Момент инерции твердого тела. Момент инерции относительно произвольной оси

Найдем момент инерции тела относительно оси u , проходящей через некоторую точку О (рис. 36).

Рис.36

По определению момент инерции .

Поместим в точку О начало координатных осей x, y, z . Из прямоугольного треугольника ОАМ i следует , где . И так как радиус-вектор точки , то, проектируя это равенство на ось u , получим ( , , - углы между осью u и осями x, y, z ).

Как известно из тригонометрии

И, группируя подобные члены, содержащие косинусы одинаковых углов, получим:

Но - расстояния от точки М i до осей x, y, z, соответственно. Поэтому

где I x , I y , I z – моменты инерции тела относительно осей координат; I xy , J yz , J xz - центробежные моменты инерции относительно осей отмеченных в индексах.

Если два центробежных момента инерции, оба содержащих в индексах названия какой-нибудь одной оси, равны нулю, то эта ось называется главной осью инерции . Например, если J yz = 0 и J xz = 0, то ось z – главная ось инерции.

Так как все моменты инерции зависят от того, где находится точка О , от выбора начала координат, то обязательно надо указать для какой точки определены эти моменты инерции. Если начало координат взято в центре масс С , то все главные оси инерции называются главными центральными осями инерции.

Если в данной точке координатные оси являются главными осями инерции (центробежные моменты инерции относительно их равны нулю), то формула (2) упрощается:

Иногда по некоторым признакам нетрудно найти главные оси инерции тела.

1. Если у однородного тела имеется ось симметрии, то эта ось является главной центральной осью инерции.

Действительно. Направим координатную ось z по оси симметрии. Тогда для каждой точки тела с координатами (x i , y i , z i ) можно отыскать точку с координатами (-x i , -y i , -z i ) и поэтому центробежные моменты инерции и . Значит ось z – главная ось инерции, и центральная ось, т.к. центр масс, как известно, находится на оси симметрии. Причём, эта ось будет главной для любой точки расположенной на оси симметрии.

2. Если у однородного тела имеется плоскость симметрии, то любая ось перпендикулярная ей будет главной осью инерции для всех точек этой плоскости.

Направим ось z перпендикулярно плоскости симметрии из любой её точки О , назначив там начало координат. Тогда для каждой точки тела с координатами (x i , y i , z i ) можно найти симметричную ей точку с координатами (x i , y i , - z i ). Поэтому центробежные моменты инерции I xz и I yz будут равны нулю. Значит ось z – главная ось инерции.

Пример 9. Определим момент инерции диска относительно оси u , расположенной под углом к оси симметрии диска z (рис.37).

Рис.37

Оси x, y и z – главные центральные оси инерции, т.к. они являются осями симметрии.

Тогда , где - угол между осями u и z ; угол - угол между осями u и y , равный ; угол - угол между осями u и x , равный 90°. Поэтому

Дифференциальные уравнения движения системы.

Рассмотрим систему, состоящую из п материальных точек. Выделим какую-нибудь точку системы с массой . Обозначим равнодействующую всех приложенных к точке внешних сил (и активных и реакций связей) через , а равнодействующую всех внутренних сил - через . Если точка имеет при этом ускорение , то по основному закону динамики

Аналогичный результат получим для любой точки. Следовательно, для всей системы будет:

Эти уравнения, из которых можно определить закон движения каждой точки системы, называются дифференциальными уравнениями движения системы в векторной форме. Уравнения являются дифференциальными, так как ; входящие в правые части уравнений силы будут в общем случае зависеть от времени, координат точек системы и их скоростей.

Проектируя на какие-нибудь координатные оси, мы можем получить дифференциальные уравнения движения системы в проекциях на эти оси.

Полное решение основной задачи динамики для системы состояло бы в том, чтобы, зная заданные силы, проинтегрировать соответствующие дифференциальные уравнения и определить таким путем закон движения каждой из точек системы в отдельности.

Однако такой путь решения обычно не применяется по двум причинам. Во-первых, этот путь слишком сложен и почти всегда связан с непреодолимыми математическими трудностями. Во-вторых, в большинстве случаев при решении задач механики бывает достаточно знать некоторые суммарные характеристики движения системы в целом, а не движение каждой из ее точек в отдельности. Эти суммарные характеристики определяются с помощью общих теорем динамики системы, к изучению которых мы и перейдем.

Основная роль уравнений состоит в том, что они, или следствия из них, являются исходными для получения соответствующих общих теорем.

