre obișnuite ne duce într-o capcană. Noi, datorită inerției gândirii, aplicăm unități constante de timp valorii reciproce. Din punct de vedere fizic, se pare că timpul încetinește până când se oprește complet în momentul în care Ahile ajunge din urmă cu țestoasa. Dacă timpul se oprește, Ahile nu mai poate depăși țestoasa.

Dacă ne întoarcem logica obișnuită, totul cade la locul său. Ahile aleargă cu o viteză constantă. Fiecare segment ulterior al drumului său este de zece ori mai scurt decât cel anterior. În consecință, timpul petrecut pentru depășirea acestuia este de zece ori mai mic decât cel anterior. Dacă aplicăm conceptul de „infinit” în această situație, atunci ar fi corect să spunem „Achile va ajunge din urmă broasca testoasă infinit de repede”.

Cum să eviți această capcană logică? Rămâneți în unități constante de timp și nu treceți la unități reciproce. În limbajul lui Zeno arată astfel:

În timpul necesar lui Ahile pentru a alerga o mie de pași, țestoasa se va târa o sută de pași în aceeași direcție. În următorul interval de timp egal cu primul, Ahile va alerga încă o mie de pași, iar țestoasa se va târa o sută de pași. Acum Ahile este cu opt sute de pași înaintea țestoasei.

Această abordare descrie în mod adecvat realitatea fără niciun paradox logic. Dar aceasta nu este o soluție completă a problemei. Afirmația lui Einstein despre irezistibilitatea vitezei luminii este foarte asemănătoare cu aporia lui Zeno „Achile și broasca țestoasă”. Mai trebuie să studiem, să regândim și să rezolvăm această problemă. Iar soluția nu trebuie căutată la nesfârșit numere mari, dar în unități de măsură.

O altă aporie interesantă a lui Zeno spune despre o săgeată zburătoare:

O săgeată zburătoare este nemișcată, deoarece în fiecare moment de timp este în repaus și, deoarece este în repaus în fiecare moment de timp, este întotdeauna în repaus.

În această aporie, paradoxul logic este depășit foarte simplu - este suficient să clarificăm că în fiecare moment de timp o săgeată zburătoare este în repaus în diferite puncte din spațiu, care, de fapt, este mișcare. Un alt punct trebuie remarcat aici. Dintr-o fotografie a unei mașini de pe șosea este imposibil să se determine nici faptul mișcării acesteia, fie distanța până la ea. Pentru a determina dacă o mașină se mișcă, aveți nevoie de două fotografii făcute din același punct în momente diferite, dar nu puteți determina distanța față de ele. Pentru a determina distanța până la o mașină, aveți nevoie de două fotografii făcute din diferite puncte ale spațiului la un moment dat, dar din ele nu puteți determina faptul de mișcare (desigur, mai aveți nevoie de date suplimentare pentru calcule, trigonometria vă va ajuta ). Ceea ce vreau să atrag atenția în mod deosebit este că două puncte în timp și două puncte în spațiu sunt lucruri diferite care nu trebuie confundate, deoarece oferă oportunități diferite de cercetare.

miercuri, 4 iulie 2018

V-am spus deja asta cu ajutorul căruia şamanii încearcă să sorteze „“ realitatea. Cum fac ei asta? Cum are loc de fapt formarea unui set?

Să aruncăm o privire mai atentă asupra definiției unui set: „o colecție de elemente diferite, concepute ca un singur întreg”. Acum simțiți diferența dintre două expresii: „concepibil ca întreg” și „conceput ca întreg”. Prima frază este rezultatul final, setul. A doua frază este o pregătire preliminară pentru formarea unei mulțimi. În această etapă, realitatea este împărțită în elemente individuale („întregul”), din care apoi se va forma o multitudine („întregul unic”). În același timp, factorul care face posibilă combinarea „întregului” într-un „unic întreg” este monitorizat cu atenție, altfel șamanii nu vor reuși. La urma urmei, șamanii știu dinainte ce fel de set vor să ne demonstreze.

