Что такое пара сил? Чему равен момент пары? Момент пары как вектор Как определить модуль момента пары сил.

Понятием алгебраического момента пары удобно пользоваться, если все пары лежат в одной плоскости. Теперь представим, что требуется рассмотреть пары, плоскости действия которых, по отношению друг к другу, расположены в пространстве. В этом случае вводится понятие векторного момента пары. По аналогии с векторным моментом силы относительно центра, векторный момент пары должен определять:

плоскость действия данной пары;

направление вращения пары в этой плоскости;

численное значение момента пары.

Таким образом, модуль этого вектора должен выражать в произвольно выбранном масштабе численное значение момента пары, а направление этого вектора должно определять направление перпендикуляра к плоскости

действия пары. Принято направлять векторный момент пары по перпендикуляру к ее плоскости в ту сторону, чтобы, смотря с его конца на пару,

видеть эту пару вращающей тело против хода часовой стрелки (рис. 25).

Исходя из того, что действие пары на тело не зависит от ее положения в своей плоскости действия, точка приложения векторного момента пары значения не имеет. Условно, за эту точку принимают середину отрезка, соединяющего точки приложения сил данной пары.

Сложение пар. Условия равновесия пар

Теорема о сложении пар, лежащих в одной плоскости. Система пар, лежащих в одной плоскости, эквивалентна одной паре, лежащей в той же

плоскости и имеющей момент равный алгебраической сумме моментов слагаемых пар.

Доказательство: Пусть на тело действуют три пары с моментами ,
,
(рис. 26,а ). На основании теоремы об эквивалентности пар мы можем заменить эти пары тремя парами
,
,
, имеющими общее плечои такие же моменты:
,
,
(рис. 26,б ). Складывая отдельно силы, приложенные в точках и, получаем в точкесилу, а в точкесилу, которые по модулю будут равны(рис. 26,в ).

В результате вся система пар заменяется одной парой
с моментом. Для случая из «» пар с моментами,
, …
, система заменяется одной парой с моментом
. Если пары расположены в пространстве, то можно перейти к векторному равенству
. Проектируя это векторное равенство на оси декартовой системы координат, получаем
,
,
.

Отсюда получаем условие равновесия системы пар : для равновесия системы пар необходимо и достаточно, чтобы момент результирующей пары был равен нулю
.

Геометрическое условие равновесия :для равновесия произвольной системы пар необходимо и достаточно, чтобы векторный момент результирующей пары был равен нулю
.

Аналитическое условие равновесия :
или через проекции на оси
,
,
. (7)

Тема 5. Приведение системы сил к центру

Пусть на тело действует система из «» сил, лежащих в одной плоскости.

Мы умеем их складывать, если они пересекаются в одной точке или они параллельны. Однако, если эти силы в плоскости расположены произвольно, то появляется необходимость привести эти силы к какому то центру. Покажем эту процедуру приведения силы к данному центру на примере одной силы. Теорема.Любая данная сила эквивалентна такой же по модулю и направлению сил, но приложенной в другой точке тела и некоторой паре.

Дана сила, приложенная в точке(рис. 27,а ). Требуется привести эту силу к произвольно выбранному центру причем так, чтобы состояние тела при этом не изменилось. Прикладываем в точкедве прямопротивоположные силы
и
, равные по модулю силе(рис. 27,б ). Тогда силы и
образуют пару. Следовательно, данную силуможно заменить равной ей силой
, приложенной в любой точке тела, и парой
с моментом
, что и требовалось доказать (рис. 27,в ).

Из доказанной теоремы получаем, что данную силу можно переносить параллельно самой себе в любую точку тела с присоединением соответствующей пары. Поэтому пару
называютприсоединенной . Модуль момента присоединенной пары равен
. С другой стороны, произведение
представляет собой момент силыотносительно нового центра приведения:
.Следовательно,
, момент присоединенной пары
равен моменту силы, приложенной в старом центре относительно нового центра .