Общие теоремы динамики механической системы: теоремы о движении центра масс механической системы и об изменении количества движения, теоремы об изменении кинетического момента и кинетической энергии, -являются следствием основного уравнения динамики. Данные теоремы рассматривают не движение отдельных точек и тел, входящих в механическую систему, а некоторые интегральные характеристики, такие как движение центра масс механической системы, ее количество движения, кинетический момент и кинетическую энергию. В результате из рассмотрения исключаются неизвестные внутренние силы, а в ряде случаев и реакции связей, что существенно упрощает решения задачи.

Рассмотрим материальную точку массой m, которая находится на расстоянии r, от неподвижной оси (рис. 26). Моментом инерции J материальной точки относительно оси называется скалярная физическая величина, равная произведению массы m на квадрат расстояния r до этой оси:

J = mr 2 (75)

Момент инерции системы N материальных точек будет равен сумме моментов инерции отдельных точек:

Рис. 26.

К определению момента инерции точки.

Если масса распределена в пространстве непрерывно, то суммирование заменяется интегрированием. Тело разбивается на элементарные объемы dv, каждый из которых обладает массой dm.

В результате получается следующее выражение:

Для однородного по объему тела плотность ρ постоянна, и записав элементарную массу в виде:

dm = ρdv, преобразуем формулу (70) следующим образом:

Размерность момента инерции - кг*м 2 .

Момент инерции тела является мерой инертности тела во вращательном движении, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности при поступательном движении.

Момент инерции — это мера инертных свойств твердого тела при вращательном движении, зависящая от распределения массы относительно оси вращения. Иными словами, момент инерции зависит от массы, формы, размеров тела и положения оси вращения.

Всякое тело, независимо от того, вращается оно или покоится, обладает моментом инерции относительно любой оси, подобно тому, как тело обладает массой независимо от того, движется оно или находиться в покое. Аналогично массе момент инерции является величиной аддитивной.

В некоторых случаях теоретический расчёт момента инерции достаточно прост. Ниже приведены моменты инерции некоторых сплошных тел правильной геометрической формы относительно оси, проходящей через центр тяжести.

Момент инерции бесконечно плоского диска радиуса R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска :

Момент инерции шара радиуса R :

Момент инерции стержня длиной L относительно оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно ему:

Момент инерции бесконечно тонкого обруча радиуса R относительно оси, перпендикулярной его плоскости:

Момент инерции тела относительно произвольной оси рассчитывается с помощью теоремы Штейнера :

Момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, проходящей через центр масс параллельно данной, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Рассчитаем при помощи теоремы Штейнера момент инерции стержня длиной L относительно оси, проходящей через конец перпендикулярно ему (рис. 27).

К расчету момента инерции стержня

Согласно теореме Штейнера, момент инерции стержня относительно оси O′O′ равен моменту инерции относительно оси OO плюс md 2 . Отсюда получаем:

Очевидно: момент инерции неодинаков относительно разных осей, и поэтому, решая задачи на динамику вращательного движения, момент инерции тела относительно интересующей нас оси каждый раз приходится искать отдельно. Так, например, при конструировании технических устройств, содержащих вращающиеся детали (на железнодорожном транспорте, в самолетостроении, электротехнике и т. д.), требуется знание величин моментов инерции этих деталей. При сложной форме тела теоретический расчет его момента инерции может оказаться трудно выполнимым. В этих случаях предпочитают измерить момент инерции нестандартной детали опытным путем.

Момент силы F относительно точки O

Моменты инерции тела относительно параллельных осей. Теорема Гюйгенса.

Моменты инерции данного тела относительно разных осей будут, вообще говоря, разными. Покажем, как зная момент инерции относительно какой-нибудь одной оси, проведенной в теле, найти момент инерции относительно любой другой оси, ей параллельной.

Рис.35

Проведем через центр масс С тела произвольные оси Cx"y"z", а через любую точку О на оси Сх" - оси Oxyz, такие, что Оy ½½Сy", Oz ½½Cz" (рис. 35). Расстояние между осями Cz" и Оz обозначим черезd. Тогда

но, как видно из рисунка, для любой точки тела или, а. Подставляя эти значения , в выражение для и вынося общие множители d 2 и 2d за скобки, получим

В правой части равенства первая сумма равна I cz " , а вторая - массе тела М. Найдем значение третьей суммы. На основании формул для координат центра масс.Так как в нашем случае точка С является началом координат, то x C = 0 и, следовательно, . Окончательно получаем:

Формула выражает следующую теорему Гюйгенса :

Момент инерции тела относительно данной оси равен моменту инерции относительно оси, ей параллельной, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы всего тела на квадрат расстояния между осями.

