Aparatul matematic propus este un analog complet al calculului complex pentru numere hipercomplex n-dimensionale cu orice număr de grade de libertate n și este destinat modelării matematice a celor neliniare.
Tabel cu funcții trigonometrice de bază pentru unghiuri de 0, 30, 45, 60, 90, ... grade
Din definițiile trigonometrice ale funcțiilor $\sin$, $\cos$, $\tan$ și $\cot$, puteți afla valorile lor pentru unghiurile $0$ și $90$ grade:
$\sin0°=0$, $\cos0°=1$, $\tan 0°=0$, $\cot 0°$ nedefinit;
$\sin90°=1$, $\cos90°=0$, $\cot90°=0$, $\tan 90°$ nu este determinat.
Într-un curs de geometrie școlar, când studiază triunghiuri dreptunghiulare, ei găsesc funcțiile trigonometrice ale unghiurilor $0°$, $30°$, $45°$, $60°$ și $90°$.
S-au găsit valori ale funcțiilor trigonometrice pentru unghiurile indicate în grade și, respectiv, radiani ($0$, $\frac(\pi)(6)$, $\frac(\pi)(4)$, $\frac(\ pi)(3) $, $\frac(\pi)(2)$) pentru ușurință de memorare și utilizare sunt introduse într-un tabel numit tabel trigonometric, tabelul valorilor de bază ale funcțiilor trigonometrice etc.
Când se utilizează formule de reducere, tabelul trigonometric poate fi extins la un unghi de $360°$ și, în consecință, $2\pi$ radiani:
Folosind proprietățile de periodicitate ale funcțiilor trigonometrice, fiecare unghi, care va diferi de cel deja cunoscut cu $360°$, poate fi calculat și înregistrat într-un tabel. De exemplu, funcția trigonometrică pentru unghiul $0°$ va avea aceeași valoare pentru unghiul $0°+360°$ și pentru unghiul $0°+2 \cdot 360°$ și pentru unghiul $0°+3 \cdot 360°$ și etc.
Folosind un tabel trigonometric, puteți determina valorile tuturor unghiurilor unui cerc unitar.
Într-un curs de geometrie școlară, ar trebui să memorați valorile de bază ale funcțiilor trigonometrice colectate într-un tabel trigonometric pentru comoditatea rezolvării problemelor trigonometrice.
Folosind o masă
În tabel, este suficient să găsiți funcția trigonometrică necesară și valoarea unghiului sau radianilor pentru care trebuie calculată această funcție. La intersecția rândului cu funcția și a coloanei cu valoarea, obținem valoarea dorită a funcției trigonometrice a argumentului dat.
În figură puteți vedea cum să găsiți valoarea lui $\cos60°$, care este egală cu $\frac(1)(2)$.
Tabelul trigonometric extins este folosit în același mod. Avantajul utilizării acestuia este, după cum sa menționat deja, calculul funcției trigonometrice a aproape orice unghi. De exemplu, puteți găsi cu ușurință valoarea $\tan 1 380°=\tan (1 380°-360°)=\tan(1 020°-360°)=\tan(660°-360°)=\tan300 °$:
Tabele Bradis de funcții trigonometrice de bază
Capacitatea de a calcula funcția trigonometrică a absolut orice valoare a unghiului pentru o valoare întreagă de grade și o valoare întreagă de minute este oferită de utilizarea tabelelor Bradis. De exemplu, găsiți valoarea lui $\cos34°7"$. Tabelele sunt împărțite în 2 părți: un tabel cu valori de $\sin$ și $\cos$ și un tabel de valori de $ \tan$ și $\cot$.
Tabelele Bradis fac posibilă obținerea valorilor aproximative ale funcțiilor trigonometrice cu o precizie de până la 4 zecimale.
Folosind tabelele Bradis
Folosind tabelele Bradis pentru sinusuri, găsim $\sin17°42"$. Pentru a face acest lucru, în coloana din stânga a tabelului de sinusuri și cosinus găsim valoarea grade - $17°$, iar în linia de sus găsim valoarea minutelor - $42"$. La intersecția lor obținem valoarea dorită:
$\sin17°42"=0,304$.
Pentru a găsi valoarea $\sin17°44"$ trebuie să utilizați corecția din partea dreaptă a tabelului. în acest caz, la valoarea $42"$, care se află în tabel, trebuie să adăugați o corecție pentru $2"$, care este egală cu $0,0006$. Primim:
$\sin17°44"=0,304+0,0006=0,3046$.
Pentru a găsi valoarea $\sin17°47"$ folosim și corecția din partea dreaptă a tabelului, doar că în acest caz luăm ca bază valoarea $\sin17°48"$ și scădem corecția pentru $1"$ :
$\sin17°47"=0,3057-0,0003=0,3054$.
Când calculăm cosinus, efectuăm acțiuni similare, dar ne uităm la grade din coloana din dreapta și la minutele din coloana de jos a tabelului. De exemplu, $\cos20°=0,9397$.
Nu există corecții pentru valorile tangentei de până la $90°$ și cotangente cu unghi mic. De exemplu, să găsim $\tan 78°37"$, care, conform tabelului, este egal cu $4,967$.
Tabelul de valori ale funcțiilor trigonometrice
Nota. Acest tabel de valori ale funcției trigonometrice folosește semnul √ pentru a indica rădăcină pătrată. Pentru a indica o fracție, utilizați simbolul „/”.
Vezi de asemenea materiale utile:
Pentru determinarea valorii unei funcţii trigonometrice, găsiți-l la intersecția dreptei care indică funcția trigonometrică. De exemplu, sinus 30 de grade - căutăm coloana cu titlul sin (sinus) și găsim intersecția acestei coloane de tabel cu rândul „30 de grade”, la intersecția lor citim rezultatul - o jumătate. În mod similar găsim cosinus 60 grade, sinus 60 grade (din nou, la intersecția coloanei sin și a liniei de 60 de grade găsim valoarea sin 60 = √3/2), etc. Valorile sinusurilor, cosinusurilor și tangentelor altor unghiuri „populare” se găsesc în același mod.
Sinus pi, cosinus pi, tangentă pi și alte unghiuri în radiani
Tabelul de mai jos cu cosinus, sinusuri și tangente este, de asemenea, potrivit pentru a afla valoarea funcțiilor trigonometrice al căror argument este dat în radiani. Pentru a face acest lucru, utilizați a doua coloană de valori unghiulare. Datorită acestui fapt, puteți converti valoarea unghiurilor populare de la grade la radiani. De exemplu, să găsim unghiul de 60 de grade în prima linie și să citim sub ea valoarea în radiani. 60 de grade este egal cu π/3 radiani.
Numărul pi exprimă fără ambiguitate dependența circumferinței de măsura gradului unghiului. Astfel, radianii pi sunt egali cu 180 de grade.
Orice număr exprimat în termeni de pi (radiani) poate fi ușor convertit în grade prin înlocuirea pi (π) cu 180.
Exemple:
1. Sine pi.
sin π = sin 180 = 0
astfel, sinusul lui pi este același cu sinusul de 180 de grade și este egal cu zero.
2. Cosinus pi.
cos π = cos 180 = -1
astfel, cosinusul lui pi este același cu cosinusul de 180 de grade și este egal cu minus unu.
3. Tangenta pi
tg π = tg 180 = 0
astfel, tangenta pi este aceeași cu tangenta 180 de grade și este egală cu zero.
Tabelul valorilor sinus, cosinus, tangente pentru unghiuri 0 - 360 de grade (valori comune)
valoarea unghiului α (grade) |
valoarea unghiului α (prin pi) |
păcat (sinus) |
cos (cosinus) |
tg (tangentă) |
ctg (cotangentă) |
sec (secantă) |
cosec (cosecant) |
0 | 0 | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
15 | π/12 | 2 - √3 | 2 + √3 | ||||
30 | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | √3 | 2/√3 | 2 |
45 | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 | √2 | √2 |
60 | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 | 1/√3 | 2 | 2/√3 |
75 | 5π/12 | 2 + √3 | 2 - √3 | ||||
90 | π/2 | 1 | 0 | - | 0 | - | 1 |
105 | 7π/12 |
- |
- 2 - √3 | √3 - 2 | |||
120 | 2π/3 | √3/2 | -1/2 | -√3 | -√3/3 | ||
135 | 3π/4 | √2/2 | -√2/2 | -1 | -1 | -√2 | √2 |
150 | 5π/6 | 1/2 | -√3/2 | -√3/3 | -√3 | ||
180 | π | 0 | -1 | 0 | - | -1 | - |
210 | 7π/6 | -1/2 | -√3/2 | √3/3 | √3 | ||
240 | 4π/3 | -√3/2 | -1/2 | √3 | √3/3 | ||
270 | 3π/2 | -1 | 0 | - | 0 | - | -1 |
360 | 2π | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
Dacă în tabelul de valori ale funcțiilor trigonometrice este indicată o liniuță în locul valorii funcției (tangente (tg) 90 de grade, cotangentă (ctg) 180 de grade), înseamnă că atunci când valoare dată Măsura gradului unei funcții de unghi nu are o valoare specifică. Dacă nu există liniuță, celula este goală, ceea ce înseamnă că nu am introdus încă valoarea necesară. Suntem interesați de ce interogări vin utilizatorii la noi și completăm tabelul cu noi valori, în ciuda faptului că datele actuale despre valorile cosinusurilor, sinusurilor și tangentelor celor mai comune valori ale unghiului sunt destul de suficiente pentru a rezolva cele mai multe probleme.
Tabelul de valori ale funcțiilor trigonometrice sin, cos, tg pentru cele mai populare unghiuri
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 de grade
(valori numerice „conform tabelelor Bradis”)
valoarea unghiului α (grade) | valoarea unghiului α în radiani | păcat (sinus) | cos (cosinus) | tg (tangent) | ctg (cotangent) |
---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | ||||
15 |
0,2588 |
0,9659
|
0,2679 |
||
30 |
0,5000 |
0,5774 |
|||
45 |
0,7071 |
||||
0,7660 |
|||||
60 |
0,8660 |
0,5000
|
1,7321 |
||
7π/18 |
Mai simplu spus, acestea sunt legume fierte în apă după o rețetă specială. Voi lua în considerare două componente inițiale (salata de legume și apă) și rezultatul final - borș. Din punct de vedere geometric, poate fi gândit ca un dreptunghi, cu o parte reprezentând salata verde, iar cealaltă reprezentând apa. Suma acestor două laturi va indica borș. Diagonala și aria unui astfel de dreptunghi „borș” sunt concepte pur matematice și nu sunt niciodată folosite în rețetele de borș.