Приведение плоской системы сил к данному центру. Частные случаи приведения

Пусть на тело действует произвольная система сил,, …,, лежащих в одной плоскости (рис. 28,а ). Возьмем в этой плоскости произвольную точку , которую назовемцентром приведения , и пользуясь доказанной выше теоремой, приведем все силы в центр (рис. 28,б ).

В результате в центре получаем систему сходящихся сил и систему пар сил с моментами:
,
, …,
. Систему сходящихся сил можно заменить одной силой, приложенной в центре, при этом
. Аналогично, по теореме о сложении пар, все пары можно заменить одной парой, лежащей в той же плоскости. Момент этой пары равен
.

Величина , равная геометрической сумме всех сил системы, называетсяглавным вектором системы . Величину
называютглавным моментом системы относительно центра .

В результате получили, что при приведении произвольной плоской системы сил к какому-либо центру , получаем два вектора: - главный вектор системы и
- главный момент системы относительно центра .

Здесь следует отметить, что главный вектор системы не зависит от центра приведения, так как все силы переносятся параллельно самим себе, а главный момент системы
зависит от центра приведения, поскольку при изменении центра приведения плечи у сил будут меняться.

Рассмотрим теперь, к каким простейшим видам можно привести плоскую систему сил.

Рассмотрим два случая.

а)
,
. В этом случае система сразу заменяетсяравнодействующей , которая в данном случае будет равна главному вектору системы и она проходит через точку .

б)
,
. В этом случае система также заменяетсяравнодействующей , которая тоже будет равна главному вектору системы, но проходить она будет не через точку , а через точку. Покажем, что это действительно так, и определим положение точки. Пусть в результате приведения получили главный вектори главный момент
относительно центра(рис. 29,а ). Пару сил изобразим силами и
, причем эти силы подбираем таким образом, чтобы у нас выполнялись равенства:
,
(рис. 29,б ). Затем отбрасываем силы икак уравновешенные, получаем, что система заменяется равнодействующей
, но проходящей через точку(рис. 29,в ). Положение точки определится соотношением
.

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей

Момент равнодействующей системы сил относительно любой точки на плоскости равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно той же точки.

Рассмотрим плоскую сходящуюся систему сил, в точке (рис. 30,а ).

a б в

Заменим эту систему сил равнодействующей, приложенной в той же точке (рис. 30,б ). Определим момент этой равнодействующей относительно точки , лежащей на оси (рис. 30,в ). Разложим равнодействующую на составляющие и , каждая из которых будет определяться: ,. Определяя момент этих проекций относительно точки (рис. 30,в ), получаем, что
, так как пересекает точку . Тогда . Аналогично рассматривая каждую из сил (рис. 30,а ), получим, что момент каждой из них относительно точки будет определяться моментом проекции этих сил на ось относительно точки , т.е. , , . Учитывая, что , получаем

. (8)

Пару сил в механике рассматривают как одно из основных понятий, наряду с понятием силы.

Пара сил – система двух параллельных, противоположно направленных и равных по модулю сил, не лежащих на одной прямой.

Плоскость действия пары сил – плоскость, в которой находятся линии действия сил.

Плечо пары сил – кратчайшее расстояние (длина перпендикуляра) между линиями действия сил, составляющих пару сил.

На рис. 1.34 изображена пара сил, плоскость действия которой лежит в плоскости OXY системы отсчёта OXY.

Силы F 1 , F 2 образуют пару сил. F 1 = F 2 ; F 1 = – F 2 . Однако силы пары не уравновешиваются, так как они направлены не по одной прямой. Пара сил стремится произвести вращение тела, к которому она приложена. Действие пары сил на тело характеризуется её моментом.

Для количественной характеристики действия пары сил на тело и указания направления, в котором пара сил стремится вращать тело, вводится понятие алгебраического момента пары сил .

Алгебраический момент пары сил – величина, равная взятому с соответствующим знаком произведению модуля одной из сил на её плечо.