Vă voi arăta procesul cu un exemplu. Selectăm „solidul roșu într-un coș” - acesta este „întregul nostru”. În același timp, vedem că aceste lucruri sunt cu arc și există fără arc. După aceea, selectăm o parte din „întreg” și formăm un set „cu un arc”. Acesta este modul în care șamanii își obțin hrana legându-și teoria seturilor de realitate.

Acum hai să facem un mic truc. Să luăm „solid cu un coș și o fundă” și să combinăm aceste „întregări” în funcție de culoare, selectând elementele roșii. Avem mult „roșu”. Acum întrebarea finală: seturile rezultate „cu arc” și „roșu” sunt același set sau două seturi diferite? Doar șamanii știu răspunsul. Mai exact, ei înșiși nu știu nimic, dar așa cum spun ei, așa va fi.

Acest exemplu simplu arată că teoria seturilor este complet inutilă când vine vorba de realitate. Care este secretul? Am format un set de „solid roșu cu un coș și o fundă”. Formarea s-a desfășurat după patru unități de măsură diferite: culoare (roșu), rezistență (solid), rugozitate (coșuri), decor (cu fundă). Doar un set de unități de măsură ne permite să descriem în mod adecvat obiectele reale în limbajul matematicii. Așa arată.

Litera „a” cu indici diferiți indică unități de măsură diferite. Unitățile de măsură prin care se distinge „întregul” în etapa preliminară sunt evidențiate între paranteze. Unitatea de măsură prin care se formează setul este scoasă din paranteze. Ultima linie arată rezultatul final - un element al setului. După cum puteți vedea, dacă folosim unități de măsură pentru a forma un set, atunci rezultatul nu depinde de ordinea acțiunilor noastre. Și aceasta este matematică, și nu dansul șamanilor cu tamburine. Șamanii pot ajunge „intuitiv” la același rezultat, argumentând că este „evident”, deoarece unitățile de măsură nu fac parte din arsenalul lor „științific”.

Folosind unități de măsură, este foarte ușor să spargi una
Astăzi, tot ceea ce nu luăm aparține unui set (cum ne asigură matematicienii). Apropo, ai văzut în oglinda de pe frunte o listă cu acele seturi cărora le faci parte? Și nu am văzut o astfel de listă. Voi spune mai multe - nici un singur lucru în realitate nu are o etichetă cu o listă cu seturile cărora le aparține acest lucru. Seturile sunt toate invenții ale șamanilor. Cum o fac? Să ne uităm puțin mai adânc în istorie și să vedem cum arătau elementele setului înainte ca șamanii matematicieni să le introducă în seturile lor.

Cu mult timp în urmă, când nimeni nu auzise vreodată de matematică și doar copacii și Saturn aveau inele, turme uriașe de elemente sălbatice de seturi cutreiera câmpurile fizice (la urma urmei, șamanii nu inventaseră încă câmpurile matematice). Arătau cam așa.

Da, nu fi surprins, din punct de vedere al matematicii, toate elementele mulțimilor sunt cel mai asemănătoare cu arici de mare- dintr-un punct, precum acele, unitățile de măsură ies în toate direcțiile. Pentru cei care, vă reamintesc că orice unitate de măsură poate fi reprezentată geometric ca un segment de lungime arbitrară, iar un număr ca punct. Geometric, orice cantitate poate fi reprezentată ca o grămadă de segmente care ies în direcții diferite dintr-un punct. Acest punct este punctul zero. Nu voi desena această piesă de artă geometrică (fără inspirație), dar vă puteți imagina cu ușurință.