Cum se transformă salata verde și apa în borș din punct de vedere matematic? Cum poate suma a două segmente de linie să devină trigonometrie? Pentru a înțelege acest lucru, avem nevoie de funcții unghiulare liniare.
Nu veți găsi nimic despre funcțiile unghiulare liniare în manualele de matematică. Dar fără ele nu poate exista matematică. Legile matematicii, ca și legile naturii, funcționează indiferent dacă știm despre existența lor sau nu.
Funcțiile unghiulare liniare sunt legi de adunare. Vedeți cum algebra se transformă în geometrie și geometria se transformă în trigonometrie.
Este posibil să faci fără funcții unghiulare liniare? Este posibil, pentru că matematicienii încă se descurcă fără ei. Trucul matematicienilor este că ei ne vorbesc întotdeauna doar despre acele probleme pe care ei înșiși știu să le rezolve și nu vorbesc niciodată despre acele probleme pe care nu le pot rezolva. Uite. Dacă știm rezultatul adunării și al unui termen, folosim scăderea pentru a găsi celălalt termen. Toate. Nu cunoaștem alte probleme și nu știm cum să le rezolvăm. Ce ar trebui să facem dacă știm doar rezultatul adunării și nu știm ambii termeni? În acest caz, rezultatul adunării trebuie descompus în doi termeni folosind funcții unghiulare liniare. Apoi, alegem noi înșine ce poate fi un termen, iar funcțiile unghiulare liniare arată care ar trebui să fie al doilea termen, astfel încât rezultatul adunării să fie exact ceea ce avem nevoie. Pot exista un număr infinit de astfel de perechi de termeni. În viața de zi cu zi, ne înțelegem bine fără să descompunem suma este suficientă. Dar în cercetarea științifică a legilor naturii, descompunerea unei sume în componentele sale poate fi foarte utilă.
O altă lege a adunării despre care matematicienii nu le place să vorbească (un alt truc al lor) cere ca termenii să aibă aceleași unități de măsură. Pentru salată, apă și borș, acestea pot fi unități de greutate, volum, valoare sau unitate de măsură.
Figura arată două niveluri de diferență pentru matematică. Primul nivel este diferențele în domeniul numerelor, care sunt indicate o, b, c. Asta fac matematicienii. Al doilea nivel este diferențele în domeniul unităților de măsură, care sunt afișate între paranteze drepte și indicate prin litera U. Asta fac fizicienii. Putem înțelege al treilea nivel - diferențele în zona obiectelor descrise. Obiecte diferite pot avea același număr de unități de măsură identice. Cât de important este acest lucru, putem vedea în exemplul trigonometriei borș. Dacă adăugăm indice la aceeași denumire de unitate pentru diferite obiecte, putem spune exact ce cantitate matematică descrie un anumit obiect și cum se schimbă în timp sau datorită acțiunilor noastre. Scrisoare W Voi desemna apa cu o scrisoare S Voi desemna salata cu o scrisoare B- borș. Așa vor arăta funcțiile unghiulare liniare pentru borș.
Dacă luăm o parte din apă și o parte din salată, împreună se vor transforma într-o porție de borș. Aici vă sugerez să faceți o mică pauză de la borș și să vă amintiți de copilăria voastră îndepărtată. Îți amintești cum am fost învățați să punem iepurași și rațe împreună? Era necesar să se găsească câte animale vor fi. Ce am fost învățați să facem atunci? Am fost învățați să separăm unitățile de măsură de numere și să adunăm numere. Da, orice număr poate fi adăugat oricărui alt număr. Aceasta este o cale directă către autismul matematicii moderne - o facem de neînțeles ce, de neînțeles de ce și înțelegem foarte prost cum se raportează asta la realitate, din cauza celor trei niveluri de diferență, matematicienii operează doar cu unul. Ar fi mai corect să înveți cum să treci de la o unitate de măsură la alta.
Iepurașii, rațele și animalele mici pot fi numărate în bucăți. O unitate de măsură comună pentru diferite obiecte ne permite să le adunăm. Aceasta este o versiune a problemei pentru copii. Să ne uităm la o sarcină similară pentru adulți. Ce obții când adaugi iepurași și bani? Există două soluții posibile aici.
Prima varianta. Determinăm valoarea de piață a iepurașilor și o adăugăm la suma de bani disponibilă. Am obținut valoarea totală a bogăției noastre în termeni monetari.
A doua varianta. Puteți adăuga numărul de iepurași la numărul de bancnote pe care le avem. Vom primi suma bunurilor mobile pe bucăți.
După cum puteți vedea, aceeași lege de adunare vă permite să obțineți rezultate diferite. Totul depinde de exact ce vrem să știm.
Dar să revenim la borșul nostru. Acum putem vedea ce se va întâmpla când sensuri diferite unghiul funcțiilor unghiulare liniare.
Unghiul este zero. Avem salată, dar fără apă. Nu putem găti borș. Cantitatea de borș este, de asemenea, zero. Acest lucru nu înseamnă deloc că zero borș este egal cu zero apă. Poate fi zero borș cu zero salată (unghi drept).
Pentru mine personal, aceasta este principala dovadă matematică a faptului că . Zero nu schimbă numărul atunci când este adăugat. Acest lucru se întâmplă deoarece adăugarea în sine este imposibilă dacă există un singur termen și lipsește al doilea termen. Puteți simți despre asta după cum doriți, dar amintiți-vă - toate operațiile matematice cu zero au fost inventate de matematicieni înșiși, așa că aruncați-vă logica și înghesuiți prostește definițiile inventate de matematicieni: „împărțirea cu zero este imposibilă”, „orice număr înmulțit cu zero este egal cu zero”, „dincolo de punctul zero” și alte prostii. Este suficient să vă amintiți o dată că zero nu este un număr și nu veți mai avea niciodată o întrebare dacă zero este un număr natural sau nu, pentru că o astfel de întrebare își pierde orice semnificație: cum poate ceva care nu este un număr să fie considerat un număr ? Este ca și cum ai întreba în ce culoare ar trebui clasificată o culoare invizibilă. Adăugarea unui zero la un număr este la fel ca a picta cu vopsea care nu există. Am fluturat o pensulă uscată și le-am spus tuturor că „am pictat”. Dar mă abatem puțin.
Unghiul este mai mare decât zero, dar mai mic de patruzeci și cinci de grade. Avem multă salată verde, dar nu suficientă apă. Ca urmare, vom obține borș gros.
Unghiul este de patruzeci și cinci de grade. Avem cantități egale de apă și salată. Acesta este borșul perfect (iertați-mă, bucătari, e doar matematică).
Unghiul este mai mare de patruzeci și cinci de grade, dar mai mic de nouăzeci de grade. Avem multă apă și puțină salată. Veți obține borș lichid.
Unghi drept. Avem apă. Tot ce rămâne din salată sunt amintiri, pe măsură ce continuăm să măsurăm unghiul de la linia care marca odinioară salata. Nu putem găti borș. Cantitatea de borș este zero. În acest caz, ține-te și bea apă cât o ai)))
Aici. Aşa ceva. Pot spune și alte povești aici care ar fi mai mult decât potrivite aici.
Doi prieteni aveau acțiunile lor într-o afacere comună. După ce l-a ucis pe unul dintre ei, totul a mers către celălalt.
Apariția matematicii pe planeta noastră.
Toate aceste povești sunt spuse în limbajul matematicii folosind funcții unghiulare liniare. Altă dată vă voi arăta locul real al acestor funcții în structura matematicii. Între timp, să revenim la trigonometrie borș și să luăm în considerare proiecțiile.
Sâmbătă, 26 octombrie 2019
miercuri, 7 august 2019
Încheind conversația despre, trebuie să luăm în considerare un set infinit. Ideea este că conceptul de „infinit” îi afectează pe matematicieni, așa cum un boa constrictor afectează un iepure. Oroarea tremurătoare a infinitului îi privează pe matematicieni de bunul simț. Iată un exemplu:
Se află sursa originală. Alpha reprezintă numărul real. Semnul egal din expresiile de mai sus indică faptul că dacă adăugați un număr sau un infinit la infinit, nimic nu se va schimba, rezultatul va fi același infinit. Dacă luăm ca exemplu mulţimea infinită numere naturale, atunci exemplele luate în considerare pot fi prezentate după cum urmează:
Pentru a demonstra clar că au dreptate, matematicienii au venit cu multe metode diferite. Personal, privesc toate aceste metode ca pe șamani care dansează cu tamburine. În esență, toate se rezumă la faptul că fie unele dintre camere sunt neocupate și se mută noi oaspeți, fie că unii dintre vizitatori sunt aruncați pe coridor pentru a face loc oaspeților (foarte uman). Mi-am prezentat punctul de vedere asupra unor astfel de decizii sub forma unei povești fantastice despre Blonda. Pe ce se bazează raționamentul meu? Relocarea unui număr infinit de vizitatori necesită o perioadă infinită de timp. După ce am eliberat prima cameră pentru un oaspete, unul dintre vizitatori va merge mereu de-a lungul coridorului din camera lui în următoarea până la sfârșitul timpului. Desigur, factorul timp poate fi ignorat în mod stupid, dar acesta va fi în categoria „nicio lege nu este scrisă pentru proști”. Totul depinde de ceea ce facem: adaptăm realitatea la teoriile matematice sau invers.