M = ± F 1 ·h = ± F 2 ·h.

Алгебраический момент пары сил считают положительным, если пара сил стремится повернуть тело против вращения часовой стрелки, и отрицательным, если в сторону вращения часовой стрелки. В системе СИ момент пары сил измеряется в Н·м.

На рис. 1. 35 изображена пара сил (F 1 , F 2), линии действия которых лежат в плоскости OXY.

Момент пары сил – векторная мера механического действия пары сил, равная моменту одной из сил пары относительно точки приложения другой силы.

Момент пары сил изображается вектором М . Вектор момента М пары сил (F 1 , F 2) направлен перпендикулярно к плоскости действия пары сил в сторону, откуда видно пару сил, стремящуюся вращать плоскость её действия в сторону, противоположную вращению часовой стрелки. Согласно определению (см. рис. 1.35), M ^ j , M ^ i , M = F 1 ×h = F 2 ·h. Таким образом, пара сил полностью характеризуется её моментом M .

Теорема . Пары сил, лежащие в одной плоскости, эквивалентны, если их алгебраические моменты численно равны и одинаковы по знаку.

Доказательство этой теоремы несложно и здесь оно не приводится.

Следствия из теоремы:

1.Пару сил, не изменяя её действия на тело, можно как угодно поворачивать и переносить в любое место плоскости её действия.

2.У пары сил можно изменять плечо и модуль силы, сохраняя при этом алгебраический момент пары и плоскость действия.

Суть теоремы и её следствий иллюстрируется рис. 1.36, на котором приведены пары сил с эквивалентными алгебраическими и векторными моментами. Плоскости действия пар сил совпадают с плоскостью YOZ.

Теорема . Пары сил в пространстве эквивалентны, если их моменты геометрически равны.

Доказательство этой теоремы также достаточно просто и здесь не приведено.

Из теорем о парах сил следует вывод: не изменяя действия пары сил на тело, пару сил можно переносить в любую плоскость, параллельную плоскости её действия, а также изменять её силу и плечо, сохраняя неизменными модуль и направление её момента.

Таким образом, вектор момента пары сил можно переносить в любую точку, то есть момент пары сил является свободным вектором .

Вектор момента пары сил определяет три элемента: положение плоскости действия пары; направление вращения; числовое значение (модуль) момента.

Отметим аналогию: если точку приложения вектора силы можно помещать где угодно на линии действия этой силы (скользящий вектор ), то векторный момент пары сил можно приложить в любой точке тела (свободный вектор ).

Парой сил называется система двух равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны сил, действующих на твердое тело (рис. 17).

Плоскость , содержащая линии действия сил пары и называется плоскостью действия сил пары . Кратчайшее расстояние между линиями действия сил пары называется плечом пары .

Вращающее действие пары на твердое тело зависит от модуля сил пары , плеча , положения плоскости действия пары и направления вращения.

Мерой этого действие пары является ее вектор-момент . Если все силы и пары, приложенные к телу, лежат в одной плоскости, то момент пары можно рассматривать как алгебраическую величину, равную

Момент пары считается положительным , если он стремиться вращать тело против хода часовой стрелки и отрицательным , если - по ходу часовой стрелки.

Момент пары, как и момент силы, измеряется в (система СИ) и в (система МКГСС).

Алгебраическая сумма моментов сил пары относительно произвольной точки в плоскости ее действия не зависит от выбора этой точки и равна моменту пары. Действительно, определим сумму моментов сил и пары (рис. 18) относительно произвольной точки , расположенной в плоскости действия пары.

Так как , то получим:

Если силы и пары, приложенные к телу, лежат в разных плоскостях, то момент пары, как и момент силы, необходимо рассматривать как вектор. Вводим в связи с этим общее определение момента пары.