Найдем момент инерции тела относительно оси u , проходящей через некоторую точку О (рис. 36).

Рис.36

По определению момент инерции.

Поместим в точку О начало координатных осей x, y, z . Из прямоугольного треугольника ОАМ i следует, где. И так как радиус-вектор точки, то, проектируя это равенство на ось u , получим (, - углы между осью u и осями x, y, z ).

Рис. 14.3.

Как известно из тригонометрии

И, группируя подобные члены, содержащие косинусы одинаковых углов, получим:

Но - расстояния от точки М i до осей x, y, z, соответственно. Поэтому

Иногда по некоторым признакам нетрудно найти главные оси инерции тела.

1. Если у однородного тела имеется ось симметрии, то эта ось является главной центральной осью инерции.

Действительно. Направим координатную ось z по оси симметрии. Тогда для каждой точки тела с координатами (x i , y i , z i ) можно отыскать точку с координатами (-x i , -y i , -z i ) и поэтому центробежные моменты инерции и. Значит ось z – главная ось инерции, и центральная ось, т.к. центр масс, как известно, находится на оси симметрии. Причём, эта ось будет главной для любой точки расположенной на оси симметрии.

Рис.37

Оси x, y и z – главные центральные оси инерции, т.к. они являются осями симметрии.

Тогда, где - угол между осями u и z ; угол - угол между осями u и y , равный; угол - угол между осями u и x , равный 90°. Поэтому

Дифференциальные уравнения движения системы.

Рассмотрим систему, состоящую из п материальных точек. Выделим какую-нибудь точку системы с массой. Обозначим равнодействующую всех приложенных к точке внешних сил (и активных и реакций связей) через , а равнодействующую всех внутренних сил - через . Если точка имеет при этом ускорение , то по основному закону динамики

Аналогичный результат получим для любой точки. Следовательно, для всей системы будет:

Эти уравнения, из которых можно определить закон движения каждой точки системы, называются дифференциальными уравнениями движения системы в векторной форме. Уравнения являются дифференциальными, так как; входящие в правые части уравнений силы будут в общем случае зависеть от времени, координат точек системы и их скоростей.

Пусть имеется твердое тело. Выберем некоторую прямую ОО (рис.6.1), которую будем называть осью (прямая OO может быть и вне тела). Разобьем тело на элементарные участки (материальные точки) массами
, находящиеся от оси на расстоянии
соответственно.

Моментом инерции материальной точки относительно оси (OO) называется произведение массы материальной точки на квадрат ее расстояния до этой оси:

. (6.1)

Моментом инерции (МИ) тела относительно оси (OO) называется сумма произведений масс элементарных участков тела на квадрат их расстояния до оси:

. (6.2)

Как видно момент инерции тела есть величина аддитивная – момент инерции всего тела относительно некоторой оси равен сумме моментов инерции отдельных его частей относительно той же оси.

В данном случае

Измеряется момент инерции в кгм 2 . Так как

, (6.3)

где  – плотность вещества,
– объемi - го участка, то

или, переходя к бесконечно малым элементам,

. (6.4)

Формулу (6.4) удобно использовать для вычисления МИ однородных тел правильной формы относительно оси симметрии, проходящей через центр масс тела. Например, для МИ цилиндра относительно оси, проходящей через центр масс параллельно образующей, эта формула дает

где т - масса; R - радиус цилиндра.

Большую помощь при вычислении МИ тел относительно некоторых осей оказывает теорема Штейнера: МИ тела I относительно любой оси равен сумме МИ этого тела I c относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельной данной, и произведения массы тела на квадрат расстояния d между указанными осями:

. (6.5)

Момент силы относительно оси

Пусть на тело действует сила F . Примем для простоты, что сила F лежит в плоскости, перпендикулярной некоторой прямой ОО (рис.6.2,а ), которую назовем осью (например, это ось вращения тела). На рис. 6.2,а А - точка приложения силы F ,
- точка пересечения оси с плоскостью, в которой лежит сила;r - радиус-вектор, определяющий положение точки А относительно точки О "; O "B = b - плечо силы. Плечом силы относительно оси называется наименьшее расстояние от оси до прямой, на которой лежит вектор силы F (длина перпендикуляра, проведенного из точки к этой прямой).

Моментом силы относительно оси называется векторная величина, определяемая равенством

. (6.6)

Модуль этого вектора . Иногда, поэтому говорят, что момент силы относительно оси – это произведение силы на ее плечо.