Ce este un „hotel fără sfârșit”? Un hotel infinit este un hotel care are întotdeauna orice număr de paturi goale, indiferent de câte camere sunt ocupate. Dacă toate camerele din nesfârșitul coridor „vizitatorului” sunt ocupate, există un alt coridor nesfârșit cu camere „de oaspeți”. Vor exista un număr infinit de astfel de coridoare. Mai mult, „hotelul infinit” are un număr infinit de etaje într-un număr infinit de clădiri pe un număr infinit de planete într-un număr infinit de universuri create de un număr infinit de Zei. Matematicienii nu sunt capabili să se distanțeze de banal probleme de zi cu zi: Dumnezeu-Allah-Buddha este întotdeauna unul singur, există un singur hotel, există un singur coridor. Așadar, matematicienii încearcă să jongleze cu numerele de serie ale camerelor de hotel, convingându-ne că este posibil să „împingem imposibilul”.
Vă voi demonstra logica raționamentului meu folosind exemplul unui set infinit de numere naturale. Mai întâi trebuie să răspunzi la o întrebare foarte simplă: câte seturi de numere naturale există - unul sau mai multe? Nu există un răspuns corect la această întrebare, deoarece numerele le-am inventat noi înșine, numerele nu există în Natură. Da, Natura se pricepe la numărătoare, dar pentru asta folosește alte instrumente matematice care nu ne sunt familiare. Îți voi spune ce crede Natura altădată. Din moment ce am inventat numerele, noi înșine vom decide câte seturi de numere naturale există. Să luăm în considerare ambele opțiuni, așa cum se cuvine oamenilor de știință adevărați.
Opțiunea unu. „Să ni se dea” un singur set de numere naturale, care se află senin pe raft. Luăm acest set de pe raft. Gata, nu au mai rămas alte numere naturale pe raft și de unde să le duci. Nu putem adăuga unul la acest set, deoarece îl avem deja. Dacă vrei cu adevărat? Nici o problemă. Putem lua unul din setul pe care l-am luat deja și îl putem întoarce la raft. După aceea, putem lua unul de pe raft și îl putem adăuga la ce ne-a mai rămas. Ca rezultat, vom obține din nou un set infinit de numere naturale. Puteți nota toate manipulările noastre astfel:
Am notat acțiunile în notație algebrică și în notație în teoria mulțimilor, cu o listă detaliată a elementelor mulțimii. Indicele indică faptul că avem unul și singurul set de numere naturale. Se dovedește că mulțimea numerelor naturale va rămâne neschimbată numai dacă din el se scade unul și se adaugă aceeași unitate.
Varianta a doua. Avem multe seturi infinite diferite de numere naturale pe raftul nostru. Subliniez - DIFERITE, în ciuda faptului că practic nu se pot distinge. Să luăm unul dintre aceste seturi. Apoi luăm unul dintr-un alt set de numere naturale și îl adăugăm la setul pe care l-am luat deja. Putem adăuga chiar două seturi de numere naturale. Iată ce obținem:
Indicele „unu” și „doi” indică faptul că aceste elemente aparțineau unor seturi diferite. Da, dacă adăugați unul la un set infinit, rezultatul va fi și un set infinit, dar nu va fi același cu setul original. Dacă adăugați un alt set infinit unui set infinit, rezultatul este un nou set infinit format din elementele primelor două seturi.
Mulțimea numerelor naturale este folosită pentru numărare la fel ca o riglă pentru măsurare. Acum imaginați-vă că ați adăugat un centimetru la riglă. Aceasta va fi o linie diferită, nu egală cu cea originală.
Poți să accepți sau să nu accepți raționamentul meu - este treaba ta. Dar dacă întâmpinați vreodată probleme de matematică, gândiți-vă dacă urmați calea raționamentului fals călcat de generații de matematicieni. La urma urmei, studiul matematicii, în primul rând, formează în noi un stereotip stabil de gândire și abia apoi se adaugă la abilitățile noastre mentale (sau, dimpotrivă, ne privează de gândirea liberă).
pozg.ru
Duminică, 4 august 2019
Termineam un postscript la un articol despre și am văzut acest text minunat pe Wikipedia:
Citim: „... bogat baza teoretica Matematica Babilonului nu avea un caracter holistic și era redusă la un set de tehnici disparate, lipsite de un sistem comun și de o bază de dovezi”.
Wow! Cât de deștepți suntem și cât de bine putem vedea neajunsurile celorlalți. Ne este greu să privim matematica modernă în același context? Parafrazând ușor textul de mai sus, personal am primit următoarele:
Baza teoretică bogată a matematicii moderne nu este de natură holistică și se reduce la un set de secțiuni disparate, lipsite de un sistem comun și de o bază de dovezi.
Nu voi merge departe pentru a-mi confirma cuvintele - are un limbaj și convenții care sunt diferite de limbajul și simboluri multe alte ramuri ale matematicii. Aceleași nume în diferite ramuri ale matematicii pot avea semnificații diferite. Vreau să dedic o serie întreagă de publicații celor mai evidente greșeli ale matematicii moderne. Pe curând.
Sâmbătă, 3 august 2019
Cum se împarte un set în subseturi? Pentru a face acest lucru, trebuie să introduceți o nouă unitate de măsură care este prezentă în unele dintre elementele setului selectat. Să ne uităm la un exemplu.
Să avem destule O format din patru persoane. Acest set este format pe baza „oamenilor”. Să notăm elementele acestui set prin literă O, indicele cu un număr va indica numărul de serie al fiecărei persoane din acest set. Să introducem o nouă unitate de măsură „gen” și să o notăm cu literă b. Deoarece caracteristicile sexuale sunt inerente tuturor oamenilor, înmulțim fiecare element al setului O bazat pe gen b. Observați că setul nostru de „oameni” a devenit acum un set de „oameni cu caracteristici de gen”. După aceasta putem împărți caracteristicile sexuale în masculin bmși de femei bw caracteristici sexuale. Acum putem aplica un filtru matematic: selectăm una dintre aceste caracteristici sexuale, indiferent care - bărbat sau femeie. Dacă o persoană o are, atunci o înmulțim cu unu, dacă nu există un astfel de semn, o înmulțim cu zero. Și apoi folosim matematica obișnuită de la școală. Uite ce sa întâmplat.
După înmulțire, reducere și rearanjare, am ajuns să avem două submulțimi: submulțimea bărbaților Bmși un subgrup de femei Bw. Matematicienii raționează aproximativ în același mod atunci când aplică teoria mulțimilor în practică. Dar ei nu ne spun detaliile, ci ne oferă rezultatul final - „mulți oameni constau dintr-un subset de bărbați și un subset de femei”. Desigur, este posibil să aveți o întrebare: cât de corect a fost aplicată matematica în transformările prezentate mai sus? Îndrăznesc să vă asigur că în esență totul a fost făcut corect este suficient să cunoașteți baza matematică a aritmeticii, algebrei booleene și a altor ramuri ale matematicii. Ce este? Altă dată vă voi povesti despre asta.
În ceea ce privește superseturile, puteți combina două seturi într-un singur superset selectând unitatea de măsură prezentă în elementele acestor două seturi.
După cum puteți vedea, unitățile de măsură și matematica obișnuită fac din teoria seturilor o relicvă a trecutului. Un semn că totul nu este în regulă cu teoria mulțimilor este că matematicienii au venit cu propriul lor limbaj și notație pentru teoria mulțimilor. Matematicienii au acționat ca odinioară șamanii. Doar șamanii știu cum să-și aplice „în mod corect” „cunoștințele”. Ei ne învață această „cunoaștere”.
În concluzie, vreau să vă arăt cum manipulează matematicienii.
luni, 7 ianuarie 2019
În secolul al V-lea î.Hr., filosoful antic grec Zenon din Elea și-a formulat celebrele aporii, dintre care cea mai faimoasă este aporia „Achile și țestoasa”. Iată cum sună:
Să presupunem că Ahile aleargă de zece ori mai repede decât țestoasa și este la o mie de pași în spatele ei. În timpul necesar lui Ahile pentru a parcurge această distanță, țestoasa se va târa o sută de pași în aceeași direcție. Când Ahile aleargă o sută de pași, țestoasa se târăște încă zece pași și așa mai departe. Procesul va continua la infinit, Ahile nu va ajunge niciodată din urmă cu țestoasa.
Acest raționament a devenit un șoc logic pentru toate generațiile următoare. Aristotel, Diogene, Kant, Hegel, Hilbert... Toți au considerat într-un fel sau altul aporia lui Zenon. Șocul a fost atât de puternic încât " ... discuțiile continuă până în prezent comunitatea științifică nu a reușit încă să ajungă la o opinie comună asupra esenței paradoxurilor ... analiza matematică, teoria seturilor, noi abordări fizice și filozofice au fost implicate în studiul problemei; ; niciunul dintre ele nu a devenit o soluție general acceptată la problemă...„[Wikipedia, „Aporia lui Zeno”. Toată lumea înțelege că sunt păcăliți, dar nimeni nu înțelege în ce constă înșelăciunea.
Din punct de vedere matematic, Zenon în aporia sa a demonstrat clar trecerea de la cantitate la . Această tranziție presupune aplicare în loc de cele permanente. Din câte am înțeles, aparatul matematic pentru utilizarea unităților de măsură variabile fie nu a fost încă dezvoltat, fie nu a fost aplicat aporiei lui Zeno. Aplicarea logicii noastre obișnuite ne duce într-o capcană. Noi, datorită inerției gândirii, aplicăm unități constante de timp valorii reciproce. Din punct de vedere fizic, se pare că timpul încetinește până când se oprește complet în momentul în care Ahile ajunge din urmă cu țestoasa. Dacă timpul se oprește, Ahile nu mai poate depăși țestoasa.
Dacă ne întoarcem logica obișnuită, totul cade la locul său. Ahile aleargă cu o viteză constantă. Fiecare segment ulterior al drumului său este de zece ori mai scurt decât cel anterior. În consecință, timpul petrecut pentru depășirea acestuia este de zece ori mai mic decât cel anterior. Dacă aplicăm conceptul de „infinit” în această situație, atunci ar fi corect să spunem „Achile va ajunge din urmă broasca testoasă infinit de repede”.