Ce unități de măsură formează un element al unei mulțimi? Tot felul de lucruri care descriu un anumit element din puncte de vedere diferite. Acestea sunt unități de măsură străvechi pe care strămoșii noștri le-au folosit și de care toată lumea a uitat de mult. Acestea sunt unitățile de măsură moderne pe care le folosim acum. Acestea sunt și unități de măsură necunoscute nouă, pe care urmașii noștri le vor găsi și pe care le vor folosi pentru a descrie realitatea.

Am aranjat geometria - modelul propus al elementelor mulțimii are o reprezentare geometrică clară. Dar fizica? Unitățile de măsură sunt legătura directă dintre matematică și fizică. Dacă șamanii nu recunosc unitățile de măsură ca un element cu drepturi depline al teoriilor matematice, aceasta este problema lor. Eu personal nu îmi pot imagina adevărata știință a matematicii fără unități de măsură. De aceea, chiar la începutul poveștii despre teoria seturilor am vorbit despre ea ca fiind în epoca de piatră.

Dar să trecem la cel mai interesant lucru - algebra elementelor mulțimilor. Din punct de vedere algebric, orice element al unei mulțimi este un produs (rezultatul înmulțirii) a unor cantități diferite.

În mod deliberat, nu am folosit convențiile teoriei mulțimilor, deoarece luăm în considerare un element al unei mulțimi în mediul său natural înainte de apariția teoriei mulțimilor. Fiecare pereche de litere dintre paranteze denotă o cantitate separată, constând dintr-un număr indicat de litera " n" și unitatea de măsură indicată prin litera " o". Indicii de lângă litere indică faptul că numerele și unitățile de măsură sunt diferite. Un element al mulțimii poate consta dintr-un număr infinit de cantități (cât de mult avem noi și descendenții noștri suficientă imaginație). Fiecare paranteză este reprezentată geometric ca un segment separat În exemplul cu arici de mare, un bracket este un ac.

Cum formează șamanii seturi din diferite elemente? De fapt, după unități de măsură sau după numere. Neînțelegând nimic despre matematică, ei iau diferiți arici de mare și îi examinează cu atenție în căutarea acelui ac unic, de-a lungul căruia formează un set. Dacă există un astfel de ac, atunci acest element aparține setului, dacă nu există un astfel de ac, atunci acest element nu este din acest set. Șamanii ne spun fabule despre procesele de gândire și despre întreg.

După cum probabil ați ghicit, același element poate aparține unor seturi foarte diferite. În continuare vă voi arăta cum se formează seturile, submulțimile și alte prostii șamanice.

sau (echivalent) un poliedru cu șase fețe care sunt paralelograme. Hexagon.

Paralelogramele care alcătuiesc un paralelipiped sunt marginile ale acestui paralelipiped, laturile acestor paralelograme sunt marginile unui paralelipiped, iar vârfurile paralelogramelor sunt culmi paralelipiped. Într-un paralelipiped, fiecare față este paralelogram.

De regulă, orice 2 fețe opuse sunt identificate și numite bazele paralelipipedului, iar fețele rămase - feţele laterale ale paralelipipedului. Marginile paralelipipedului care nu aparțin bazelor sunt coaste laterale.

2 fețe ale unui paralelipiped care au o muchie comună sunt adiacent, și cele care nu au margini comune - opus.

Un segment care leagă 2 vârfuri care nu aparțin primei fețe este diagonală paralelipipedă.

Lungimile marginilor unui paralelipiped dreptunghiular care nu sunt paralele sunt dimensiuni liniare (măsurători) paralelipiped. Un paralelipiped dreptunghiular are 3 dimensiuni liniare.

Tipuri de paralelipiped.

Există mai multe tipuri de paralelipipede:

Direct este un paralelipiped cu muchia perpendiculară pe planul bazei.

Un paralelipiped dreptunghiular în care toate cele 3 dimensiuni au valoare egală, este cub. Fiecare dintre fețele cubului este egală pătrate .