Если сила F направлена произвольно, то ее можно разложить на две составляющие; и(рис.6.2,б ), т.е.
+, где- составляющая, направленная параллельно оси ОО, алежит в плоскости, перпендикулярной оси. В этом случае под моментом силыF относительно оси OO понимают вектор

. (6.7)

В соответствии с выражениями (6.6) и (6.7) вектор М направлен вдоль оси (см. рис.6.2, а ,б ).

Момент импульса тела относительно оси вращения

Пусть тело вращается вокруг некоторой оси ОО с угловой скоростью
. Разобьем это тело мысленно на элементарные участки с массами
, которые находятся от оси соответственно на расстояниях
и вращаются по окружностям, имея линейные скорости
Известно, что величина равная
- есть импульсi -участка. Моментом импульса i -участка (материальной точки) относительно оси вращения называется вектор (точнее псевдовектор)

, (6.8)

где r i – радиус-вектор, определяющий положение i - участка относительно оси.

Моментом импульса всего тела относительно оси вращения называют вектор

(6.9)

модуль которого
.

В соответствии с выражениями (6.8) и (6.9) векторы
инаправлены по оси вращения (рис.6.3). Легко показать, что момент импульса тела L относительно оси вращения и момент инерции I этого тела относительно той же оси связаны соотношением

. (6.10)

Во всех четырех случаях мы рассматривали моменты инерции тела относительно оси, проходящей через центр инерции этих тел. С помощью теоремы Штейнера можно найти моменты инерции тел относительно других произвольных осей, что бывает необходимо, ибо вращение не всегда бывает относительно центра инерции.

Теорема Штейнера:

Момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме его момента инерции относительно оси, проходящей через центр масс и параллельно данной, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями

(- расстояние между осямиzиc).

Доказательство:

(по определению)

Видно, что
(по определению)

(т.к.
)

Таким образом,

§14. Основное уравнение динамики вращательного движения

Пусть к твердому телу с неподвижной осью вращения в некоторой точке приложена сила
.

Тогда если точка А совершает элементарное перемещение
, то элементарная работа силы
равна

Представим силу
в виде суммы двух сил, одна из которых параллельна оси вращенияz(), а другая перпендикулярна осиz().

Тогда элементарная работа .

Точка , как и все точки тела, движется по окружности, плоскость которой перпендикулярна осиz, а значит
соединяет две точки этой окружности и также лежит в плоскости, перпендикулярной осиz, а значит и вектору, т.е.
. Следовательно,
,

где - угол между векторамии
.

Рассмотрим вид сверху.

В силу того, что
:

Вектор
в силу малости
.

, как углы с взаимно перпендикулярными лучами.

где
.

Опр.

Величина , равная расстоянию от линии, вдоль которой действует сила, до оси вращения, называется плечом силы.

Опр.

Величина произведения проекции силы на плоскость вращения () и плеча силыназывается моментом силы относительно оси вращенияz.

Если сила
, приложенная к телу, приводит к увеличению угла поворота (т.е. к вращению тела по выбранному положительному направлению вращения), то момент такой силы является величиной положительной. Если же сила приводит к уменьшению угла, то момент силы отрицателен. Исходя из того, что величина элементарной работы равна
, то, согласно теореме о кинетической энергии (

), приравнивая правые части уравнений получим:

(Т.к.
и
)

Это и есть основной закон динамики вращательного движения.

Формулировка закона:

Момент силы относительно оси вращения равен произведению момента инерции относительно этой оси и углового ускорения.

Легко можно показать, что если на тело, закрепленное вокруг оси вращения, действует множество сил с различными моментами, то алгебраическая сумма моментов сил относительно оси вращения равна произведению момента инерции относительно этой оси и углового ускорения:

§15. Момент импульса.

Закон сохранения момента импульса

Поступательное движение	Вращательное движение





Продолжая аналогию можно предположить, что

-момент импульса вращающегося вокруг осиzтела.

Действительно

=>
=>
, Видно, если
, то

Таким образом, если алгебраическая сума моментов всех сил, приложенных к телу, относительно оси вращения равна 0, то момент импульса относительно этой оси есть величина постоянная.

Легко доказать, что таким же образом сохраняется момент импульса системы тел, вращающихся вокруг данной оси с различными угловыми скоростями , а не одного только твердого тела.

Закон сохранения момента импульса:

Момент импульса замкнутой системы тел относительно произвольной оси есть величина постоянная.

В заключении рассмотрим частные случаи в решении задач при определении момента импульса тела, размерами которого, по сравнению с расстоянием до оси вращения, можно пренебречь.

1. Материальная точка вращается по окружности.

2. Если точечное тело движется в произвольном направлении относительно оси вращения.