Cum să eviți această capcană logică? Rămâneți în unități constante de timp și nu treceți la unități reciproce. În limbajul lui Zeno arată astfel:
În timpul necesar lui Ahile pentru a alerga o mie de pași, țestoasa se va târa o sută de pași în aceeași direcție. În următorul interval de timp egal cu primul, Ahile va alerga încă o mie de pași, iar țestoasa se va târa o sută de pași. Acum Ahile este cu opt sute de pași înaintea țestoasei.
Această abordare descrie în mod adecvat realitatea fără niciun paradox logic. Dar aceasta nu este o soluție completă a problemei. Afirmația lui Einstein despre irezistibilitatea vitezei luminii este foarte asemănătoare cu aporia lui Zeno „Achile și broasca țestoasă”. Mai trebuie să studiem, să regândim și să rezolvăm această problemă. Iar soluția nu trebuie căutată la nesfârșit numere mari, dar în unități de măsură.
O altă aporie interesantă a lui Zeno spune despre o săgeată zburătoare:
O săgeată zburătoare este nemișcată, deoarece în fiecare moment de timp este în repaus și, deoarece este în repaus în fiecare moment de timp, este întotdeauna în repaus.
În această aporie, paradoxul logic este depășit foarte simplu - este suficient să clarificăm că în fiecare moment de timp o săgeată zburătoare este în repaus în diferite puncte din spațiu, care, de fapt, este mișcare. Un alt punct trebuie remarcat aici. Dintr-o fotografie a unei mașini pe șosea, este imposibil să se determine nici faptul mișcării acesteia, fie distanța până la ea. Pentru a determina dacă o mașină se mișcă, aveți nevoie de două fotografii făcute din același punct în momente diferite, dar nu puteți determina distanța față de ele. Pentru a determina distanța până la o mașină, aveți nevoie de două fotografii făcute din diferite puncte ale spațiului la un moment dat, dar din ele nu puteți determina faptul de mișcare (desigur, mai aveți nevoie de date suplimentare pentru calcule, trigonometria vă va ajuta ). Ceea ce vreau să atrag atenția în mod deosebit este că două puncte în timp și două puncte în spațiu sunt lucruri diferite care nu trebuie confundate, deoarece oferă oportunități diferite de cercetare.
Vă voi arăta procesul cu un exemplu. Selectăm „solidul roșu într-un coș” - acesta este „întregul nostru”. În același timp, vedem că aceste lucruri sunt cu arc și există fără arc. După aceea, selectăm o parte din „întreg” și formăm un set „cu un arc”. Acesta este modul în care șamanii își obțin hrana legându-și teoria seturilor de realitate.
Acum hai să facem un mic truc. Să luăm „solid cu un coș și o fundă” și să combinăm aceste „întregări” în funcție de culoare, selectând elementele roșii. Avem mult „roșu”. Acum întrebarea finală: seturile rezultate „cu arc” și „roșu” sunt același set sau două seturi diferite? Doar șamanii știu răspunsul. Mai exact, ei înșiși nu știu nimic, dar așa cum spun ei, așa va fi.
Acest exemplu simplu arată că teoria seturilor este complet inutilă când vine vorba de realitate. Care este secretul? Am format un set de „solid roșu cu un coș și o fundă”. Formarea s-a desfășurat după patru unități de măsură diferite: culoare (roșu), rezistență (solid), rugozitate (coșuri), decor (cu fundă). Doar un set de unități de măsură ne permite să descriem în mod adecvat obiectele reale în limbajul matematicii. Așa arată.
Litera „a” cu indici diferiți indică unități de măsură diferite. Unitățile de măsură prin care se distinge „întregul” în etapa preliminară sunt evidențiate între paranteze. Unitatea de măsură prin care se formează setul este scoasă din paranteze. Ultima linie arată rezultatul final - un element al setului. După cum puteți vedea, dacă folosim unități de măsură pentru a forma un set, atunci rezultatul nu depinde de ordinea acțiunilor noastre. Și aceasta este matematică, și nu dansul șamanilor cu tamburine. Șamanii pot ajunge „intuitiv” la același rezultat, argumentând că este „evident”, deoarece unitățile de măsură nu fac parte din arsenalul lor „științific”.
Folosind unități de măsură, este foarte ușor să împărțiți un set sau să combinați mai multe seturi într-un singur superset. Să aruncăm o privire mai atentă la algebra acestui proces.
În articol, vom înțelege pe deplin cum arată tabel de valori trigonometrice, sinus, cosinus, tangentă și cotangentă. Să luăm în considerare semnificația de bază a funcțiilor trigonometrice, dintr-un unghi de 0,30,45,60,90,...,360 de grade. Și să vedem cum să folosiți aceste tabele în calcularea valorilor funcțiilor trigonometrice.
Mai întâi să ne uităm la tabelul cosinus, sinus, tangente și cotangente dintr-un unghi de 0, 30, 45, 60, 90,... grade. Definiția acestor mărimi ne permite să determinăm valoarea funcțiilor unghiurilor de 0 și 90 de grade:
sin 0 0 =0, cos 0 0 = 1. tg 0 0 = 0, cotangenta de la 0 0 va fi nedefinită
sin 90 0 = 1, cos 90 0 =0, ctg90 0 = 0, tangenta de la 90 0 va fi incertă
Dacă luați triunghiuri dreptunghiulare ale căror unghiuri sunt de la 30 la 90 de grade. Primim:
sin 30 0 = 1/2, cos 30 0 = √3/2, tan 30 0 = √3/3, cos 30 0 = √3
sin 45 0 = √2/2, cos 45 0 = √2/2, tan 45 0 = 1, cos 45 0 = 1
sin 60 0 = √3/2, cos 60 0 = 1/2, tan 60 0 =√3, cos 60 0 = √3/3
Să reprezentăm toate valorile obținute în formă tabel trigonometric:
Tabel de sinusuri, cosinus, tangente și cotangente!
Dacă folosim formula de reducere, tabelul nostru va crește, adăugând valori pentru unghiuri de până la 360 de grade. Va arata ca:
De asemenea, pe baza proprietăților periodicității, tabelul poate fi mărit dacă înlocuim unghiurile cu 0 0 +360 0 *z .... 330 0 +360 0 *z, în care z este un număr întreg. În acest tabel este posibil să se calculeze valoarea tuturor unghiurilor corespunzătoare punctelor dintr-un singur cerc.
Să vedem cum să folosiți tabelul într-o soluție.
Totul este foarte simplu. Deoarece valoarea de care avem nevoie se află în punctul de intersecție al celulelor de care avem nevoie. De exemplu, luați cosul unui unghi de 60 de grade, în tabel va arăta astfel:
În tabelul final al principalelor valori ale funcțiilor trigonometrice, procedăm în același mod. Dar în acest tabel este posibil să aflăm cât de mult este tangenta dintr-un unghi de 1020 de grade, ea = -√3 Să verificăm 1020 0 = 300 0 +360 0 *2. Să-l găsim folosind tabelul.
Pentru mai multe căutări, sunt utilizate valorile unghiurilor trigonometrice exacte la minute. Instrucțiuni detaliate cum să le folosești pe pagină
masa Bradis. Pentru sinus, cosinus, tangentă și cotangentă.
Tabelele Bradis sunt împărțite în mai multe părți, formate din tabele de cosinus și sinus, tangente și cotangente - care este împărțit în două părți (tg de unghiuri de până la 90 de grade și ctg de unghiuri mici).
Sinus și cosinus
tg a unghiului începând de la 0 0 se termină cu 76 0, ctg a unghiului începând de la 14 0 se termină cu 90 0.
tg pana la 90 0 si ctg de unghiuri mici.
Să ne dăm seama cum să folosim tabelele Bradis în rezolvarea problemelor.
Să găsim denumirea sin (desemnarea în coloana de pe marginea din stânga) 42 de minute (desemnarea este pe linia de sus). Prin intersecție căutăm denumirea, it = 0,3040.
Valorile minutelor sunt indicate cu un interval de șase minute, ce să facem dacă valoarea de care avem nevoie se încadrează exact în acest interval. Să luăm 44 de minute, dar sunt doar 42 în tabel. Luăm 42 ca bază și folosim coloanele suplimentare din partea dreaptă, luăm al 2-lea amendament și adăugăm la 0,3040 + 0,0006 obținem 0,3046.
Cu sin 47 de minute, luăm 48 de minute ca bază și scădem 1 corecție din ea, adică 0,3057 - 0,0003 = 0,3054
Când calculăm cos, lucrăm similar cu sin, doar că luăm ca bază rândul de jos al tabelului. De exemplu cos 20 0 = 0,9397
Valorile unghiului tg până la 90 0 și ale unui unghi mic sunt corecte și nu există corecții în ele. De exemplu, găsiți tg 78 0 37min = 4,967
și ctg 20 0 13min = 25,83
Ei bine, ne-am uitat la tabelele trigonometrice de bază. Sperăm că aceste informații v-au fost extrem de utile. Dacă aveți întrebări despre tabele, asigurați-vă că le scrieți în comentarii!
Notă: Bare de protecție de perete - placă de protecție pentru protejarea pereților (http://www.spi-polymer.ru/otboyniki/)
Tabelele de valori ale sinusurilor (sin), cosinusului (cos), tangentelor (tg), cotangentelor (ctg) sunt un instrument puternic și util care ajută la rezolvarea multor probleme, atât teoretice, cât și aplicate. În acest articol vom oferi un tabel cu funcții trigonometrice de bază (sinusuri, cosinus, tangente și cotangente) pentru unghiuri de 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 de grade (0, π 6, π 3, π 2,... , 2 π radiani). Vor fi afișate și tabele Bradis separate pentru sinusuri și cosinus, tangente și cotangente, cu o explicație despre cum să le folosiți pentru a găsi valorile funcțiilor trigonometrice de bază.
Tabel cu funcții trigonometrice de bază pentru unghiurile 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 de grade
Pe baza definițiilor sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei, puteți găsi valorile acestor funcții pentru unghiuri de 0 și 90 de grade.
sin 0 = 0, cos 0 = 1, t g 0 = 0, cotangenta zero nu este definită,
sin 90° = 1, cos 90° = 0, c t g 90° = 0, tangenta de nouăzeci de grade nu este definită.