Orice paralelipiped. Volumul și rapoartele într-un paralelipiped înclinat sunt determinate în principal folosind algebră vectorială. Volumul unui paralelipiped este egal cu valoarea absolută a produsului mixt a 3 vectori, care sunt determinate de cele 3 laturi ale paralelipipedului (care provin din același vârf). Relația dintre lungimile laturilor paralelipipedului și unghiurile dintre ele arată afirmația că determinantul Gram al celor 3 vectori dați este egal cu pătratul produsului lor mixt.

Proprietățile unui paralelipiped.

• Paralepipedul este simetric în jurul mijlocului diagonalei sale.
• Orice segment cu capete care aparțin suprafeței unui paralelipiped și care trece prin mijlocul diagonalei acestuia este împărțit de acesta în două părți egale. Toate diagonalele paralelipipedului se intersectează în primul punct și sunt împărțite de acesta în două părți egale.
• Fețele opuse ale paralelipipedului sunt paralele și au dimensiuni egale.
• Pătratul lungimii diagonalei unui paralelipiped dreptunghic este egal cu

În geometrie se disting următoarele tipuri de paralelipiped: paralelipiped dreptunghiular (fețele paralelipipedului sunt dreptunghiuri); un paralelipiped drept (fețele sale laterale acționează ca dreptunghiuri); paralelipiped înclinat (fețele sale laterale acționează ca perpendiculare); un cub este un paralelipiped cu dimensiuni absolut identice, iar fețele cubului sunt pătrate. Paralelepipedele pot fi fie înclinate, fie drepte.

Elementele principale ale unui paralelipiped sunt că două fețe ale figurii geometrice prezentate care nu au o margine comună sunt opuse, iar cele care au sunt adiacente. Vârfurile paralelipipedului, care nu aparțin aceleiași fețe, acționează unul față de celălalt. Un paralelipiped are o dimensiune - acestea sunt trei muchii care au un vârf comun.

Segmentul de dreaptă care leagă vârfuri opuse se numește diagonală. Cele patru diagonale ale unui paralelipiped, care se intersectează într-un punct, sunt simultan împărțite în jumătate.

Pentru a determina diagonala unui paralelipiped, trebuie să determinați laturile și marginile, care sunt cunoscute din condițiile problemei. Cu trei coaste cunoscute O , ÎN , CU trageți o diagonală în paralelipiped. După proprietatea unui paralelipiped, care spune că toate unghiurile sale sunt drepte, se determină diagonala. Construiți o diagonală de la una dintre fețele paralelipipedului. Diagonalele trebuie trasate în așa fel încât diagonala feței, diagonala dorită a paralelipipedului și marginea cunoscută să creeze un triunghi. După ce se formează un triunghi, găsiți lungimea acestei diagonale. Diagonala din celălalt triunghi rezultat acționează ca ipotenuză, deci poate fi găsită folosind teorema lui Pitagora, care trebuie luată sub rădăcina pătrată. În acest fel știm valoarea celei de-a doua diagonale. Pentru a găsi prima diagonală a paralelipipedului din triunghiul dreptunghic format, este necesar să găsim și ipotenuza necunoscută (folosind teorema lui Pitagora). Folosind același exemplu, găsiți secvențial cele trei diagonale rămase existente în paralelipiped, realizând construcții suplimentare de diagonale care formează triunghiuri dreptunghiulare și rezolvați folosind teorema lui Pitagora.

Un paralelipiped dreptunghic (PP) nu este altceva decât o prismă, a cărei bază este un dreptunghi. Pentru un PP, toate diagonalele sunt egale, ceea ce înseamnă că oricare dintre diagonalele sale este calculată folosind formula:

a, c - laturile bazei PP;

c este înălțimea sa.

O altă definiție poate fi dată luând în considerare sistemul de coordonate dreptunghiular cartezian:

Diagonala PP este vectorul rază al oricărui punct din spațiu specificat de coordonatele x, y și z în sistemul de coordonate carteziene. Acest vector rază până la punct este desenat de la origine. Și coordonatele punctului vor fi proiecțiile vectorului rază (diagonalele PP) pe axele de coordonate.