Моментом пары является вектор , равный по модулю произведению модуля сил пары на ее плечо и направленный перпендикулярно плоскости ее действия в ту сторону, откуда поворот, который пара стремится сообщить телу, виден происходящим в направлении против хода часовой стрелки (рис. 17).

Модуль вектора равен

Из определения векторов и следует, что момент пары (рис. 17) равен по модулю и направлению моменту любой из сил пары (например, ) относительно точки приложения другой, то есть

Используя формулу 16, имеем:

Таким образом, момент пары можно представить в виде векторного произведения (23), в котором – радиус-вектор точки приложения силы относительно точки приложения силы (рис.17).

Свойства пар выражаются следующими теоремами, которые приводятся здесь без доказательств.

1) Действие пары на твердое тело не изменится, если перенести пару в плоскости ее действия в любое другое положение.

2) Действие пары на твердое тело не изменится, если модуль сил пары и ее плечо изменить так, чтобы модуль момента пары сохранился неизменным.

3) Действие пары на твердое тело не изменится, если перенести пару в любую другую плоскость, параллельную плоскости ее действия.

4) Система пар, приложенных к твердому телу, может быть заменена одной результирующей парой с моментом , равным геометрической сумме моментов слагаемых пар:

Из теорем следует, что пару, выраженную вектором , в твердом теле можно как угодно перенести в плоскости действия пары, а также перенести в любую параллельную плоскость; поэтому момент пары является свободным вектором , т.е. его можно изобразить приложенным в любой точке твердого тела.

Вопросы для самопроверки к разделу 2

1. Определить момент силы относительно точки как алгебраическую величину, как вектор.

2. В каком случае момент силы относительно точки равен нулю?

3. Что называется моментом силы относительно оси?

4. В каких случаях момент силы относительно оси равен нулю?

5. Можно ли открыть дверь, если все приложенные к ней силы располагаются в плоскости двери?

6. Какова зависимость между моментами силы относительно оси и относительно точки, лежащей на этой оси?

7. Выведите формулы для моментов силы относительно трех координатных осей, используя представление о векторе момента силы относительно точки в виде векторного произведения.

8. Что называется парой сил? Чему равен момент пары?

9. Какие факторы определяют действие пары на твердое тело?

10. Как направлен, где приложен вектор момента пары?

11. Сформулируйте условие равновесия системы пар сил, приложенных к твердому телу.

12. Могут ли уравновесить друг друга две пары сил, лежащие в параллельных плоскостях; в пересекающихся плоскостях?

13. Каким образом можно изменять плечо и модуль сил пары, не изменяя действие пары на твердое тело?

14. Как складываются пары, лежащие в одной плоскости; в пересекающихся плоскостях?

Система двух равных и параллельных сил , направлен­ных в противоположные стороны и не лежащих на одной прямой , называется парой сил . Примером такой системы сил могут служить усилия, передаваемые от рук шофера на рулевое колесо автомобиля.

Пара сил имеет очень большое значение в практике. Именно поэтому свойства пары как специфической меры механического взаимодействия тел изучается отдельно .

Сумма сил пары равна нулю

Р - Р" = 0 (рис. а ),

т. е. пара сил не имеет равнодействующей . Несмотря на это тело под действием пары сил не находится в равновесии.

Действие пары сил на твердое тело, как показывает опыт, состоит в том, что она стремится вращать это тело.

Способность пары сил производить вращение количественно определяется моментом пары , равным произведе­нию силы на кратчайшее расстояние (взятое по перпен­дикуляру к силам) между линиями действия сил .

Обозначим момент пары М , а кратчайшее расстояние между силами а , тогда абсолютная величина момента (рис. а )

М = Ра = Р"а .

Кратчайшее расстояние между линиями действия сил называется плечом пары, поэтому можно сказать, что момент пары сил по абсолютной величине равен произве­дению одной из сил пары на ее плечо.

Эффект действия пары сил полностью определяется ее моментом . Поэтому пару сил можно изображать дугооб­разной стрелкой , указывающей направление вращения (см.рис.).