Valorile sinusurilor, cosinusurilor, tangentelor și cotangentelor în cursul geometriei sunt definite ca raportul laturilor unui triunghi dreptunghic, ale cărui unghiuri sunt de 30, 60 și 90 de grade și, de asemenea, 45, 45 și 90 de grade.
Definirea funcțiilor trigonometrice pentru un unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic
Sinusul- raportul dintre latura opusa fata de ipotenuza.
Cosinus- raportul catetei adiacente la ipotenuza.
Tangentă- raportul dintre latura opusa fata de latura adiacenta.
Cotangentă- raportul dintre latura adiacentă și latura opusă.
În conformitate cu definițiile, valorile funcțiilor se găsesc:
sin 30 ° = 1 2 , cos 30 ° = 3 2 , t g 30 ° = 3 3 , c t g 30 ° = 3 , sin 45 ° = 2 2 , cos 45 ° = 2 2 , t g 45 ° = 1 , c t g 45 ° = 1, sin 60° = 3 2, cos 45° = 1 2, tg 45° = 3, c tg 45° = 3 3.
Să punem aceste valori într-un tabel și să-l numim un tabel cu valorile de bază ale sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei.
α ° | 0 | 30 | 45 | 60 | 90 |
sin α | 0 | 1 2 | 2 2 | 3 2 | 1 |
cos α | 1 | 3 2 | 2 2 | 1 2 | 0 |
t g α | 0 | 3 3 | 1 | 3 | nedefinit |
c t g α | nedefinit | 3 | 1 | 3 3 | 0 |
α, r a d i a n | 0 | π 6 | π 4 | π 3 | π 2 |
Una dintre proprietățile importante ale funcțiilor trigonometrice este periodicitatea. Pe baza acestei proprietăți, acest tabel poate fi extins folosind formule de reducere. Mai jos vă prezentăm un tabel extins cu valorile principalelor funcții trigonometrice pentru unghiurile 0, 30, 60, ... , 120, 135, 150, 180, ... , 360 de grade (0, π 6, π 3 , π 2, ... , 2 π radiani).
α ° | 0 | 30 | 45 | 60 | 90 | 120 | 135 | 150 | 180 | 210 | 225 | 240 | 270 | 300 | 315 | 330 | 360 |
sin α | 0 | 1 2 | 2 2 | 3 2 | 1 | 3 2 | 2 2 | 1 2 | 0 | - 1 2 | - 2 2 | - 3 2 | - 1 | - 3 2 | - 2 2 | - 1 2 | 0 |
cos α | 1 | 3 2 | 2 2 | 1 2 | 0 | - 1 2 | - 2 2 | - 3 2 | - 1 | - 3 2 | - 2 2 | - 1 2 | 0 | 1 2 | 2 2 | 3 2 | 1 |
t g α | 0 | 3 3 | 1 | 3 | - | - 1 | - 3 3 | 0 | 0 | 3 3 | 1 | 3 | - | - 3 | - 1 | 0 | |
c t g α | - | 3 | 1 | 3 3 | 0 | - 3 3 | - 1 | - 3 | - | 3 | 1 | 3 3 | 0 | - 3 3 | - 1 | - 3 | - |
α, r a d i a n | 0 | π 6 | π 4 | π 3 | π 2 | 2 π 3 | 3 π 4 | 5 π 6 | π | 7 π 6 | 5 π 4 | 4 π 3 | 3 π 2 | 5 π 3 | 7 π 4 | 11 π 6 | 2π |
Periodicitatea sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei vă permite să extindeți acest tabel la valori ale unghiului arbitrar mari. Valorile culese în tabel sunt folosite cel mai des la rezolvarea problemelor, de aceea se recomandă memorarea lor.
Cum se utilizează tabelul cu valorile de bază ale funcțiilor trigonometrice
Principiul utilizării unui tabel de valori ale sinusurilor, cosinusurilor, tangentelor și cotangentelor este clar la nivel intuitiv. Intersecția unui rând și a unei coloane dă valoarea funcției pentru un anumit unghi.
Exemplu. Cum se utilizează tabelul de sinusuri, cosinus, tangente și cotangente
Trebuie să aflăm cu ce este egal sin 7 π 6
Găsim o coloană în tabel a cărei valoare a ultimei celule este de 7 π 6 radiani - la fel ca 210 grade. Apoi selectăm termenul tabelului în care sunt prezentate valorile sinusurilor. La intersecția rândului și coloanei găsim valoarea dorită:
sin 7 π 6 = - 1 2
Mesele Bradis
Tabelul Bradis vă permite să calculați valoarea sinusului, cosinusului, tangentei sau cotangentei cu o precizie de 4 zecimale fără utilizarea tehnologiei computerizate. Acesta este un fel de înlocuitor pentru un calculator de inginerie.
Referinţă
Vladimir Modestovich Bradis (1890 - 1975) - profesor-matematician sovietic, din 1954 membru corespondent al Academiei de Științe Pedagogice a URSS. Tabelele de logaritmi de patru cifre și mărimi trigonometrice naturale dezvoltate de Bradis au fost publicate pentru prima dată în 1921.
În primul rând, vă prezentăm tabelul Bradis pentru sinusuri și cosinusuri. Vă permite să calculați destul de precis valorile aproximative ale acestor funcții pentru unghiuri care conțin un număr întreg de grade și minute. Coloana din stânga a tabelului reprezintă grade, iar rândul de sus reprezintă minute. Rețineți că toate valorile unghiurilor din tabelul Bradis sunt multipli de șase minute.
Masa Bradis pentru sinusuri si cosinus
păcat | 0" | 6" | 12" | 18" | 24" | 30" | 36" | 42" | 48" | 54" | 60" | cos | 1" | 2" | 3" |
0.0000 | 90° | ||||||||||||||
0° | 0.0000 | 0017 | 0035 | 0052 | 0070 | 0087 | 0105 | 0122 | 0140 | 0157 | 0175 | 89° | 3 | 6 | 9 |
1° | 0175 | 0192 | 0209 | 0227 | 0244 | 0262 | 0279 | 0297 | 0314 | 0332 | 0349 | 88° | 3 | 6 | 9 |
2° | 0349 | 0366 | 0384 | 0401 | 0419 | 0436 | 0454 | 0471 | 0488 | 0506 | 0523 | 87° | 3 | 6 | 9 |
3° | 0523 | 0541 | 0558 | 0576 | 0593 | 0610 | 0628 | 0645 | 0663 | 0680 | 0698 | 86° | 3 | 6 | 9 |
4° | 0698 | 0715 | 0732 | 0750 | 0767 | 0785 | 0802 | 0819 | 0837 | 0854 | 0.0872 | 85° | 3 | 6 | 9 |
5° | 0.0872 | 0889 | 0906 | 0924 | 0941 | 0958 | 0976 | 0993 | 1011 | 1028 | 1045 | 84° | 3 | 6 | 9 |
6° | 1045 | 1063 | 1080 | 1097 | 1115 | 1132 | 1149 | 1167 | 1184 | 1201 | 1219 | 83° | 3 | 6 | 9 |
7° | 1219 | 1236 | 1253 | 1271 | 1288 | 1305 | 1323 | 1340 | 1357 | 1374 | 1392 | 82° | 3 | 6 | 9 |
8° | 1392 | 1409 | 1426 | 1444 | 1461 | 1478 | 1495 | 1513 | 1530 | 1547 | 1564 | 81° | 3 | 6 | 9 |
9° | 1564 | 1582 | 1599 | 1616 | 1633 | 1650 | 1668 | 1685 | 1702 | 1719 | 0.1736 | 80° | 3 | 6 | 9 |
10° | 0.1736 | 1754 | 1771 | 1788 | 1805 | 1822 | 1840 | 1857 | 1874 | 1891 | 1908 | 79° | 3 | 6 | 9 |
11° | 1908 | 1925 | 1942 | 1959 | 1977 | 1994 | 2011 | 2028 | 2045 | 2062 | 2079 | 78° | 3 | 6 | 9 |
12° | 2079 | 2096 | 2113 | 2130 | 2147 | 2164 | 2181 | 2198 | 2215 | 2233 | 2250 | 77° | 3 | 6 | 9 |
13° | 2250 | 2267 | 2284 | 2300 | 2317 | 2334 | 2351 | 2368 | 2385 | 2402 | 2419 | 76° | 3 | 6 | 8 |
14° | 2419 | 2436 | 2453 | 2470 | 2487 | 2504 | 2521 | 2538 | 2554 | 2571 | 0.2588 | 75° | 3 | 6 | 8 |
15° | 0.2588 | 2605 | 2622 | 2639 | 2656 | 2672 | 2689 | 2706 | 2723 | 2740 | 2756 | 74° | 3 | 6 | 8 |
16° | 2756 | 2773 | 2790 | 2807 | 2823 | 2840 | 2857 | 2874 | 2890 | 2907 | 2924 | 73° | 3 | 6 | 8 |
17° | 2924 | 2940 | 2957 | 2974 | 2990 | 3007 | 3024 | 3040 | 3057 | 3074 | 3090 | 72° | 3 | 6 | 8 |
18° | 3090 | 3107 | 3123 | 3140 | 3156 | 3173 | 3190 | 3206 | 3223 | 3239 | 3256 | 71° | 3 | 6 | 8 |
19° | 3256 | 3272 | 3289 | 3305 | 3322 | 3338 | 3355 | 3371 | 3387 | 3404 | 0.3420 | 70° | 3 | 5 | 8 |
20° | 0.3420 | 3437 | 3453 | 3469 | 3486 | 3502 | 3518 | 3535 | 3551 | 3567 | 3584 | 69° | 3 | 5 | 8 |
21° | 3584 | 3600 | 3616 | 3633 | 3649 | 3665 | 3681 | 3697 | 3714 | 3730 | 3746 | 68° | 3 | 5 | 8 |
22° | 3746 | 3762 | 3778 | 3795 | 3811 | 3827 | 3843 | 3859 | 3875 | 3891 | 3907 | 67° | 3 | 5 | 8 |
23° | 3907 | 3923 | 3939 | 3955 | 3971 | 3987 | 4003 | 4019 | 4035 | 4051 | 4067 | 66° | 3 | 5 | 8 |
24° | 4067 | 4083 | 4099 | 4115 | 4131 | 4147 | 4163 | 4179 | 4195 | 4210 | 0.4226 | 65° | 3 | 5 | 8 |