1055;proiecțiile coincid cu vârfurile acestui paralelipiped.

Paralelepiped și tipurile sale

Dacă traducem literal numele său din greaca veche, se dovedește că este o figură formată din planuri paralele. Există următoarele definiții echivalente ale unui paralelipiped:

• o prismă cu o bază sub formă de paralelogram;
• un poliedru, fiecare față fiind un paralelogram.

Tipurile sale se disting în funcție de figura se află la baza sa și de modul în care sunt direcționate coastele laterale. În general, vorbim despre paralelipiped înclinat, a cărui bază și toate fețele sunt paralelograme. Dacă fețele laterale ale vederii anterioare devin dreptunghiuri, atunci va trebui să fie apelată direct. Şi dreptunghiular iar baza are și unghiuri de 90º.

Mai mult, în geometrie ei încearcă să-l înfățișeze pe acesta din urmă în așa fel încât să se observe că toate marginile sunt paralele. Iată, apropo, principala diferență dintre matematicieni și artiști. Este important ca acesta din urmă să transmită corpul în conformitate cu legea perspectivei. Și în acest caz, paralelismul coastelor este complet invizibil.

Despre notațiile introduse

În formulele de mai jos sunt valabile notațiile indicate în tabel.

Formule pentru un paralelipiped înclinat

Primul și al doilea pentru zone:

Al treilea este de a calcula volumul unui paralelipiped:

Deoarece baza este un paralelogram, pentru a-și calcula aria va trebui să utilizați expresiile corespunzătoare.

Formule pentru un paralelipiped dreptunghiular

Similar cu primul punct - două formule pentru zone:

Și încă unul pentru volum:

Prima sarcină

Stare. Având în vedere un paralelipiped dreptunghiular, al cărui volum trebuie găsit. Se cunoaște diagonala - 18 cm - și faptul că formează unghiuri de 30 și 45 de grade cu planul feței laterale și respectiv al marginii laterale.

Soluţie. Pentru a răspunde la întrebarea problemă, va trebui să cunoașteți toate laturile din trei triunghiuri dreptunghiulare. Ei vor da valorile necesare ale marginilor după care trebuie să calculați volumul.

Mai întâi trebuie să vă dați seama unde este unghiul de 30 de grade. Pentru a face acest lucru, trebuie să desenați o diagonală a feței laterale din același vârf de unde a fost desenată diagonala principală a paralelogramului. Unghiul dintre ele va fi ceea ce este necesar.

Primul triunghi care va da una dintre valorile laturilor bazei va fi următorul. Conține latura necesară și două diagonale desenate. Este dreptunghiulară. Acum trebuie să utilizați raportul dintre piciorul opus (partea bazei) și ipotenuza (diagonală). Este egal cu sinusul de 30º. Adică, latura necunoscută a bazei va fi determinată ca diagonală înmulțită cu sinusul de 30º sau ½. Să fie desemnat cu litera „a”.

Al doilea va fi un triunghi care conține o diagonală cunoscută și o muchie cu care formează 45º. De asemenea, este dreptunghiulară și puteți utiliza din nou raportul catetei la ipotenuză. Cu alte cuvinte, marginea laterală spre diagonală. Este egal cu cosinusul de 45º. Adică, „c” se calculează ca produsul dintre diagonală și cosinusul de 45º.

c = 18 * 1/√2 = 9 √2 (cm).

În același triunghi trebuie să găsiți un alt picior. Acest lucru este necesar pentru a calcula apoi a treia necunoscută - „în”. Să fie desemnat cu litera „x”. Poate fi calculat cu ușurință folosind teorema lui Pitagora:

x = √(18 2 - (9√2) 2) = 9√2 (cm).