Так как пара сил не имеет равнодействующей, ее нельзя уравновесить одной силой .

В Международной системе единиц (СИ) силу измеряют в ньютонах , а плечо в метрах . Соответственно момент пары в системе СИ измеряется в ньютонометрах (н·м) или в единицах, кратных ньютонометру: кн·м, Мн·м и т. д.

Будем считать момент пары сил положительным , если пара стремится повернуть тело по направлению хода часовой стрелки (рис. а ) и отрицательным , если пара стремится вращать тело против хода часовой стрелки (рис. б ).

Принятое правило знаков для моментов пар условно ; можно было бы принять противоположное пра­вило. При решении задач во избежание путаницы всегда нужно принимать одно определенное правило знаков .

1. Плоская система сходящихся сил

Система сходящихся сил находится в равновесии , когда алгебраические суммы проекций ее слагаемых на каждую из двух координатных осей равны нулю.

Проекция силы на ось.

Осью называют прямую линию, которой приписано определенное направление. Проекция вектора на ось является скалярной величиной.

Проекция вектора считается положительной (+), если направление от начала к ее концу совпадает с положительным направлением оси. Проекция вектора считается отрицательной (-), если направление от начала проекции к ее концу противоположно положительному направлению оси.

Если сила совпадает с положительным направлением оси, но угол будет тупой – тогда проекция силы на ось будет отрицательною.

Итак, проекция силы на ось координат равна произведению модуля силы на косинус или синус угла между вектором силы и положительным направлением оси.

Силу, расположенную на плоскости хОу, можно спроецировать на две координатные оси Ох и Оу:

; ; .

Проекция векторной суммы на ось.

Геометрическая сумма, или равнодействующая, этих сил

определяется замыкающей стороной силового многоугольника: ,

где п – число слагаемых векторов.

Итак, проекция векторной суммы или равнодействующей на какую-либо ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось.

2. Пара сил

Сумма проекций пары сил на ось х и на ось у равна нулю, поэтому пара сил не имеет равнодействующей. Несмотря на это тело под действием пары сил находится в равновесии.

Способность пары сил производить вращение определяется моментом пары , равным произведению силы на кратчайшее расстояние между линиями действия сил. Обозначим момент пары М , а кратчайшее расстояние между силами а , тогда абсолютное значение момента:

Кратчайшее расстояние между линиями действия сил называется – плечом пары , поэтому можно сказать, что момент пары сил по абсолютному значению равен произведению одной из сил на ее плечо.

Момент пары сил можно показывать дугообразной стрелкой, указывающей направление вращения.

Две пары сил считаются эквивалентными в том случае, если после замены одной пары другой механическое состояние тела не изменяется, т.е. не изменяется движение тела или не нарушается его равновесие.

Эффект действия пары сил на твердое тело не зависит от ее положения в плоскости. Таким образом, пару сил можно переносить в плоскости ее действия в любое положение.

Еще одно свойство пары сил, которое является основой для сложения пар:

− не нарушая состояния тела, можно как угодно изменять модули сил и плечо пары, только бы момент пары оставался неизменным.

По определению пары сил эквивалентны, т.е. производят одинаковое действие, если их моменты равны.

Если, изменив значения сил и плечо новой пары, мы сохраним равенство их моментов М 1 = М 2 или F 1 a = F 2 b, то состояние тела от такой замены не нарушится.

Подобно силам пары можно складывать. Пара, заменяющая собой действие данных пар, называется результирующей. Действие пары сил полностью определяется ее моментом и направлением вращения. Исходя из этого, сложение пар производится алгебраическим суммированием их моментов, т.е. момент результирующей пары равен алгебраической сумме моментов составляющих пар.