25° | 0.4226 | 4242 | 4258 | 4274 | 4289 | 4305 | 4321 | 4337 | 4352 | 4368 | 4384 | 64° | 3 | 5 | 8 |
26° | 4384 | 4399 | 4415 | 4431 | 4446 | 4462 | 4478 | 4493 | 4509 | 4524 | 4540 | 63° | 3 | 5 | 8 |
27° | 4540 | 4555 | 4571 | 4586 | 4602 | 4617 | 4633 | 4648 | 4664 | 4679 | 4695 | 62° | 3 | 5 | 8 |
28° | 4695 | 4710 | 4726 | 4741 | 4756 | 4772 | 4787 | 4802 | 4818 | 4833 | 4848 | 61° | 3 | 5 | 8 |
29° | 4848 | 4863 | 4879 | 4894 | 4909 | 4924 | 4939 | 4955 | 4970 | 4985 | 0.5000 | 60° | 3 | 5 | 8 |
30° | 0.5000 | 5015 | 5030 | 5045 | 5060 | 5075 | 5090 | 5105 | 5120 | 5135 | 5150 | 59° | 3 | 5 | 8 |
31° | 5150 | 5165 | 5180 | 5195 | 5210 | 5225 | 5240 | 5255 | 5270 | 5284 | 5299 | 58° | 2 | 5 | 7 |
32° | 5299 | 5314 | 5329 | 5344 | 5358 | 5373 | 5388 | 5402 | 5417 | 5432 | 5446 | 57° | 2 | 5 | 7 |
33° | 5446 | 5461 | 5476 | 5490 | 5505 | 5519 | 5534 | 5548 | 5563 | 5577 | 5592 | 56° | 2 | 5 | 7 |
34° | 5592 | 5606 | 5621 | 5635 | 5650 | 5664 | 5678 | 5693 | 5707 | 5721 | 0.5736 | 55° | 2 | 5 | 7 |
35° | 0.5736 | 5750 | 5764 | 5779 | 5793 | 5807 | 5821 | 5835 | 5850 | 5864 | 0.5878 | 54° | 2 | 5 | 7 |
36° | 5878 | 5892 | 5906 | 5920 | 5934 | 5948 | 5962 | 5976 | 5990 | 6004 | 6018 | 53° | 2 | 5 | 7 |
37° | 6018 | 6032 | 6046 | 6060 | 6074 | 6088 | 6101 | 6115 | 6129 | 6143 | 6157 | 52° | 2 | 5 | 7 |
38° | 6157 | 6170 | 6184 | 6198 | 6211 | 6225 | 6239 | 6252 | 6266 | 6280 | 6293 | 51° | 2 | 5 | 7 |
39° | 6293 | 6307 | 6320 | 6334 | 6347 | 6361 | 6374 | 6388 | 6401 | 6414 | 0.6428 | 50° | 2 | 4 | 7 |
40° | 0.6428 | 6441 | 6455 | 6468 | 6481 | 6494 | 6508 | 6521 | 6534 | 6547 | 6561 | 49° | 2 | 4 | 7 |
41° | 6561 | 6574 | 6587 | 6600 | 6613 | 6626 | 6639 | 6652 | 6665 | 6678 | 6691 | 48° | 2 | 4 | 7 |
42° | 6691 | 6704 | 6717 | 6730 | 6743 | 6756 | 6769 | 6782 | 6794 | 6807 | 6820 | 47° | 2 | 4 | 6 |
43° | 6820 | 6833 | 6845 | 6858 | 6871 | 6884 | 6896 | 8909 | 6921 | 6934 | 6947 | 46° | 2 | 4 | 6 |
44° | 6947 | 6959 | 6972 | 6984 | 6997 | 7009 | 7022 | 7034 | 7046 | 7059 | 0.7071 | 45° | 2 | 4 | 6 |
45° | 0.7071 | 7083 | 7096 | 7108 | 7120 | 7133 | 7145 | 7157 | 7169 | 7181 | 7193 | 44° | 2 | 4 | 6 |
46° | 7193 | 7206 | 7218 | 7230 | 7242 | 7254 | 7266 | 7278 | 7290 | 7302 | 7314 | 43° | 2 | 4 | 6 |
47° | 7314 | 7325 | 7337 | 7349 | 7361 | 7373 | 7385 | 7396 | 7408 | 7420 | 7431 | 42° | 2 | 4 | 6 |
48° | 7431 | 7443 | 7455 | 7466 | 7478 | 7490 | 7501 | 7513 | 7524 | 7536 | 7547 | 41° | 2 | 4 | 6 |
49° | 7547 | 7559 | 7570 | 7581 | 7593 | 7604 | 7615 | 7627 | 7638 | 7649 | 0.7660 | 40° | 2 | 4 | 6 |
50° | 0.7660 | 7672 | 7683 | 7694 | 7705 | 7716 | 7727 | 7738 | 7749 | 7760 | 7771 | 39° | 2 | 4 | 6 |
51° | 7771 | 7782 | 7793 | 7804 | 7815 | 7826 | 7837 | 7848 | 7859 | 7869 | 7880 | 38° | 2 | 4 | 5 |
52° | 7880 | 7891 | 7902 | 7912 | 7923 | 7934 | 7944 | 7955 | 7965 | 7976 | 7986 | 37° | 2 | 4 | 5 |
53° | 7986 | 7997 | 8007 | 8018 | 8028 | 8039 | 8049 | 8059 | 8070 | 8080 | 8090 | 36° | 2 | 3 | 5 |
54° | 8090 | 8100 | 8111 | 8121 | 8131 | 8141 | 8151 | 8161 | 8171 | 8181 | 0.8192 | 35° | 2 | 3 | 5 |
55° | 0.8192 | 8202 | 8211 | 8221 | 8231 | 8241 | 8251 | 8261 | 8271 | 8281 | 8290 | 34° | 2 | 3 | 5 |
56° | 8290 | 8300 | 8310 | 8320 | 8329 | 8339 | 8348 | 8358 | 8368 | 8377 | 8387 | 33° | 2 | 3 | 5 |
57° | 8387 | 8396 | 8406 | 8415 | 8425 | 8434 | 8443 | 8453 | 8462 | 8471 | 8480 | 32° | 2 | 3 | 5 |
58° | 8480 | 8490 | 8499 | 8508 | 8517 | 8526 | 8536 | 8545 | 8554 | 8563 | 8572 | 31° | 2 | 3 | 5 |
59° | 8572 | 8581 | 8590 | 8599 | 8607 | 8616 | 8625 | 8634 | 8643 | 8652 | 0.8660 | 30° | 1 | 3 | 4 |
60° | 0.8660 | 8669 | 8678 | 8686 | 8695 | 8704 | 8712 | 8721 | 8729 | 8738 | 8746 | 29° | 1 | 3 | 4 |
61° | 8746 | 8755 | 8763 | 8771 | 8780 | 8788 | 8796 | 8805 | 8813 | 8821 | 8829 | 28° | 1 | 3 | 4 |
62° | 8829 | 8838 | 8846 | 8854 | 8862 | 8870 | 8878 | 8886 | 8894 | 8902 | 8910 | 27° | 1 | 3 | 4 |
63° | 8910 | 8918 | 8926 | 8934 | 8942 | 8949 | 8957 | 8965 | 8973 | 8980 | 8988 | 26° | 1 | 3 | 4 |
64° | 8988 | 8996 | 9003 | 9011 | 9018 | 9026 | 9033 | 9041 | 9048 | 9056 | 0.9063 | 25° | 1 | 3 | 4 |
65° | 0.9063 | 9070 | 9078 | 9085 | 9092 | 9100 | 9107 | 9114 | 9121 | 9128 | 9135 | 24° | 1 | 2 | 4 |
66° | 9135 | 9143 | 9150 | 9157 | 9164 | 9171 | 9178 | 9184 | 9191 | 9198 | 9205 | 23° | 1 | 2 | 3 |
67° | 9205 | 9212 | 9219 | 9225 | 9232 | 9239 | 9245 | 9252 | 9259 | 9256 | 9272 | 22° | 1 | 2 | 3 |
68° | 9272 | 9278 | 9285 | 9291 | 9298 | 9304 | 9311 | 9317 | 9323 | 9330 | 9336 | 21° | 1 | 2 | 3 |
69° | 9336 | 9342 | 9348 | 9354 | 9361 | 9367 | 9373 | 9379 | 9383 | 9391 | 0.9397 | 20° | 1 | 2 | 3 |
70° | 9397 | 9403 | 9409 | 9415 | 9421 | 9426 | 9432 | 9438 | 9444 | 9449 | 0.9455 | 19° | 1 | 2 | 3 |
71° | 9455 | 9461 | 9466 | 9472 | 9478 | 9483 | 9489 | 9494 | 9500 | 9505 | 9511 | 18° | 1 | 2 | 3 |
72° | 9511 | 9516 | 9521 | 9527 | 9532 | 9537 | 9542 | 9548 | 9553 | 9558 | 9563 | 17° | 1 | 2 | 3 |
73° | 9563 | 9568 | 9573 | 9578 | 9583 | 9588 | 9593 | 9598 | 9603 | 9608 | 9613 | 16° | 1 | 2 | 2 |
74° | 9613 | 9617 | 9622 | 9627 | 9632 | 9636 | 9641 | 9646 | 9650 | 9655 | 0.9659 | 15° | 1 | 2 | 2 |
75° | 9659 | 9664 | 9668 | 9673 | 9677 | 9681 | 9686 | 9690 | 9694 | 9699 | 9703 | 14° | 1 | 1 | 2 |
76° | 9703 | 9707 | 9711 | 9715 | 9720 | 9724 | 9728 | 9732 | 9736 | 9740 | 9744 | 13° | 1 | 1 | 2 |
77° | 9744 | 9748 | 9751 | 9755 | 9759 | 9763 | 9767 | 9770 | 9774 | 9778 | 9781 | 12° | 1 | 1 | 2 |
78° | 9781 | 9785 | 9789 | 9792 | 9796 | 9799 | 9803 | 9806 | 9810 | 9813 | 9816 | 11° | 1 | 1 | 2 |
79° | 9816 | 9820 | 9823 | 9826 | 9829 | 9833 | 9836 | 9839 | 9842 | 9845 | 0.9848 | 10° | 1 | 1 | 2 |
80° | 0.9848 | 9851 | 9854 | 9857 | 9860 | 9863 | 9866 | 9869 | 9871 | 9874 | 9877 | 9° | 0 | 1 | 1 |
81° | 9877 | 9880 | 9882 | 9885 | 9888 | 9890 | 9893 | 9895 | 9898 | 9900 | 9903 | 8° | 0 | 1 | 1 |
82° | 9903 | 9905 | 9907 | 9910 | 9912 | 9914 | 9917 | 9919 | 9921 | 9923 | 9925 | 7° | 0 | 1 | 1 |
83° | 9925 | 9928 | 9930 | 9932 | 9934 | 9936 | 9938 | 9940 | 9942 | 9943 | 9945 | 6° | 0 | 1 | 1 |
84° | 9945 | 9947 | 9949 | 9951 | 9952 | 9954 | 9956 | 9957 | 9959 | 9960 | 9962 | 5° | 0 | 1 | 1 |
85° | 9962 | 9963 | 9965 | 9966 | 9968 | 9969 | 9971 | 9972 | 9973 | 9974 | 9976 | 4° | 0 | 0 | 1 |
86° | 9976 | 9977 | 9978 | 9979 | 9980 | 9981 | 9982 | 9983 | 9984 | 9985 | 9986 | 3° | 0 | 0 | 0 |
87° | 9986 | 9987 | 9988 | 9989 | 9990 | 9990 | 9991 | 9992 | 9993 | 9993 | 9994 | 2° | 0 | 0 | 0 |
88° | 9994 | 9995 | 9995 | 9996 | 9996 | 9997 | 9997 | 9997 | 9998 | 9998 | 0.9998 | 1° | 0 | 0 | 0 |
89° | 9998 | 9999 | 9999 | 9999 | 9999 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 0° | 0 | 0 | 0 |
90° | 1.0000 | ||||||||||||||
păcat | 60" | 54" | 48" | 42" | 36" | 30" | 24" | 18" | 12" | 6" | 0" | cos | 1" | 2" | 3" |
Pentru a găsi valorile sinusurilor și cosinusurilor unghiurilor care nu sunt prezentate în tabel, este necesar să folosiți corecții.