Acum trebuie să luăm în considerare un alt triunghi dreptunghic. Conține laturile deja cunoscute „c”, „x” și pe cea care trebuie numărată, „b”:

în = √((9√2) 2 - 9 2 = 9 (cm).

Toate cele trei cantități sunt cunoscute. Puteți utiliza formula pentru volum și o puteți calcula:

V = 9 * 9 * 9√2 = 729√2 (cm 3).

Răspuns: volumul paralelipipedului este de 729√2 cm 3.

A doua sarcină

Stare. Trebuie să găsiți volumul unui paralelipiped. Laturile paralelogramului care se află la bază sunt cunoscute a fi de 3 și 6 cm, precum și unghiul său ascuțit - 45º. Nerva laterală are o înclinare față de bază de 30º și este egală cu 4 cm.

Soluţie. Pentru a răspunde la întrebarea problemei, trebuie să luați formula care a fost scrisă pentru volumul unui paralelipiped înclinat. Dar ambele cantități sunt necunoscute în el.

Aria bazei, adică a unui paralelogram, va fi determinată de o formulă în care trebuie să înmulțiți laturile cunoscute și sinusul unghiului ascuțit dintre ele.

S o = 3 * 6 sin 45º = 18 * (√2)/2 = 9 √2 (cm 2).

A doua necunoscută este înălțimea. Poate fi desenat din oricare dintre cele patru vârfuri de deasupra bazei. Poate fi găsit dintr-un triunghi dreptunghic în care înălțimea este catetul și marginea laterală este ipotenuza. În acest caz, un unghi de 30º se află opus înălțimii necunoscute. Aceasta înseamnă că putem folosi raportul catetei la ipotenuză.

n = 4 * sin 30º = 4 * 1/2 = 2.

Acum toate valorile sunt cunoscute și volumul poate fi calculat:

V = 9 √2 * 2 = 18 √2 (cm 3).

Răspuns: volumul este de 18 √2 cm 3.

A treia sarcină

Stare. Aflați volumul unui paralelipiped dacă se știe că este drept. Laturile bazei formează un paralelogram și sunt egale cu 2 și 3 cm. Unghiul ascuțit dintre ele este de 60º. Diagonala mai mică a paralelipipedului este egală cu diagonala mai mare a bazei.

Soluţie. Pentru a afla volumul unui paralelipiped folosim formula cu aria bazei și înălțimea. Ambele cantități sunt necunoscute, dar sunt ușor de calculat. Prima este înălțimea.

Deoarece diagonala mai mică a paralelipipedului coincide ca mărime cu baza mai mare, acestea pot fi desemnate prin aceeași literă d. Cel mai mare unghi al unui paralelogram este de 120º, deoarece formează 180º cu cel acut. Fie ca a doua diagonală a bazei să fie desemnată cu litera „x”. Acum pentru cele două diagonale ale bazei putem scrie teoremele cosinusului:

d 2 = a 2 + b 2 - 2av cos 120º,

x 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 60º.

Nu are sens să găsești valori fără pătrate, deoarece mai târziu vor fi ridicate din nou la a doua putere. După înlocuirea datelor, obținem:

d 2 = 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º = 4 + 9 + 12 * ½ = 19,

x 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 60º = 4 + 9 - 12 * ½ = 7.

Acum, înălțimea, care este și marginea laterală a paralelipipedului, se va dovedi a fi un picior în triunghi. Ipotenuza va fi diagonala cunoscută a corpului, iar al doilea catet va fi „x”. Putem scrie teorema lui Pitagora:

n 2 = d 2 - x 2 = 19 - 7 = 12.

Prin urmare: n = √12 = 2√3 (cm).

Acum, a doua cantitate necunoscută este aria bazei. Poate fi calculat folosind formula menționată în a doua problemă.

S o = 2 * 3 sin 60º = 6 * √3/2 = 3√3 (cm 2).

Combinând totul în formula de volum, obținem:

V = 3√3 * 2√3 = 18 (cm 3).

Răspuns: V = 18 cm 3.

A patra sarcină

Stare. Este necesar să se afle volumul unui paralelipiped care îndeplinește următoarele condiții: baza este un pătrat cu latura de 5 cm; fețele laterale sunt romburi; unul dintre vârfurile situate deasupra bazei este echidistant de toate vârfurile aflate la bază.

Soluţie. Mai întâi trebuie să înțelegeți starea. Nu există întrebări cu primul punct despre pătrat. Al doilea, despre romburi, arată clar că paralelipipedul este înclinat. În plus, toate marginile sale sunt egale cu 5 cm, deoarece laturile rombului sunt aceleași. Și din a treia devine clar că cele trei diagonale trase din ea sunt egale. Acestea sunt două care se află pe fețele laterale, iar ultima este în interiorul paralelipipedului. Și aceste diagonale sunt egale cu marginea, adică au și o lungime de 5 cm.

Pentru a determina volumul, veți avea nevoie de o formulă scrisă pentru un paralelipiped înclinat. Din nou nu există cantități cunoscute în el. Cu toate acestea, aria bazei este ușor de calculat deoarece este un pătrat.

S o = 5 2 = 25 (cm 2).

Situația cu înălțimea este puțin mai complicată. Va fi așa în trei figuri: un paralelipiped, o piramidă patruunghiulară și un triunghi isoscel. Ar trebui profitată de această ultimă împrejurare.

Deoarece este înălțimea, este un picior într-un triunghi dreptunghic. Ipotenuza din ea va fi o muchie cunoscută, iar al doilea catet este egal cu jumătate din diagonala pătratului (înălțimea este și mediana). Și diagonala bazei este ușor de găsit:

d = √(2 * 5 2) = 5√2 (cm).

n = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √(25 - 25/2) = √(25/2) = 2,5 √2 (cm).

V = 25 * 2,5 √2 = 62,5 √2 (cm 3).

Răspuns: 62,5 √2 (cm 3).

Prisma se numește paralelipiped, dacă bazele sale sunt paralelograme. Cm. Fig.1.

Proprietățile unui paralelipiped:

Fețele opuse ale unui paralelipiped sunt paralele (adică se află în planuri paralele) și egale.

Diagonalele unui paralelipiped se intersectează într-un punct și sunt tăiate în două de acest punct.

Fețele adiacente ale unui paralelipiped– două fețe care au o margine comună.

Fețe opuse ale unui paralelipiped– fețe care nu au muchii comune.

Vârfurile opuse ale unui paralelipiped– două vârfuri care nu aparțin aceleiași fețe.

Diagonala unui paralelipiped– un segment care leagă vârfuri opuse.

Dacă marginile laterale sunt perpendiculare pe planurile bazelor, atunci se numește paralelipiped direct.

Un paralelipiped drept ale cărui baze sunt dreptunghiuri se numește dreptunghiular. Se numește o prismă, ale cărei fețe sunt toate pătrate cub.

Paralelipiped- o prismă ale cărei baze sunt paralelograme.

Paralepipedul drept- un paralelipiped ale cărui margini laterale sunt perpendiculare pe planul bazei.

Paralepiped dreptunghiular este un paralelipiped drept ale cărui baze sunt dreptunghiuri.

Cub– un paralelipiped dreptunghiular cu margini egale.

paralelipiped numită prismă a cărei bază este un paralelogram; Astfel, un paralelipiped are șase fețe și toate sunt paralelograme.

Fețele opuse sunt egale și paralele pe perechi. Paralepipedul are patru diagonale; toate se intersectează într-un punct și sunt împărțite în jumătate la acesta. Orice față poate fi luată ca bază; volumul este egal cu produsul dintre suprafața bazei și înălțimea: V = Sh.

Un paralelipiped ale cărui patru fețe laterale sunt dreptunghiuri se numește paralelipiped drept.