Момент результирующей пары определится по формуле:

М= М 1 + М 2 +... + М п. =

М і ,

Где моменты пар, вращающие по часовой стрелке, принимаются положительными, а против часовой стрелки – отрицательными. На основании приведенного правила сложения пар устанавливается условие равновесия системы пар лежащих в одной плоскости, а именно: для равновесия системы пар необходимо и достаточно, чтобы момент результирующей пары равнялся нулю или чтобы алгебраическая сумма моментов пар равнялась нулю:

Момент силы относительно точки и оси.

Момент силы относительно точки определяется произведением модуля силы на длину перпендикуляра, опущенного из точки на линию действия силы.

При закреплении тела в точке О сила

стремится поворачивать его вокруг этой точки. Точка О, относительно которой берется момент, называется центром момента , а длина перпендикуляра а – плечом относительно центра момента .

Момент силы

относительно О определяется произведением силы на плечо: .

Момент принято считать положительным, если сила стремится вращать тело по часовой стрелке, а отрицательным - против часовой стрелки. Между моментом пары и моментом силы есть одно существенное различие. Численное значение и направление момента пары сил не зависит от положения этой пары в плоскости. Значение и направление (знак) момента силы зависит от положения точки, относительно которой определяется момент.Следовательно, для определения момента силы относительно оси нужно спроектировать силу на плоскость, перпендикулярную оси, и найти момент проекции силы относительно точки пересечения оси с этой плоскостью.

3. Метод кинетостатики

Представим себе материальную точку массой т, движущуюся с ускорением а под действием какой-то системы активных и реактивных сил, равнодействующая которых равна F.

Воспользуемся одной из известных нам формул (основным уравнением динамики) для того, чтобы уравнения движения записать в форме уравнений равновесия (метод кинетостатики):

Перепишем это уравнение в следующем виде:

Выражение обозначается К ин и называется силой инерции:

Сила инерции есть вектор, равный произведению массы точки на ее ускорение и направленный в сторону, противоположную ускорению.

Это равенство, являющееся математическим выражением принципа, который носит имя французского ученого Даламбера (1717-1783), можно рассматривать как уравнение равновесия материальной точки. Следует подчеркнуть, что полученное равенство, хотя и названо уравнением равновесия, в действительности является видоизмененным уравнением движения материальной точки.

Принцип Даламбера формулируется гак: активные и реактивные силы, действующие на материальную точку, вместе с силами инерции образуют систему взаимно уравновешенных сил, удовлетворяющую всем условиям равновесия.

Следует помнить, что сила инерции приложена к рассматриваемой материальной точке условно, но для связи, вызывающей ускорение, она в определенном смысле является реальной. Обладая свойством инерции, всякое тело стремится сохранять свою скорость по модулю и направлению неизменной, в результате чего оно будет действовать на связь, вызывающую ускорение, с силой, равной силе инерции. В качестве примера действия сил инерции можно привести случаи разрушения маховиков при достижении ими критической угловой скорости. Во всяком вращающемся теле действуют силы инерции, так как каждая частица этого тела имеет ускорение, а соседние частицы являются для нее связями. Отметим, что весом тела называется сила, с которой тело вследствие притяжения Земли действует на опору (или подвес), удерживающую его от свободного падения. Если тело и опора неподвижны, то вес тела равен его силе тяжести.

4. Момент силы относительно точки

Рассмотрим гайку, которую затягивают гаечным ключом определенной длины, прикладывая к концу ключа мускульное усилие. Если взять гаечный ключ в несколько раз длиннее, то прилагая то же усилие, гайку можно затянуть значительно сильнее. Из этого следует, что одна и та же сила может оказывать различное вращательное действие. Вращательное действие силы характеризуется моментом силы.

Понятие момента силы относительно точки ввел в механику итальянский ученый и художник эпохи Возрождения Леонардо да Винчи (1452-1519).

Моментом силы относительно точки называется произведение модуля силы на ее плечо:

М 0 (¥) = РИ.

Точка, относительно которой берется момент, называется центром момента. Плечом силы относительно точки называется кратчайшее расстояние от центра момента до линии действия силы.