Acum vă prezentăm tabelul Bradis pentru tangente și cotangente. Conține valori ale tangentelor unghiurilor de la 0 la 76 de grade și ale cotangentelor unghiurilor de la 14 la 90 de grade.
Tabel Bradis pentru tangentă și cotangentă
tg | 0" | 6" | 12" | 18" | 24" | 30" | 36" | 42" | 48" | 54" | 60" | ctg | 1" | 2" | 3" |
0 | 90° | ||||||||||||||
0° | 0,000 | 0017 | 0035 | 0052 | 0070 | 0087 | 0105 | 0122 | 0140 | 0157 | 0175 | 89° | 3 | 6 | 9 |
1° | 0175 | 0192 | 0209 | 0227 | 0244 | 0262 | 0279 | 0297 | 0314 | 0332 | 0349 | 88° | 3 | 6 | 9 |
2° | 0349 | 0367 | 0384 | 0402 | 0419 | 0437 | 0454 | 0472 | 0489 | 0507 | 0524 | 87° | 3 | 6 | 9 |
3° | 0524 | 0542 | 0559 | 0577 | 0594 | 0612 | 0629 | 0647 | 0664 | 0682 | 0699 | 86° | 3 | 6 | 9 |
4° | 0699 | 0717 | 0734 | 0752 | 0769 | 0787 | 0805 | 0822 | 0840 | 0857 | 0,0875 | 85° | 3 | 6 | 9 |
5° | 0,0875 | 0892 | 0910 | 0928 | 0945 | 0963 | 0981 | 0998 | 1016 | 1033 | 1051 | 84° | 3 | 6 | 9 |
6° | 1051 | 1069 | 1086 | 1104 | 1122 | 1139 | 1157 | 1175 | 1192 | 1210 | 1228 | 83° | 3 | 6 | 9 |
7° | 1228 | 1246 | 1263 | 1281 | 1299 | 1317 | 1334 | 1352 | 1370 | 1388 | 1405 | 82° | 3 | 6 | 9 |
8° | 1405 | 1423 | 1441 | 1459 | 1477 | 1495 | 1512 | 1530 | 1548 | 1566 | 1584 | 81° | 3 | 6 | 9 |
9° | 1584 | 1602 | 1620 | 1638 | 1655 | 1673 | 1691 | 1709 | 1727 | 1745 | 0,1763 | 80° | 3 | 6 | 9 |
10° | 0,1763 | 1781 | 1799 | 1817 | 1835 | 1853 | 1871 | 1890 | 1908 | 1926 | 1944 | 79° | 3 | 6 | 9 |
11° | 1944 | 1962 | 1980 | 1998 | 2016 | 2035 | 2053 | 2071 | 2089 | 2107 | 2126 | 78° | 3 | 6 | 9 |
12° | 2126 | 2144 | 2162 | 2180 | 2199 | 2217 | 2235 | 2254 | 2272 | 2290 | 2309 | 77° | 3 | 6 | 9 |
13° | 2309 | 2327 | 2345 | 2364 | 2382 | 2401 | 2419 | 2438 | 2456 | 2475 | 2493 | 76° | 3 | 6 | 9 |
14° | 2493 | 2512 | 2530 | 2549 | 2568 | 2586 | 2605 | 2623 | 2642 | 2661 | 0,2679 | 75° | 3 | 6 | 9 |
15° | 0,2679 | 2698 | 2717 | 2736 | 2754 | 2773 | 2792 | 2811 | 2830 | 2849 | 2867 | 74° | 3 | 6 | 9 |
16° | 2867 | 2886 | 2905 | 2924 | 2943 | 2962 | 2981 | 3000 | 3019 | 3038 | 3057 | 73° | 3 | 6 | 9 |
17° | 3057 | 3076 | 3096 | 3115 | 3134 | 3153 | 3172 | 3191 | 3211 | 3230 | 3249 | 72° | 3 | 6 | 10 |
18° | 3249 | 3269 | 3288 | 3307 | 3327 | 3346 | 3365 | 3385 | 3404 | 3424 | 3443 | 71° | 3 | 6 | 10 |
19° | 3443 | 3463 | 3482 | 3502 | 3522 | 3541 | 3561 | 3581 | 3600 | 3620 | 0,3640 | 70° | 3 | 7 | 10 |
20° | 0,3640 | 3659 | 3679 | 3699 | 3719 | 3739 | 3759 | 3779 | 3799 | 3819 | 3839 | 69° | 3 | 7 | 10 |
21° | 3839 | 3859 | 3879 | 3899 | 3919 | 3939 | 3959 | 3979 | 4000 | 4020 | 4040 | 68° | 3 | 7 | 10 |
22° | 4040 | 4061 | 4081 | 4101 | 4122 | 4142 | 4163 | 4183 | 4204 | 4224 | 4245 | 67° | 3 | 7 | 10 |
23° | 4245 | 4265 | 4286 | 4307 | 4327 | 4348 | 4369 | 4390 | 4411 | 4431 | 4452 | 66° | 3 | 7 | 10 |
24° | 4452 | 4473 | 4494 | 4515 | 4536 | 4557 | 4578 | 4599 | 4621 | 4642 | 0,4663 | 65° | 4 | 7 | 11 |
25° | 0,4663 | 4684 | 4706 | 4727 | 4748 | 4770 | 4791 | 4813 | 4834 | 4856 | 4877 | 64° | 4 | 7 | 11 |
26° | 4877 | 4899 | 4921 | 4942 | 4964 | 4986 | 5008 | 5029 | 5051 | 5073 | 5095 | 63° | 4 | 7 | 11 |
27° | 5095 | 5117 | 5139 | 5161 | 5184 | 5206 | 5228 | 5250 | 5272 | 5295 | 5317 | 62° | 4 | 7 | 11 |
28° | 5317 | 5340 | 5362 | 5384 | 5407 | 5430 | 5452 | 5475 | 5498 | 5520 | 5543 | 61° | 4 | 8 | 11 |
29° | 5543 | 5566 | 5589 | 5612 | 5635 | 5658 | 5681 | 5704 | 5727 | 5750 | 0,5774 | 60° | 4 | 8 | 12 |
30° | 0,5774 | 5797 | 5820 | 5844 | 5867 | 5890 | 5914 | 5938 | 5961 | 5985 | 6009 | 59° | 4 | 8 | 12 |
31° | 6009 | 6032 | 6056 | 6080 | 6104 | 6128 | 6152 | 6176 | 6200 | 6224 | 6249 | 58° | 4 | 8 | 12 |
32° | 6249 | 6273 | 6297 | 6322 | 6346 | 6371 | 6395 | 6420 | 6445 | 6469 | 6494 | 57° | 4 | 8 | 12 |
33° | 6494 | 6519 | 6544 | 6569 | 6594 | 6619 | 6644 | 6669 | 6694 | 6720 | 6745 | 56° | 4 | 8 | 13 |
34° | 6745 | 6771 | 6796 | 6822 | 6847 | 6873 | 6899 | 6924 | 6950 | 6976 | 0,7002 | 55° | 4 | 9 | 13 |
35° | 0,7002 | 7028 | 7054 | 7080 | 7107 | 7133 | 7159 | 7186 | 7212 | 7239 | 7265 | 54° | 4 | 8 | 13 |
36° | 7265 | 7292 | 7319 | 7346 | 7373 | 7400 | 7427 | 7454 | 7481 | 7508 | 7536 | 53° | 5 | 9 | 14° |
37° | 7536 | 7563 | 7590 | 7618 | 7646 | 7673 | 7701 | 7729 | 7757 | 7785 | 7813 | 52° | 5 | 9 | 14 |
38° | 7813 | 7841 | 7869 | 7898 | 7926 | 7954 | 7983 | 8012 | 8040 | 8069 | 8098 | 51° | 5 | 9 | 14 |
39° | 8098 | 8127 | 8156 | 8185 | 8214 | 8243 | 8273 | 8302 | 8332 | 8361 | 0,8391 | 50° | 5 | 10 | 15 |
40° | 0,8391 | 8421 | 8451 | 8481 | 8511 | 8541 | 8571 | 8601 | 8632 | 8662 | 0,8693 | 49° | 5 | 10 | 15 |
41° | 8693 | 8724 | 8754 | 8785 | 8816 | 8847 | 8878 | 8910 | 8941 | 8972 | 9004 | 48° | 5 | 10 | 16 |
42° | 9004 | 9036 | 9067 | 9099 | 9131 | 9163 | 9195 | 9228 | 9260 | 9293 | 9325 | 47° | 6 | 11 | 16 |
43° | 9325 | 9358 | 9391 | 9424 | 9457 | 9490 | 9523 | 9556 | 9590 | 9623 | 0,9657 | 46° | 6 | 11 | 17 |
44° | 9657 | 9691 | 9725 | 9759 | 9793 | 9827 | 9861 | 9896 | 9930 | 9965 | 1,0000 | 45° | 6 | 11 | 17 |
45° | 1,0000 | 0035 | 0070 | 0105 | 0141 | 0176 | 0212 | 0247 | 0283 | 0319 | 0355 | 44° | 6 | 12 | 18 |