Un paralelipiped drept ale cărui șase fețe sunt dreptunghiuri se numește dreptunghiular. Cm. Fig.2.

Volumul (V) al unui paralelipiped drept este egal cu produsul dintre aria bazei (S) și înălțimea (h): V = Sh .

Pentru un paralelipiped dreptunghiular, în plus, formula este valabilă V=abc, unde a,b,c sunt muchii.

Diagonala (d) a unui paralelipiped dreptunghic este legată de marginile sale prin relația d 2 = a 2 + b 2 + c 2 .

Paralepiped dreptunghiular- un paralelipiped ale cărui margini laterale sunt perpendiculare pe baze, iar bazele sunt dreptunghiuri.

Proprietățile unui paralelipiped dreptunghiular:

ÎN paralelipiped dreptunghiular toate cele șase fețe sunt dreptunghiuri.

Toate unghiurile diedrice ale unui paralelipiped dreptunghiular sunt drepte.

Pătratul diagonalei unui paralelipiped dreptunghic este egal cu suma pătratelor celor trei dimensiuni ale sale (lungimile a trei muchii care au un vârf comun).

Diagonalele unui paralelipiped dreptunghiular sunt egale.

Un paralelipiped dreptunghic, ale cărui fețe sunt pătrate, se numește cub. Toate marginile cubului sunt egale; volumul (V) al unui cub se exprimă prin formula V=a 3, unde a este muchia cubului.

Teorema. În orice paralelipiped, fețele opuse sunt egale și paralele.

Astfel, fețele (Fig.) BB 1 C 1 C și AA 1 D 1 D sunt paralele, deoarece două drepte care se intersectează BB 1 și B 1 C 1 ale unei fețe sunt paralele cu două drepte care se intersectează AA 1 și A 1 D 1 ale celelalte. Aceste fețe sunt egale, deoarece B 1 C 1 =A 1 D 1, B 1 B=A 1 A (ca laturi opuse ale paralelogramelor) și ∠BB 1 C 1 = ∠AA 1 D 1.

Teorema. În orice paralelipiped, toate cele patru diagonale se intersectează într-un punct și sunt încrucișate în el.

Să luăm (Fig.) vreo două diagonale în paralelipiped, de exemplu, AC 1 și DB 1, și să desenăm linii drepte AB 1 și DC 1.

Deoarece muchiile AD și B 1 C 1 sunt egale și, respectiv, paralele cu muchia BC, atunci ele sunt egale și paralele între ele.

Ca urmare, figura ADC 1 B 1 este un paralelogram în care C 1 A și DB 1 sunt diagonale, iar într-un paralelogram diagonalele se intersectează în jumătate.

Această demonstrație poate fi repetată la fiecare două diagonale.

Prin urmare, diagonala AC 1 intersectează BD 1 în jumătate, diagonala BD 1 intersectează A 1 C în jumătate.

Astfel, toate diagonalele se intersectează în jumătate și, prin urmare, într-un punct.

Teorema. Într-un paralelipiped dreptunghic, pătratul oricărei diagonale este egal cu suma pătratelor celor trei dimensiuni ale sale.

Fie (Fig.) AC 1 o diagonală a unui paralelipiped dreptunghic.

Desenând AC, obținem două triunghiuri: AC 1 C și ACB. Ambele sunt dreptunghiulare:

primul deoarece paralelipipedul este drept și, prin urmare, muchia CC 1 este perpendiculară pe bază,

al doilea deoarece paralelipipedul este dreptunghiular, ceea ce înseamnă că la baza lui există un dreptunghi.

Din aceste triunghiuri găsim:

AC 2 1 = AC 2 + CC 2 1 și AC 2 = AB 2 + BC 2

Prin urmare, AC 2 1 = AB 2 + BC 2 + CC 2 1 = AB 2 + AD 2 + AA 2 1

Consecinţă. Într-un paralelipiped dreptunghic toate diagonalele sunt egale.