46° | 0355 | 0392 | 0428 | 0464 | 0501 | 0538 | 0575 | 0612 | 0649 | 0686 | 0724 | 43° | 6 | 12 | 18 |
47° | 0724 | 0761 | 0799 | 0837 | 0875 | 0913 | 0951 | 0990 | 1028 | 1067 | 1106 | 42° | 6 | 13 | 19 |
48° | 1106 | 1145 | 1184 | 1224 | 1263 | 1303 | 1343 | 1383 | 1423 | 1463 | 1504 | 41° | 7 | 13 | 20 |
49° | 1504 | 1544 | 1585 | 1626 | 1667 | 1708 | 1750 | 1792 | 1833 | 1875 | 1,1918 | 40° | 7 | 14 | 21 |
50° | 1,1918 | 1960 | 2002 | 2045 | 2088 | 2131 | 2174 | 2218 | 2261 | 2305 | 2349 | 39° | 7 | 14 | 22 |
51° | 2349 | 2393 | 2437 | 2482 | 2527 | 2572 | 2617 | 2662 | 2708 | 2753 | 2799 | 38° | 8 | 15 | 23 |
52° | 2799 | 2846 | 2892 | 2938 | 2985 | 3032 | 3079 | 3127 | 3175 | 3222 | 3270 | 37° | 8 | 16 | 24 |
53° | 3270 | 3319 | 3367 | 3416 | 3465 | 3514 | 3564 | 3613 | 3663 | 3713 | 3764 | 36° | 8 | 16 | 25 |
54° | 3764 | 3814 | 3865 | 3916 | 3968 | 4019 | 4071 | 4124 | 4176 | 4229 | 1,4281 | 35° | 9 | 17 | 26 |
55° | 1,4281 | 4335 | 4388 | 4442 | 4496 | 4550 | 4605 | 4659 | 4715 | 4770 | 4826 | 34° | 9 | 18 | 27 |
56° | 4826 | 4882 | 4938 | 4994 | 5051 | 5108 | 5166 | 5224 | 5282 | 5340 | 5399 | 33° | 10 | 19 | 29 |
57° | 5399 | 5458 | 5517 | 5577 | 5637 | 5697 | 5757 | 5818 | 5880 | 5941 | 6003 | 32° | 10 | 20 | 30 |
58° | 6003 | 6066 | 6128 | 6191 | 6255 | 6319 | 6383 | 6447 | 6512 | 6577 | 6643 | 31° | 11 | 21 | 32 |
59° | 6643 | 6709 | 6775 | 6842 | 6909 | 6977 | 7045 | 7113 | 7182 | 7251 | 1,7321 | 30° | 11 | 23 | 34 |
60° | 1,732 | 1,739 | 1,746 | 1,753 | 1,760 | 1,767 | 1,775 | 1,782 | 1,789 | 1,797 | 1,804 | 29° | 1 | 2 | 4 |
61° | 1,804 | 1,811 | 1,819 | 1,827 | 1,834 | 1,842 | 1,849 | 1,857 | 1,865 | 1,873 | 1,881 | 28° | 1 | 3 | 4 |
62° | 1,881 | 1,889 | 1,897 | 1,905 | 1,913 | 1,921 | 1,929 | 1,937 | 1,946 | 1,954 | 1,963 | 27° | 1 | 3 | 4 |
63° | 1,963 | 1,971 | 1,980 | 1,988 | 1,997 | 2,006 | 2,014 | 2,023 | 2,032 | 2,041 | 2,05 | 26° | 1 | 3 | 4 |
64° | 2,050 | 2,059 | 2,069 | 2,078 | 2,087 | 2,097 | 2,106 | 2,116 | 2,125 | 2,135 | 2,145 | 25° | 2 | 3 | 5 |
65° | 2,145 | 2,154 | 2,164 | 2,174 | 2,184 | 2,194 | 2,204 | 2,215 | 2,225 | 2,236 | 2,246 | 24° | 2 | 3 | 5 |
66° | 2,246 | 2,257 | 2,267 | 2,278 | 2,289 | 2,3 | 2,311 | 2,322 | 2,333 | 2,344 | 2,356 | 23° | 2 | 4 | 5 |
67° | 2,356 | 2,367 | 2,379 | 2,391 | 2,402 | 2,414 | 2,426 | 2,438 | 2,450 | 2,463 | 2,475 | 22° | 2 | 4 | 6 |
68° | 2,475 | 2,488 | 2,5 | 2,513 | 2,526 | 2,539 | 2,552 | 2,565 | 2,578 | 2,592 | 2,605 | 21° | 2 | 4 | 6 |
69° | 2,605 | 2,619 | 2,633 | 2,646 | 2,66 | 2,675 | 2,689 | 2,703 | 2,718 | 2,733 | 2,747 | 20° | 2 | 5 | 7 |
70° | 2,747 | 2,762 | 2,778 | 2,793 | 2,808 | 2,824 | 2,840 | 2,856 | 2,872 | 2,888 | 2,904 | 19° | 3 | 5 | 8 |
71° | 2,904 | 2,921 | 2,937 | 2,954 | 2,971 | 2,989 | 3,006 | 3,024 | 3,042 | 3,06 | 3,078 | 18° | 3 | 6 | 9 |
72° | 3,078 | 3,096 | 3,115 | 3,133 | 3,152 | 3,172 | 3,191 | 3,211 | 3,230 | 3,251 | 3,271 | 17° | 3 | 6 | 10 |
73° | 3,271 | 3,291 | 3,312 | 3,333 | 3,354 | 3,376 | 3 | 7 | 10 | ||||||
3,398 | 3,42 | 3,442 | 3,465 | 3,487 | 16° | 4 | 7 | 11 | |||||||
74° | 3,487 | 3,511 | 3,534 | 3,558 | 3,582 | 3,606 | 4 | 8 | 12 | ||||||
3,630 | 3,655 | 3,681 | 3,706 | 3,732 | 15° | 4 | 8 | 13 | |||||||
75° | 3,732 | 3,758 | 3,785 | 3,812 | 3,839 | 3,867 | 4 | 9 | 13 | ||||||
3,895 | 3,923 | 3,952 | 3,981 | 4,011 | 14° | 5 | 10 | 14 | |||||||
tg | 60" | 54" | 48" | 42" | 36" | 30" | 24" | 18" | 12" | 6" | 0" | ctg | 1" | 2" | 3" |
Cum se utilizează mesele Bradis
Luați în considerare tabelul Bradis pentru sinusuri și cosinusuri. Tot ce tine de sinusuri este sus si in stanga. Dacă avem nevoie de cosinus, uită-te la partea dreaptăîn partea de jos a mesei.
Pentru a găsi valorile sinusului unui unghi, trebuie să găsiți intersecția rândului care conține numărul necesar de grade în celula din stânga și coloana care conține numărul necesar de minute în celula de sus.
Dacă valoarea exactă a unghiului nu este în tabelul Bradis, apelăm la corecții. Corecțiile pentru unul, două și trei minute sunt date în coloanele din dreapta tabelului. Pentru a găsi valoarea sinusului unui unghi care nu este în tabel, găsim valoarea cea mai apropiată de acesta. După aceasta, adunăm sau scădem corecția corespunzătoare diferenței dintre unghiuri.
Dacă căutăm sinusul unui unghi care este mai mare de 90 de grade, trebuie mai întâi să folosim formulele de reducere și abia apoi tabelul Bradis.
Exemplu. Cum se utilizează masa Bradis
Să presupunem că trebuie să găsim sinusul unghiului 17 ° 44 ". Folosind tabelul, aflăm cu ce este egal sinusul lui 17 ° 42 " și adăugăm o corecție de două minute la valoarea sa:
17°44" - 17°42" = 2" (corecție necesară) sin 17°44" = 0. 3040 + 0 . 0006 = 0 . 3046
Principiul lucrului cu cosinus, tangente și cotangente este similar. Cu toate acestea, este important să ne amintim semnul amendamentelor.
Important!
La calcularea valorilor sinusurilor, corecția are un semn pozitiv, iar la calcularea cosinusurilor, corecția trebuie luată cu un semn negativ.
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter